"Antes del pensamiento
que aspira a una coherencia lógica
hallamos fe en una u otra magia".
Abstract
Esta Breve Historia de la Lógica
es un documento abierto en fase 2.0 publicado online desde 2005
a partir de un texto actualmente desaparecido que se apoyaba en
un modelo de exposición utilizado por Henri Poncairé1;
en 2007 se incorporan datos del modelo de exposición que
Antonio Escohotado propone en Génesis y evolución
del pensamiento científico2.
Introducción3
El nacimiento de la lógica propiamente dicho está directamente relacionado
con el nacimiento intelectual del ser humano. La lógica emerge
como mecanismo espontáneo en el enfrentamiento del hombre
con la naturaleza, para comprenderla y aprovecharla. Poncairé
destaca cinco etapas o revoluciones en ese proceso que se presentan
entre dos grandes tópicos: del rigor y la formalidad, a la creatividad
y el caos. Las etapas se identifican como: Revolución Matemática,
Revolución Científica, Revolución Formal y Revolución Digital
además de la próxima y prevista Revolución Lógica.
Lógica Matemática
La lógica matemática cuestiona con rigor los conceptos y las
reglas de deducción utilizados en matemáticas lo que convierte
la lógica en una especie de metamatemática. Una teoría matemática
considera objetos definidos -enteros, por ejemplo- y define leyes
que relacionan a estos objetos entre sí, los axiomas de la teoría.
De los axiomas se deducen nuevas proposiciones -los teoremas-,
y a veces, nuevos objetos. La construcción de sistemas formales
-formalización, piedra angular de la lógica matemática-, permite
eliminar la arbitrariedad en la elección de los axiomas y definir
explícita y exhaustivamente las reglas de la deducción matemática.
Las matemáticas y la lógica
Del año 600 aC hasta 300 aC se desarrollan en Grecia los principios
formales de las matemáticas. Este periodo clásico lo protagonizan
Platón, Aristóteles y Euclides. Platón propone ideas o abstracciones.
Aristóteles resuelve el razonamiento deductivo y sistematizado.
Euclides es el autor que establece el método axiomático. En los
Elementos Euclides organiza las pruebas deductivas de que
dispone dentro de una estructura sistemática, rigurosa, altamente
eficaz.
Platón
Platón, 427aC - 347 aC, propone instaurar en Siracusa una utópica
república dirigida por filósofos. Crea la Academia de Atenas que
no era solo una institución filosófica, sino centro de formación
política para jóvenes aristócratas. Según algunos especialistas,
Platón edifica su teoría del conocimiento con el fin de justificar
el poder emergente de la figura del filósofo. Sostiene la existencia
de dos mundos -el mundo de las ideas y el de mundo físico
de los objetos. Según Platón, lo concreto se percibe en
función de lo abstracto y por tanto el mundo sensible existe gracias
al mundo de las ideas. Platón escoge el formato diálogo
como forma de transmisión del pensamiento.
Aristóteles
Los tratados de lógica de Aristóteles, 384aC - 332 aC, conocidos
como Organón, contienen el primer tratado sistemático de
las leyes de pensamiento para la adquisición de conocimiento.
Representan el primer intento serio que funda la lógica como ciencia.
Aristóteles no hace de la lógica una disciplina metafísica
sino que establece correspondencias recíprocas entre pensamiento
lógico y estructura ontológica. El silogismo fue adoptado
por los escolásticos que representan el sistema teológico-filosófico,
característico de la Edad Media. La escolástica, sin embargo,
acabó por sobrecargar la teoría del silogismo, lo que acarreó
su descrédito a partir del Renacimiento. Los lógicos de la edad
moderna como Ramée, Arnauld, Nicole, Leibniz, Euler, y Lambert
procuraron simplificarla al máximo, y su tratamiento matemático
se completó hasta principios del siglo XX con Boole, De Morgan,
Frege y Russell. Desde entonces el silogismo se incluye
en la lógica de predicados de primer orden y en la lógica de clases,
y ocupa en la ciencia lógica un papel mucho menor que en otros
tiempos.
Euclides
Matemático alejandrino autor de la universal obra, los célebres Elementos.
Uno de los textos matemáticos más relevantes de la historia del
pensamiento científico hasta del siglo XIX. Los Elementos
están divididos en XIII Libros y constituyen la recopilación más
exhaustiva de las matemáticas conocidas en el año 300 aC.
Su valor universal lo propaga el uso riguroso del método deductivo
que distingue entre principios -definiciones, axiomas y postulados-,
y teoremas, que se demuestran a partir de los principios. A lo
largo de la historia se mantuvo la sospecha de que el quinto postulado
era demostrable a partir de los anteriores. El deseo de resolver
tal hipótesis ocupa hasta el siglo XIX con la construcción
de las geometrías no euclidianas y se deduce con ellas la imposibilidad
de demostrar el quinto postulado.
