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Hacer ver,
hacer saber
(El rigor
informal de las pruebas matemáticas clásicas)
Luis Vega Reñón
Convengamos en considerar pruebas matemáticas clásicas
las que aparecen, por ejemplo, en los Elementos
de Euclides. Hoy nos separan de los Elementos siglos de distancia
y simas de diferencia. Su geometría carece de un concepto general
de espacio como conjunto de puntos y su aritmética no cuenta
con la noción de serie numérica, sin ir más lejos.
En todo caso, el lenguaje matemático de los Elementos
es una lengua muerta: con el advenimiento de los tiempos modernos, el
lenguaje de Euclides empezó a verse desplazado por otros lenguajes
más operativos o más abstractos (p.ej. la geometría
analítica o el álgebra) y, al fin, la matemática
progresivamente estructural y simbólica del s. XIX le dio el
golpe de gracia.
Sin embargo, es curioso que Frege, uno de los promotores más
relevantes de la rigorización del pensamiento y del lenguaje
matemáticos en la segunda mitad del XIX, abra sus Fundamentos
de la aritmética (1884) declarando: «Después
de haberse alejado por algún tiempo del rigor euclídeo,
la matemática retorna a él ahora e incluso trata de
sobrepasarlo». También es curioso que en nuestros días
un libro concebido para hacer inteligible la práctica actual
de las matemáticas, Experiencia matemática de
Ph.J. Davis y R. Hersh (1982), a la hora de dar un ejemplo de la demostración
matemática no encuentre «nada mejor» –expresión
propia– que la proposición 47 del libro I de los Elementos
(el "teorema de Pitágoras").
De la unión de ambos cabos surge la pregunta: ¿por qué
las pruebas de los Elementos nos siguen pareciendo no sólo
rigurosas sino efectivamente convincentes?
1. Propuesta.
La cuestión es cómo se explica que las pruebas de los
Elementos todavía mantengan su fuerza demostrativa y
su poder de convicción. Cediendo a la tentación de un
planteamiento más espectacular, podríamos preguntarnos:
¿A qué se debe la rara fortuna de un discurso, matemáticamente
muerto según todos los visos, que aún representa un
paradigma del rigor y la retórica del "Q.E.D." de
los matemáticos?
Uno de nuestros modos de reconocer la validez concluyente de una demostración
es su formalización lógica. Pero la opción por
el formalismo no nos depararía una explicación satisfactoria
de la fortuna de Euclides: es notoria la informalidad con que discurren
las pruebas textuales de los Elementos si sus proposiciones
se analizan a la luz de, por ejemplo, nuestra lógica de la
cuantificación 1.
Uno de nuestros modos de reconocer el rigor -incluso informal- de
las pruebas dentro de una teoría deductiva es su axiomatización.
A pesar de la existencia de toda una tradición historiográfica
empeñada en tomar los Elementos como arquetipo de la
axiomatización –diz que "clásica" o "material"–,
el tratado también deja bastante que desear en este sentido.
Y así otra tradición no menos tenaz, justamente la de
axiomatizar la geometría euclidiana, ha tenido trabajo hasta,
digamos, finales del siglo pasado. En suma, no creo que las virtudes
lógicas y axiomatiformes de los Elementos –combinadas
con sus faltas de virtud- nos basten para explicar su valor demostrativo
y su poder de convicción.
Creo, en cambio, que la cuestión planteada se desdobla en dos:
(1) en qué consiste el rigor informal de las pruebas de los
Elementos, (2) cómo se explica su éxito, y me
parece que la consideración positiva de la cuestión
(1) es un camino prometedor para abordar la (2). Por consideración
"positiva" entiendo la que trata de averiguar la conformación
interna de ese presunto rigor, en lugar de verlo simplemente al trasluz
o como un "negativo" de nuestros propios modelos formales
de rigorización.
Según esto, la línea de interpretación –en
relación con (1)– y de explicación –con miras
a (2)– que voy a sugerir, considera dos tipos de estrategias
de incidencia variable según los casos, pero siempre activas
y entretejidas en la trama de la demostración euclídea:
(a) estrategias representativas o formas de hacer ver y (b) estrategias
discursivas o formas de hacer saber la proposición considerada.
Típicamente, las primeras se sirven de unos recursos como las
metáforas conceptuales o las configuraciones diagramáticas;
las segundas se sirven de unos recursos como las expresiones formularias,
las definiciones y demás asertos primordiales, los núcleos
o los cuerpos deductivos derivados. No excluyo que la distinción
sólo tenga a veces una significación tendencial u orientadora
y, de hecho, no faltan procedimientos metódicos concretos que
parecen moverse en un sentido mixto o ambivalente 2.
Con todo, la atención de los comentadores de los Elementos
ha tendido a fijarse en las estrategias de tipo (b), mientras que
las estrategias representativas o intuitivas de tipo (a) no suelen
recibir el reconocimiento que merecen. Aquí, en cambio, resaltaré
su contribución específica a la evidencia de la prueba
y su complicidad con las estrategias discursivas en la eficacia de
la demostración. Más aún, daré por descontados
los aspectos discursivos en general y, en particular, "la estructura
deductiva" de las demostraciones y de las teorías de los
Elementos, y me atendré básicamente a dos de
los recursos del tipo (a): las metáforas y los diagramas. Espero
que su consideración será suficiente para hacerse una
idea de por dónde podemos dar con una clave interpretativa
del rigor informal de las pruebas de Euclides y, en definitiva, con
una de las claves posiblemente determinantes de su éxito.
Supongo, en fin, que esta trama representativo-discursiva de la demostración
bien puede formar parte de una reinterpretación no sólo
de las pruebas clásicas, sino del rigor informal de unas prácticas
matemáticas relativamente comunes, dentro de un marco general
de acciones e interacciones cognitivas. Así que, en último
término, mi interpretación también apuntaría
hacia una filosofía "humanista" o pragmática
de las matemáticas, horizonte que se ha empezado a entrever
en este final de siglo 3.
2. Metáforas.
Los Elementos, al igual que las matemáticas de todos
los tiempos, abundan en expresiones metafóricas -v.g. "base";
"isósceles (de piernas iguales)"; "escaleno
(cojo o torcido)"; "kéklasthai (quebrar)"-.
Pero cuando hable de metáforas a partir de ahora no me referiré
a estos usos figurativos, traslaticios u otros por el estilo, en una
perspectiva literaria, sino a representaciones o conceptualizaciones
como las estudiadas por las recientes teorías cognitivas de
la metáfora; no me referiré a figuras del lenguaje sino,
a través o por debajo de ellas, a formas de concebir, entender
o figurarse algo. En este marco cognitivo, las metáforas consisten
en representaciones o conceptualizaciones de algo en los términos
propios de otra cosa, situación o actividad más familiar;
en última instancia responden al medio corporal y al mundo
propioceptivo de nuestras experiencias. Así, por ejemplo, asimilamos
cantidades o magnitudes relativas del tipo más o menos
a nuestra experiencia espacial y motriz cuando entendemos o significamos
más en términos de arriba-adelante (ir
a más es ascender, avanzar, progresar) y menos en los
correlativos de abajo-atrás (venir a menos es decaer,
declinar, retroceder, entrar en recesión). El hecho de que
estas formas de ver y de apreciar un cambio de magnitud se manifiesten
por medios no sólo lingüísticos -v.g. "suben
(bajan) los precios"-, sino mediante gráficos o por gestos,
puede ser señal del papel básico o primario desempeñado
por tales metáforas en nuestra cultura.
Entre esas teorías cognitivas una, que aspira a dar cuenta
justamente de «la estructura metafórica de las matemáticas»
(Lakoff y Núñez, 1997), me permitirá algunas
precisiones. Las metáforas -por ejemplo "mil es un número
mucho mayor que diez", "tres más dos hacen
cinco"- vienen a ser aplicaciones proyectivas de la estructura
de un dominio más familiar, el dominio fuente (source domain)
o dominio de proyección -colecciones y construcciones,
en los ejemplos dados- sobre otro, el dominio diana (target domain)
o dominio de aplicación -números-. La estructuración
envuelve tanto la proyección de esquemas de imágenes,
como la de pautas inferenciales, de modo que la estructura figurativo-esquemática
del dominio de proyección conforma o configura el de sus aplicaciones
y la estructura inferencial se preserva en cualquier dominio de aplicación,
salvo cuando la estructura de éste no cuadra con la del dominio
de proyección 4.
Lakoff distingue dos clases principales de metáforas: básicas
y de enlace.
Las básicas proyectan un sector de nuestro mundo corporal o
primario de experiencia –experiencias de reunir o coleccionar
cosas, construir, caminar, etc.– sobre el dominio de aplicación;
las de enlace, a su vez, proyectan un dominio previamente metaforizado
o un campo de conocimientos sobre otro distinto -sería lo que
hacemos cuando, por ejemplo, tratamos las líneas o lugares
de puntos (un dominio geométrico de aplicación) en términos
de conjuntos de números reales (un dominio aritmético
de proyección).
El ensayo de Lakoff-Núñez (1997) es no sólo sugerente
sino provocador e invita a entrar en discusión. Pero eludiré
el debate y procuraré sacar partido de las nociones que acabo
de apuntar. Con todo, creo que no estará de más discernir
entre analogías, metáforas, metonimias e isomorfismos,
antes de considerar la metaforización como una de las vías
de conceptualización y de inferencia informal en los Elementos.
Convengamos en entender por analogía una comparación
o cierta similitud -explícita, "A es como B (en
tal o cual respecto)", o implícita, "A es
(una suerte de) B"- entre dominios conceptualizados o caracterizados;
digamos entonces que una analogía halla o explota una correspondencia,
por lo regular con fines heurísticos. Así, por ejemplo,
Arquímedes propone concebir ciertos objetos geométricos
-líneas y puntos- en términos mecánicos -como
palancas y centros de gravedad- en las proposiciones del Método.