Apolonio de Perga
La obra sobre curvas cónicas de Apolonio de Perga, «un
geómetra de la época helenística-, inicialmente dirigido a euclidianos
exquisitos, se convirtió en manual para balísticos del Renacimiento
como Tartaglia y, poco después, en base inmediata de la dinámica
newtoniana»4.
La ciencia matemática
Ante el retroceso de la escuela clásica de los griegos se presentan
periodos de autoridad religiosa. El Renacimiento es el inicio
de una nueva revolución que revive la ciencia y las matemáticas.
Los representantes más destacados son Descartes, Newton y Leibniz.
Este periodo abarca del año 1500dC al 1800 dC.
René Descartes
Filósofo y matemático francés, 1596-1650, parte de la duda universal
como principio y prescinde de cualquier conocimiento previo que
no quede demostrado por la evidencia con que ha de manifestarse
el espíritu. Descartes duda de toda enseñanza recibida, de todo
conocimiento adquirido, del testimonio de los sentidos e incluso
de las verdades de orden racional. Llegado a este punto, halla
una verdad de la que no puede dudar: la evidencia interior que
se manifiesta en su propio sujeto («pienso, luego existo»).
Como científico, se debe a Descartes, entre otras aportaciones
de considerable importancia, la creación de la geometría analítica
a la vez que aporta un corpus cuantitativo al asunto y permite
el uso de métodos algebraicos. La geometría exige ser cuantitativa
para ser usada en ciencia e ingeniería, y los métodos algebraicos
permiten el desarrollo más rápido que los métodos sistemáticos
-a su vez más rigurosos- requeridos por el enfoque axiomático
de la geometría clásica. Ubi dubium ibi libertas, donde
hay duda hay libertad.
Isacc Newton
A Isacc
Newton , 1642-1727, se le debe el descubrimiento de la gravitación
universal, el desarrollo del cálculo infinitesimal e importantes
descubrimientos sobre óptica, así como las leyes que rigen la
mecánica clásica que alimentaría el nacimiento de la mecánica
cuántica. Su obra fundamental, Principios matemáticos
de la filosofía natural (1686).
Gottfried W. Leibniz
Filósofo y matemático alemán, 1646-1716; fundó la Academia de Ciencias
de Berlín, 1700. En Discurso sobre el arte combinatorio
enuncia la necesidad de un lenguaje riguroso, exacto y universal
puramente formal. Como matemático, su principal trabajo publicado
en 1684 es la memoria Nuevo método para la determinación de
los máximos y los mínimos, en la que expone las ideas fundamentales
del cálculo infinitesimal, anticipándose unos años a Newton. La
notación que empleó es particularmente cómoda y se sigue utilizando
con algunas modificaciones; introdujo el símbolo de integral y
de diferencial de una variable. En el área de lógica matemática
publica Generales inquisitiones de analysi notionum et veritatum
y Fundamenta calculi logici .
Georg Wilhelm Friedrich Hegel
Filósofo alemán, 1770-1831; fascinado por la obra de Kant y de Rousseau.
Autor de Ciencia de la lógica se le atribuye con este trabajo
la constitución de la lógica dialéctica entendida como
principio motor del concepto que disuelve y produce las particularidades
de lo universal.
Nikolai I. Lobachevsky
Matemático ruso, 1792-1856; funda la Geometría No Euclidiana
y renueva por ello los fundamentos que hasta ese momento cimentaban
la ciencia de la Geometría. Lobachevsky
lleva a cabo su revolución en el planteamiento que hasta
entonces había utilizado la ciencia Matemática para
resolver el enigma del quinto postulado de Euclides que a su vez
sirve de puerta a Lobachevsky para adentrarse en los renovados
campos de lo físico y lo real.
Formalización de las Matemáticas
Esta etapa se caracteriza por el resurgimiento de la formalización
rigurosa de las matemáticas, que en la etapa clásica griega fué
representativa. El uso de los infenitesimales fue una de las prácticas
más notoria en la época renacentista, para la cual no se
ofrecía una justificación. La rigorización del análisis
llegó con la eliminación de los infinitesimales y la presencia
de los límites como argumento. En este periodo se crea la lógica
simbólica, la escuela formal, la lógica booleana, el cálculo proposicional,
la inducción matemática, el cálculo de secuentes,.... Personajes
muy notables de esta etapa son: Peano, Hilbert, Frege, Boole,
de Morgan, Gentzen, Russell, Gödel y Whitehead. A Rusell y Gödel
se deben los planteamientos de las limitantes de la lógica y de
la ciencia en general.
Guiseppe Peano
La enunciación de los principios del italiano Guiseppe Peano, 1858-1932,
acerca de lógica matemática y su aplicación práctica quedaron
contenidos en su obra Formulaire de mathematiques. Los
axiomas de Peano permiten definir el conjunto de los números naturales.