En cambio, una metáfora es una conceptualización
o caracterización de un dominio -de aplicación- en términos
de otro dominio -de proyección-; una metáfora, digamos,
crea una correspondencia. Si las metáforas admiten formulaciones
identificativas, apositivas, comparativas, cuando no obran de manera
implícita, la metonimia suele tener una formulación
sustitutiva -v.g. "ha leído a Cervantes", "Turquía
ha iniciado conversaciones con Bruselas", "sacó el
acero"- y representa o conceptualiza metafóricamente algo
en términos de otra cosa con la que guarda cierta relación.
En fin, un isomorfismo es una correspondencia estructural entre
dominios de relaciones dados, una correspondencia de segundo orden,
podríamos decir. Sirva de muestra la idea de proporción
como igualdad de razones, A:B = C:D o «como A es
a B [razón o correspondencia1], así C es a D
[razón o correspondencia1']», donde «como...,
así...» marcarían otra correspondencia2
no sólo entre elementos sino entre razones. Aunque no sea precisamente
ésta la proporción euclídea -no consiste en una
relación diádica de identidad, sino más bien
en una relación tetrádica de la forma A:B :: C:D, donde
la noción de razón, carente de entidad propia, se limita
a habilitar un dominio compuesto por magnitudes arquimedianas homogéneas-,
la teoría de la proporción de los Elementos se
desarrolla y se generaliza -a partir de las deff. 5, 6, 7 del libro
V- mediante patrones estructurales que conceptualizan dominios de
relaciones entre magnitudes conmensurables e inconmensurables, p.ej.
conforme al patrón de alternancia: «si como A es a B,
así C es a D, entonces por alternancia como A es a C, así
B es a D» (cf. Elementos V, 16; VII, 13). Ni que decir
tiene que tales patrones o esquemas estructurales de la teoría
generalizada de la proporción sólo podrían llamarse
"metafóricos" por un abuso del lenguaje 5.
Con estos supuestos podemos rastrear las huellas de diversas conceptualizaciones
metafóricas en los Elementos. Dos metáforas principales
son la de todo-partes y la de comprender-estar comprendido
-tomo "comprender" en el doble sentido de abrazar, ceñir
o rodear, y de contener o incluir alguna cosa-. La segunda metáfora
actúa, por ejemplo, en las definiciones geométricas
de línea recta («es aquella que yace por igual respecto
de los puntos que están en ella» [libro I, def. 4] 6),
de superficie plana [I, def. 7], de ángulo rectilíneo
(«cuando las líneas que comprenden el ángulo son
rectas, el ángulo se llama rectilíneo», [I, def.
9]) y, en general, de figuras cerradas (el círculo [def. 15]
y el semicírculo [def. 18] 7;
las figuras triláteras, cuadriláteras y multiláteras
[deff. 19-22]), a partir de la noción misma de figura: «una
figura es lo contenido por uno o varios límites» [def.
14]. También aparece con frecuencia en otros lugares, p.ej.
entre las definiciones del libro III y, más aún, entre
las de libro XI. Con la complicidad de la representación diagramática,
según veremos luego, esta metáfora contribuye a suplir
informalmente un postulado de continuidad topológica que brilla
por su ausencia en los Elementos -sería preciso para
la justificación axiomática de la existencia de intersecciones-.
A sus servicios configuradores, puede añadir otros inferenciales
como el que presta en la prueba de la proposición I 4 en los
términos: «dos rectas encerrarán un espacio; lo
cual es imposible»; la tradición de los comentaristas
del tratado de Euclides transformará luego este argumento en
una noción común adicional, en el axioma expreso: «dos
rectas no contienen un espacio» (cf. Proclo, In I Euc. Comm.,
196.21).
La metáfora todo-partes reviste, a su vez, especial
importancia en los libros V y VII en orden a la conceptualización
de una relación de medida que tampoco está definida
en el texto de los Elementos. Pero ya obra a efectos excluyentes
en la def. 1 del libro I, «un punto es lo que no tiene partes»,
y sienta una base inferencial genérica en la noción
común 8, «el todo es mayor que la parte». Veamos
estos dos casos, antes de pasar a la "teoría inducida"
de la medida. La def. I 1 y su contexto significan que un punto es
algo que ni es parte ni tiene partes: los puntos geométricos
no son un dominio de aplicación de esta metáfora, sino
que, al igual que las líneas y las figuras en general, son
un dominio de aplicación de la metáfora de comprender
o estar comprendido -recordemos la idea aristotélica
de que la línea es un continuo en el que están comprendidos
los puntos (p.ej. como los extremos de un segmento, cf. Elementos,
I, def. 3), pero no se compone de puntos o indivisibles contiguos
o sucesivos 8.
Dentro de la perspectiva de los Elementos, esto anuncia una
demarcación entre la geometría y la aritmética.
La noción común 8, a su vez, nunca aparece literalmente
como relación todo-parte en las pruebas; por regla general,
actúa en los términos de mayor-menor y a los
efectos inferenciales de la reducción al absurdo, p.ej. si
no fuera el caso que se trata de demostrar, un determinado triángulo
menor resultaría igual a otro mayor (I, 6), o el mayor al menor
(I, 39), lo cual es imposible. Se supone que A es mayor que B si hay
una porción de A igual a B -porción que podría
ser B mismo, pero no A entero-, amén del principio de tricotomía,
y así la noción se integra con las restantes nociones
comunes de los Elementos acerca de la igualdad -hay pruebas
p.ej. en las proposiciones I 7 y III 13, que no comparan un todo con
una parte propia y allí el discurso inferencial cobra cierto
énfasis retórico, p.ej. «Puesto que  B es a su vez igual a  B, también es igual el
ángulo B al ángulo B. Pero se ha demostrado que es
mucho mayor que él; lo cual es imposible» (I 7)-. Estos
usos formularios de la noción común 8, en versión
mayor-menor, y sus servicios inferenciales se mantienen en
la aritmética (p.ej. VII 2, 3, 34, 36; VIII 1, 4), aunque ahora
integrados en una "teoría de la medida" que permitiría
el empleo inequívoco de los términos originales todo-parte.
Su transcripción en los términos genéricos de
la contraposición mayor-menor tiene ventajas como la
de preservar su eficacia rigurosamente concluyente en los ámbitos
dispares de la aritmética y la geometría, si bien en
el supuesto de su adecuación contextual en cada caso, p.ej.
en aritmética bajo la fórmula: «el [número]
mayor medirá al menor», lo cual es imposible (VII
2) 9
.
La "teoría de la medida" de los Elementos
es, a mi juicio, una ilustración cabal del poder de conceptualización
de la metáfora del todo y las partes. Según es bien
sabido, no hay definición alguna de las relaciones capitales
de medir-a o ser-medido-por. Aparecen en el libro V
de la mano de las nociones de magnitud, «una magnitud es parte
de una magnitud, la menor de la mayor, cuando mide a la mayor»
(def. 1), y de múltiplo, «y la mayor es múltiplo
de la menor cuando es medida por la menor» (def. 2). Pero su
dependencia de la metáfora se hace más notoria en el
pórtico del libro VII: «un número es una pluralidad
compuesta de unidades» (def. 2), «un número es
parte de un número, el menor del mayor, cuando mide al mayor»
(def. 3), «pero partes cuando no lo mide 10
» (def. 4), «y el mayor es múltiplo del menor cuando
es medido por el menor» (def. 5). Si redondeamos este contexto
con la def. 1 de unidad, «aquello en virtud de lo cual cada
una de las cosas que hay es llamada una», podremos dar a la
metáfora la raigambre y la significación que se merece.
Recordemos que las nociones de unidad, uno y número venían
sumidas en un maremagno de intuiciones paradójicas, si no francamente
antinómicas 11
. De esta tradición filosófica, dialéctica y
matemática se podía sacar en claro que el uno no era
un número, pero poco más. El mismo Platón, cuya
lucidez le permitía ironizar a cuenta de los matemáticos:
«Hombres maravillosos, ¿de qué números
habláis, en los que se halla la unidad tal como la consideráis,
como igual a cualquier otra unidad sin diferir en lo más mínimo
y sin contener en sí misma parte alguna?» (República,
VII 526a) -también a él cabría preguntarle: divino
Platón, ¿sobre qué uno discurres en el Parménides?-,
bastante tenía con liberar a los números en sí
de las servidumbres del cálculo y elevarlos a la condición
estática de Ideas. En todo caso los Elementos dejan
traslucir tanto la selección como la reelaboración a
que somete Euclides esa tradición aritmética y su trasfondo
metafórico. De la unidad, por ejemplo, importan su indivisibilidad,
explícita en VII, def. 1, y su discernibilidad, implícita
en la def. 2. De la primera se sigue la imposibilidad de un proceso
infinitamente decreciente de medición de un número (aducida
en la prueba de VII 31). La segunda tiene que ver con la idea del
número de veces que una unidad es parte de -mide a- un número:
idea de reiterabilidad que también puede prestarse a perplejidades,
así que su funcionamiento en aritmética exige cierta
elaboración crítica al tiempo que supone otra tradición
más bien operacional que meramente metafórica 12
. Un trasunto de esta tradición operacional y "logística"
podría ser el tratamiento de la división por reducción
a unidades partitivas dentro de la teoría de la proporción
13
. Consideremos, por ejemplo, la división de 12 por 3. En términos
de la teoría de la medida, se diría que 12 está
medido 4 veces por 3 o que 3 mide a 12 según las unidades de
4 –si se quiere ser más fiel al lenguaje de VII 22–,
y esto en términos proporcionales equivaldría a 3:12
:: 1:4, lo cual permite una distinción entre la unidad absoluta
de medida -inmedible o indivisible- y las posibles unidades numéricas
relativas, p.ej. el número 3 en el ejemplo dado: 3 es parte
de 12 tantas veces como la unidad absoluta 1 es parte de 4. Euclides
hace uso expreso de la unidad absoluta como término proporcional
en VII 15 -cuyo enunciado se dejaría esquematizar en la fórmula:
«si 1:a :: b:c, entonces por alternancia 1:b :: a:c»-;
para el caso de las unidades relativas, parte o partes, cf. VII 9-10.