David Hilbert
Matemático alemán, 1862-1943, aporta grandes avances a campos
fundamentales de la relatividad y la mecánica cuántica
con la Teoría de Invariantes y el concepto de Espacio
de Hilbert. A partir de las fuentes griegas de Euclides, publica
en 1899 su obra Fundamentos de Geometría, en la que formula
sus principios de axiomatización de la geometría. Según
sus teorías, es necesario establecer un conjunto de postulados
básicos antes de plantear de modo más detallado cualquier tipo
de problema físico o matemático. Estos principios deben ser simbólicos,
sin recurrir a dibujos y representaciones gráficas, y es necesario
preveer la mayoría de las posibilidades con antelación. Su concepción
reconocía tres sistemas de entes geométricos, puntos, rectas y
planos a los que pueden aplicarse axiomas distribuidos en cinco
categorías: pertenencia, orden, igualdad o congruencia, paralelismo
y continuidad.
Friedrich G. Frege
Junto con Boole y Peano, el matemático y lógico Friedrich G. Frege,
1848-1925, partiendo del análisis de los fundamentos de la matemática
lleva a cabo la más profunda renovación y desarrollo
de la lógica clásica hasta el momento. Es el primero en introducir
los cuantificadores u operadores y en elaborar una Teoría de la
Cuantificación.
George Boole
El lógico y matemático George Boole, 1815-1864 aplica el cálculo
matemático a la lógica, fundando el álgebra de la lógica. En cierto
modo realiza el sueño de Leibniz de una characteristica universalis
o cálculo del raciocinio. El empleo de símbolos y reglas operatorias
adecuados permite representar conceptos, ideas y razonamientos
mediante variables y relaciones (ecuaciones) entre ellas. Boole
dio un método general para formalizar la inferencia deductiva,
representando complicados raciocinios mediante sencillos sistemas
de ecuaciones. Así, la conclusión de un silogismo se encuentra
eliminando el término medio de un sistema de tres ecuaciones,
conforme a las reglas del álgebra común, La formalización de la
lógica, iniciada por Boole, ha contribuido poderosamente a aclarar
la estructura de los objetos lógicos, en contraposición a los
materiales y aun en contraposición a los matemáticos, pese a las
analogías formales entre la matemática y la lógica, que Boole
señaló. Su obra principal es Investigación de las leyes del
pensamiento en las que se fundan las teorías matemáticas de
la lógica y la probabilidad, 1854, que aún hoy se lee con
deleite.
Augustus De Morgan
La mayor contribución de Augustus
De Morgan (1806-1871) en el estudio de la lógica incluye la
formulación de las Leyes de Morgan y su trabajo fundamenta
la teoría del desarrollo de las relaciones y la matemática simbólica
moderna o lógica matemática. De Morgan es autor de la mayor contribución
como reformador de la lógica.
Georg F. Cantor
Al matemático alemán Georg F. Cantor, 1845-1918, se debe la idea
del infinito continuo, es decir, la posibilidad de considerar
conjuntos infinitos dados simultáneamente. Se le considera el
creador de la teoría de los números irracionales y de los
conjuntos.
Gentzen
El alemán Gentzen (1909-1945) formuló la prueba de la consistencia
de un sistema de aritmética clásica en el cual el método no elemental
es una extensión de inducción matemática a partir de una secuencia
de números naturales a un cierto segmento de números ordinales
transfinitos.
Bertrand Rusell
Bertrand Rusell (1872-1970) es uno de los creadores de la logística
y uno de los pensadores de mayor influencia en la filosofía científica
contemporánea. Lo fundamental en su obra es su aportación
a la lógica. Antiaristotélico por excelencia llegó a afirmar que
para iniciarse en lógica lo básico era no estudiar la lógica
de Aristóteles. Conociendo los trabajos de Cantor descubre en
la Teoría
de Conjuntos varias paradojas que resuelve mediante la Teoría
de los Tipos. Años más tarde establece una teoría similar, -la
de la jerarquía de los lenguajes- para eliminar las paradojas
semánticas. Siguiendo además de los trabajos de Cantor,
a Peano y Frege, Rusell se propone fundamentar y axiomatizar la
matemática a partir de conceptos lógicos. Este empeño culmina
con la publicación (1910-1913) de los monumentales Principia
Mathematica -en colaboración con Whitehead-, obra que, además,
sienta las bases de la moderna lógica formal.