Por lo demás, no faltan otros signos de la elaboración
de la metáfora todo-partes en el marco de la teoría
de la proporción aritmética de los Elementos:
p.ej. compárese la proposición genérica de Aristóteles:
«el todo es al todo como cada parte es a cada parte» (EN
1131b14) con el teorema VII 11: «si como un todo es a un todo,
así es un número a un (número) restado, también
el resto será al resto como el todo al todo». Uno de
los momentos culminantes de esta reelaboración euclídea
de un legado operacional y logístico en la teoría de
la medida es la determinación efectiva de la medida común
máxima (MCM) entre dos o más números por «anthyphaíresis»
o sustracción recíproca sucesiva. Una versión
informal –según corresponde a su uso por parte de Euclides–,
pero como rutina o algoritmo –según corresponde a su carácter
rigurosamente efectivo–, podría ser la siguiente:
(i) sean los números m, n, tomados en orden de mayor a menor:
<m, n>; (ii) si n se mide a sí mismo y mide a m sin residuo,
entonces n es la medida común y la medida máxima pues
ningún número mayor que n podría medir a n, así
pues MCM = n; (iii) en otro caso, se resta n de m -el menor del mayor-
y se reinicia el procedimiento: se aplican al sustraendo n y al resto
r la cláusula (i) y seguidamente la cláusula (ii) o
la (iii), según sea el caso 14.
El proceder «anthyphairético» cumple varios cometidos
a través de los Elementos: es un criterio de primos relativos
en VII 1 -dos números son primos relativos, primos entre sí,
si su MCM es la unidad absoluta-; es un método efectivo para
hallar la MCM de dos [VII 2] o más números [VII 3] no
primos entre sí; también es un criterio de inconmensurabilidad
entre magnitudes en X 2 -si la aplicación del procedimiento
a unas magnitudes dadas conduce al absurdo de que la mayor mida a
la menor, las magnitudes dadas son inconmensurables-; y es, en fin,
un método efectivo para hallar la MCM de dos magnitudes conmensurables
en X 3. Por esta vía de la reelaboración de un trasfondo
metáfórico y operacional en una teoría de la
medida, los Elementos vendrán a relacionar las magnitudes con
los números en X 5-6: dos magnitudes son conmensurables si
y sólo si guardan entre ellas la razón que un número
guarda con otro número -resultado más bien inopinado
a la luz del planteamiento expreso que uno y otro dominio habían
tenido en los libros V (magnitudes) y VII (números).
Las dos mencionadas no son, desde luego, las únicas metáforas
que obran en el seno de los Elementos. Otras metáforas
asimismo operantes aunque con menor presencia son las de (no)encuentro
o (no)concurrencia -v.g. en la conceptualización
de las paralelas, I, def. 23 y postulado 5-; movimiento de giro -v.g.
XI, deff. 14, 15, 18, 19, 21-; inclinación, quizás
diagramática, v.g. I, def. 8; XI, deff. 5, 6, 7. Y todo ello
sin contar las metáforas más socorridas en la geometría,
las que vienen directamente ligadas a la representación por
medio de diagramas, como poner, cortar, prolongar,
levantar o incidir, etc.; también en este punto
se aprecian diferencias entre la geometría y la aritmética:
si la primera es el campo de acción por excelencia del construir
[synístemi, systésasthai], la segunda
lo será en cambio del hallar [heureîn],
en correspondencia con el papel casi irrelevante de los diagramas
en las pruebas aritméticas -después de Euclides llegarán
incluso a contraponerse el proceder dia grammón y el
proceder di'arithmón (cf. p.ej. Herón, Métrica
II 10.3; Tolomeo, Almagesto I 10, 32.1, VII 5, 193.19; Pappus,
Coll. VI 600.9-13).
Pero antes de pasar a este segundo aspecto del rigor informal de las
demostraciones euclídeas, su aparato diagrámatico, resumiré
dos características notables del uso de las metáforas
en los Elementos: 1/ Algunas actúan desde el "pórtico
axiomatiforme" mismo -es decir: desde las definiciones, nociones
comunes y postulados-, de modo que forman parte del escenario conceptual
y de la urdimbre inferencial en que se desarrollan algunas teorías
relevantes, p.ej. la teoría de la medida. 2/ No obstante, su
uso en las proposiciones y las pruebas comporta cierta reelaboración,
amén del concurso de otras fuentes cognitivas integradas como
algunos recursos operativos, nociones y teorías e incluso fórmulas
y pautas inferenciales legadas por la propia tradición matemática
pre-euclídea (p.ej. la logística pitagórica,
las contribuciones de Teeteto y Eudoxo o el lenguaje formulario de
la reducción al absurdo ya detectable en Autólico de
Pitania, respectivamente).
3. Diagramas.
Los usos lingüísticos son una vez más indicios
elocuentes. Hay una tradición que llama "diagrama"
a una proposición o un teorema (p.ej. Aristóteles, APr.
41b14, Metaphys. 998a25, y algunos comentadores como Ammonio,
Scholia in Arist. IV 89b11; pero también Pappus, VII
638.17, 670.1-2). Por añadidura, la geometría cuenta
con una jerga especializada de términos prácticos, metafóricos
y gráficos -como los antes mencionados, por ejemplo-, donde
gráphein, en particular, recibe los significados técnicos
de (1) describir, i.e. trazar líneas no rectas o figuras no
rectilíneas, y (2) probar por medio de diagramas (vid. Platón,
Teeteto 147d). La mención de Platón a este respecto
o, para el caso, la de Aristóteles, obliga a recordar el papel
mediador de las representaciones diagramáticas en el acceso
a los objetos inteligibles geométricos, cf. p.ej. República
510d-e, 527a-b, amén de Aristóteles, APo. 77a1-2, De
caelo 279b35-280a11. Pero hay una referencia aristotélica
que cobra singular relieve al ligar directamente la representación
diagramática con el hacer ver un teorema geométrico:
«¿Por qué los ángulos del triángulo
equivalen a dos rectos? Porque los ángulos en torno a un punto
son iguales a dos rectos. En efecto, si se traza la paralela a uno
de los lados, será inmediatamente evidente para quien lo contemple»
(Metaphys. 1051a21-30; cf. Elementos, I 31-32). En suma,
si «diágramma» viene a ser una denominación
metonímica tradicional de una proposición probada, la
configuración diagramática que acompaña a la
proposición, su katagraphé o schêma,
viene a ser una metonimia de la prueba.
Veamos qué significa esto en la práctica de los Elementos,
sin ir más lejos en la proposición I 1: «construir
un triángulo equilátero sobre una recta finita dada».
Es una proposición largamente usada y mencionada por sus poderes
ilustrativos; entre filósofos, en particular, ha representado
desde antiguo un paradigma de prueba informal que suple con los trazos
de un dibujo bidimensional la carencia de postulados explícitos.
Aquí interesa además por otros dos motivos: (1) presenta
cabalmente la estructura de la demostración que, a partir del
comentario de Proclo al libro I, suele considerarse canónica
en los Elementos -aunque, de hecho, no pase de ser un canon
relativo-; (2) guarda una relación tan íntima con el
diagrama implicado que éste, sin ser trivial o redundante a
efectos demostrativos, puede inferirse inequívocamente a partir
del texto discursivo mismo -son dos virtudes que, por cierto, no cabría
extender a todas las proposiciones del tratado de Euclides 15.
Así pues, dejaré al lector la reconstrucción
de la figura y me limitaré a seguir el texto marcando entre
corchetes los pasos "canónicos" del desarrollo de
la proposición.
[i] «Construir un triángulo equilátero sobre una
recta finita dada [prótasis, enunciado].
[ii] Sea la <recta> AB la recta finita dada [ékthesis,
exposición o introducción del caso a considerar por
referencia deíctica a una línea disponible o trazada].
[iii] Así pues, hay que construir sobre la recta AB un triángulo
equilátero [diorismós, determinación o
especificación del objeto de la prueba por relación
al caso expuesto].
[iv] Descríbase con el centro A y la distancia AB el círculo
B, y con el centro B y la distancia
BA descríbase a su vez el círculo AE, y a partir del punto donde los círculos se
cortan entre sí, trácense las rectas A, B hasta los puntos A, B 16
[kataskeué, urdimbre o disposición de construcciones
y relaciones a partir de lo dado y en orden a la obtención
del resultado propuesto].
[v] Y puesto que el punto A es el centro del círculo B, A es igual a AB; puesto que el
punto B es a su vez el centro del círculo AE, B es igual a BA 17;
pero se ha probado que A es igual a AB; por tanto, cada
una de las <rectas> A , GB es igual a la AB. Ahora
bien, las cosas iguales a una misma cosa son también iguales
entre sí 1; por tanto, la A es también igual a la
GB; luego, las tres A, AB, B son iguales entre sí [apódeixis,
proceso demostrativo propiamente dicho].
[vi] Por consiguiente, el triángulo AB es equilátero y ha sido
construido sobre la recta finita dada AB. <Que es> lo que había
que hacer.» [Sympérasma, conclusión]
Como a estas alturas, el lector ya tendrá ante los ojos el
diagrama correspondiente, podrá hacerse cargo de lo justa que
era la observación aristotélica citada arriba: por mal
dibujante que sea, le bastará mirar el dibujo trazado o imaginado
al hilo del discurso para que la equilateralidad del triángulo
le resulte «inmediatamente evidente». Dicho de otro modo,
mientras el desarrollo discursivo de la prueba procura hacerle
saber que el triángulo en cuestión es equilátero,
la imagen cómplice -gráfica o mental- le hace ver
este resultado, hace que la equilateralidad del triángulo AB salte a la vista. La integración
de ambos aspectos, el discursivo y el diagramático, convierte
la construcción en una proposición a todas luces incontestable.
Sería tan insensato poner en duda que si dos lados son iguales
a un tercero, son iguales entre sí, como dudar de la evidencia
de que los círculos descritos se cortan en el punto . Pues bien, en esta complicidad
entre el diagrama y el discurso, entre hacer ver y hacer
saber, reside seguramente una de las claves del éxito del
rigor informal de las pruebas euclídeas -los hilos metafóricos
de la trama también son, como ya hemos visto, ligaduras cooperantes-.