Kurt Gödel
Kurt Gödel (1906-1978) aporta múltiples contribuciones a la lógica
matemática, destacando la demostración de la consistencia de la
hipótesis cantoriana del continuo y el teorema y prueba
de incompletez semántica. En Sobre las proposiciones indecidibles
de los sistemas de matemática formal establece que es imposible
construir un sistema de cálculo lógico suficientemente rico en
el que todos sus teoremas y enunciados sean decidibles dentro
del sistema. Con este teorema se demostró definitivamente que
era imposible llevar a cabo el programa de la axiomatización completa
de la matemática propugnado por Hilbert y otros, ya que, según
él, no puede existir una sistematización coherente de la misma
tal que todo enunciado matemático verdadero admita demostración.
Siempre habrá enunciados que no son demostrables ni refutables.
Para probar esta aserción se sirvió de la matematización de la
sintaxis lógica.
La Revolución Digital
Esta revolución se inicia con la invención de la computadora digital
y el acceso universal a las redes de alta velocidad. Turing relaciona
lógica y computación antes que cualquier computadora procese datos.
Weiner funda la ciencia de la Cibernética. En las Escuelas modernas
de Computación están presentes Lógicos que han permitido avances
importantes como Hoare
que presenta un sistema axiomático de los sistemas de programación
y Dijkstra
con un sistema de verificación y deducción de programas a partir
de especificaciones.
Alan Turing
Matemático y Lógico pionero en Teoría de la Computación que
contribuye a importantes análisis lógicos de los procesos computacionales.
Las especificaciones para la computadora abstracta que él idea
-conocida como Máquina
de Turing-, resulta ser una de sus más importantes
contribuciones a la Teoría de la Computación. Turing además prueba
que es posible construir una máquina universal con una programación
adecuada capaz de hacer el trabajo de cualquier máquina diseñada
para resolver problemas específicos. La Máquina de Turing es un
intento para determinar si la matemática se puede reducir a algún
tipo simple de computación. Su objetivo fué desarrollar la máquina
más simple posible capaz de realizar computación. La máquina propuesta
por Turing es un dispositivo relativamente simple, pero capaz
de realizar cualquier operación matemática. Turing se ilusionó
con la idea de que su máquina podía realizar cualquier proceso
del cerebro humano, inclusive la capacidad de producir
conciencia de uno mismo.
Norbert Weiner
El científico norteaméricano Norbert Weiner (1894-1964) en 1947 publica
su libro más famoso: Cibernética, o control y comunicación
en el animal y la máquina; en donde se utiliza por primera
vez la palabra Cibernética. Existen muchas definiciones de Cibernética
-del griego kybernetes, piloto-, y Norbert Weiner da vida
a la palabra con una definición simple: La Cibernética
es la ciencia que estudia la traducción de procesos biológicos
a procesos que reproduce una máquina. Desde los inicios la
Cibernética se relaciona directamente con ciencias como Neurología,
Biología, Biosociología,
Robótica e Inteligencia Artificial.
Luitzen Egbertus Jan Brouwer
Matemático y lógico alemán (1881-1966) conocido como LEJ Brouwer
y fundador de la escuela de la Lógica intuicionista contrarrestando
definitivamente el formalismo de Hilbert. Miembro del Significs
Group son significativos sus trabajos Life, Art and Mysticism
(1905) y Sobre la infiabilidad de los principios lógicos.
Alfred Tarski
Matemático y lógico y filósofo polaco (1902-1983). Emérito
profesor de la University of California, Berkeley, realiza importantes
estudios sobre álgebra en general, teoría de mediciones, lógica
matemática, teoría de conjuntos, y metamatemáticas. El trabajo
de Tarski5
incluye respuestas a la paradoja
de Banach-Tarski, el teorema de la indefinibilidad de la verdad,
las nociones de cardinal, ordinal, relación y es inductor
de las álgebras cilíndricas.
Benoit Mandelbrot
El gran impulsor de la matemática contemporánea y pionero
de la geometría fractal6
a quien la computación pura revela la moderna Geometría
de la Naturaleza. Fractal y geometría
fractal son el corpus principal de sus investigaciones
además de los sistemas irreversibles. A la práctica
totalidad de disciplinas se aplican hoy sus principios dando por
sentado paradigmas como la Teoría
del Caos que a finales del siglo XX ya contemplaba el estudio
de sistemas dinámicos, irreversibles, caóticos.
La siguiente revolución lógica
La siguiente Revolución Lógica incorpora la fusión entre matemáticas
y computación. Las computadoras tienden a explorar datos inteligentemente
transfiriendo información de las bases de datos a las bases
de conocimiento interconectadas a través de la Red a escala
infinitesimal.
La lógica evoluciona pues como un
gen hacia la culminación
del conocimiento libre que nace del rigor formal de la Matemática
griega; emerge renovadamente de etapas de persecución tan
oscuras como la Edad Media y otros intentos más recientes;
hasta el intercambio constante y continuo de datos en la moderna
era de estructura de redes que Internet proporciona a modo neuronal
a la Humanidad.
In fieri.
NOTAS