En efecto, la proposición I 1 nos sigue pareciendo obvia y
convincente, aunque hoy todo el mundo sabe que obra sobre ciertas
suposiciones teóricas no declaradas -p.ej. la imposibilidad
de que dos rectas tengan un segmento común, la existencia de
puntos de intersección entre dos círculos-, como también
es sabido que su convalidación lógica incluso, pese
a descansar en «el poder de prueba de un axioma» –según
decía Galeno (Eisagogé XVI.6)–, podría
prestarse a equívocos 19.
En esta perspectiva informal, el uso de los diagramas difiere del
que suele atribuirles una larga tradición lógica formal
20.
En la tradición lógica, un diagrama es una configuración
cuyas relaciones espaciales, usualmente topológicas, son isomórficas
con la estructura de una o más proposiciones, y está
diseñado para resolver problemas de convalidación, entre
otros servicios -p.ej. didácticos o ilustrativos. En el marco
de los Elementos, y dentro de la tradición matemática
subyacente, los diagramas son análogamente medios de representar
y resolver problemas geométricos -p.ej. la construcción
de un triángulo equilátero-. Pero sus usos y funciones
con respecto a la proposición correspondiente no tienen precisamente
que ver con el isomorfismo, sino con la metonimia, al menos en geometría.
Los diagramas parecen cumplir en los Elementos dos tipos de
funciones, unas más bien generales, otras más bien específicas
en el sentido de venir precisamente introducidas por las cláusulas
de exposición [ékthesis] y de especificación
[diorismós] que, según veíamos antes,
forman parte del desarrollo discursivo de la proposición. Una
función genérica de los diagramas es la delimitación
del campo de referencia de la proposición dentro del escenario
montado por las definiciones y los postulados. Hablo de escenarios
por contraste con los universos de discurso contemplados en nuestras
teorías de modelos: se distinguen no sólo por envolver
metáforas básicas en su entramado, sino por tratarse
de marcos de constitución y de interrelación de determinados
objetos matemáticos (rectas, círculos, etc.) -no son,
en absoluto, conjuntos de cualesquiera objetos capaces de satisfacer
las condiciones axiomáticas abstractas de un sistema formalizado-.
Así, en el marco compuesto por las definiciones de los objetos
pertinentes –con su urdimbre metafórica– y por los
postulados adoptados en calidad de operaciones o construcciones autorizadas,
Euclides confía en poder contar con un punto siempre que lo
necesite y donde convenga; es la configuración gráfica
misma la que, llegado el caso, se encarga de proveerlo. Pues el punto
de intersección entre
los círculos, en I 1, con ser un ejemplo flagrante no sería
una muestra única: en el escenario de la geometría plana
de los Elementos han de tener lugar intersecciones de rectas
con rectas, curvas con curvas, rectas con curvas; sin embargo, Euclides
sólo parece contar expresamente y de antemano con puntos de
intersección entre rectas en virtud del postulado 5. A esta
delimitación y disposición del campo de referencia como
un repertorio de objetos, en parte previstos, en parte construidos
y en parte dados, la tramoya de la representación aún
puede añadir algún otro servicio de carácter
general: los diagramas no dejan de proporcionar tanto figuras manejables
en un espacio finito y abarcable, como configuraciones estables de
trazos hechos –conforme a la voz pasiva y el tiempo pasado de
las expresiones verbales al efecto–. Pero de los diagramas también
cabe esperar otros servicios más específicos, relacionados
con la configuración precisa para la prueba del enunciado en
cuestión. En particular, estos tres: (i) el de fijar y hacer
ver el objeto de la prueba, i.e. la tarea a realizar o el caso a demostrar,
-p.ej. con la ékthesis y el diorismós
de la proposición-; (ii) el de disponer las cosas en orden
a su consecución -p.ej. mediante la kataskeué
que da curso a la prueba-; (iii) el de mostrar en fin la consecución
misma. El diagrama viene a actuar en suma como una metonimia de la
proposición correspondiente, de manera que la cláusula
de ékthesis o exposición no significa una "instanciación"
-en el sentido de la teoría de la cuantificación de
nuestra lógica formal-, sino una metonimización mediante
deixis que se desarrollará a través de la kataskeué
hasta integrarse en la demostración [apódeixis]
discursiva 21.
Ahora bien, para llegar a esta interpretación hemos partido
de la proposición I 1 y quizás no esté de más
reconocer que se trata de un problema, una tarea a realizar -según
declaran la proposición misma [prótasis] y su
especificación [diorismós]-, efectivamente cumplida
-según constata el remate formulario de la conclusión:
«<Que es> lo que había que hacer [QEF]».
En un teorema, en cambio, la especificación vendría
presidida por la fórmula asertiva «Digo que ...»
y la conclusión vendría rematada por la cláusula
«<Que es> lo que había que demostrar [QED]».
Hay quienes han atribuido por estos u otros motivos una significación
trascendental a la distinción entre problemas y teoremas en
la antigua matemática griega. A juicio de Proclo -y en mi opinión-
esta distinción no desempeña un papel crucial en el
texto de los Elementos de Euclides 22:
queda lejos, por ejemplo, de la significación que tienen las
diferencias sustantivas entre objetos geométricos, magnitudes
y números. En todo caso, esas fórmulas distintivas no
hacen que los problemas sean en los Elementos más informales
o "constructivos" -diagramáticos- que los teoremas:
en uno y otro tipo de proposición, los postulados de "construcción"
tienden a estar presentes en la kataskeué, así
como las nociones comunes y las cláusulas consecutivas suelen
pasar al primer plano en la apódeixis; ninguno de los dos tipos
es inmune a la acción de los supuestos tácitos, ni es
refractario a la complicidad de la evidencia gráfica. Más
aún, y este es un punto de especial importancia para el rigor
informal de las pruebas euclideas, ambos discurren sobre, y a través
de, referencias deícticas a (elementos de) configuraciones
diagramáticas, v.g. «el» punto o «la»
línea tal o cual 23.
Es curioso que incluso en la teoría generalizada de la proporción
y en la aritmética, donde no hay postulados y la representación
diagramática no pasaría de ser un recurso trivial, con
fines meramente ilustrativos, Euclides mantenga esta misma formulación
de las deixis geométricas: un artículo determinado seguido
de la letra o letras que sustituyen el nombre del objeto referido,
pero que concierta en género con el nombre sustituido, v.g.
«sea la A (o el A) una magnitud (o un número)»,
y cumple el cometido de un señalador 24.
Lo que se desprende de este uso matemático, no ocasional sino
habitual y característico -al menos en los Elementos-,
es que dichas letras nada tienen que ver con lo que hoy se entiende
por "variable" en lógica o en matemáticas.
Creo que esto merece una breve excursión a efectos comparativos
por otros lugares en los que aparecen dichas letras con usos similares,
análogos y distintos; bastará atenerse a unos textos
de Aristóteles para caer en la cuenta del papel específico
de las letras deíctico-diagramáticas que caracteriza
no sólo a Euclides, sino a una tradición geométrica
griega.
4. Excurso sobre los usos de letras en Aristóteles.
En Aristóteles se pueden observar tres usos principales, a
saber: en un papel deíctico-diagramático, en un papel
de abreviaturas y en una novedosa calidad de letras esquemáticas
útiles a los efectos del análisis lógico. Veamos
algunas muestras:
4.1 En el papel de letras deíctico-diagramáticas,
conforme a la tradición geométrica. «Llévense
al centro las <rectas> AB ... Así pues, si se asume que
el ángulo A es igual al B ...» (APr. 41b15-10);
«Sean las líneas AA', BB', ' iguales entre sí; quítese
de la AA' el <segmento> AE y añádase a la ' el de modo que la <línea>
entera GG' exceda a la EA' en los <segmentos>
G y GZ; <excederá>
por tanto a la BB' en el G» (EN 1132b5-9); «Trácense,
pues, desde el centro las <rectas-radios> AB y AG y únanse
mediante la <cuerda> BG. Así pues, la perpendicular a
la base, la A es menor que las <rectas>
trazadas desde el centro; luego, el lugar es más cóncavo»
(De Cael. 187b8-14). Destacaré tres rasgos de este tipo de
usos: se dan dentro de contextos geométricos; los artículos
que acompañan a las letras llevan la marca del género
que corresponde al nombre del objeto representado (femenino cuando
se trata de eutheîa [recta] o gonía [ángulo],
neutro cuando se trata de tmêma [segmento]); los tres
pasajes envuelven referencias diagramáticas –aunque, de
hecho, no figure ningún diagrama en las fuentes textuales que
poseemos-.
4.2 En el papel de abreviaturas nominales. Así funcionan,
por ejemplo, en los pasajes de la Física dedicados a
la consideración crítica de las aporías de Zenón;
en particular: «si la magnitud AB estuviera compuesta de los indivisibles
A, B, , cada parte del movimiento EZ de Pi sobre AB , a saber A, B, , sería indivisible.»
(231b23-25). Aquí los artículos estarían de más
o serían irrelevantes. Se trata de un uso similar al que tiene
lugar en diversos contextos para referirse distintamente -aunque no
sea deícticamente- a diversas cosas o individuos, como cuando
decimos en un contexto jurídico: "si B y C hubieran suscrito
un contrato con A, entonces ...".
También cabe hallar en Aristóteles algún pasaje
que combina o mezcla los dos usos mencionados, 4.1 y 4.2.
Por ejemplo, Meteor. 375b10 ss.: «Sea B el <arco>
iris exterior; el interior, el primero, A; en cuanto a los colores
sea el escarlata, el verde y E el cárdeno;
el rubio aparece en Z ... A partir del diagrama [implícito
en el texto] será obvio para quienes lo estudien que no es
posible que el iris forme un círculo ni tampoco una sección
mayor que un semicírculo, así como lo relativo a las
demás circunstancias que lo rodean. En efecto, siendo A un
hemisferio <levantado> sobre el círculo del horizonte,
K su centro y H otro punto cualquiera de salida <del sol> 25
...» -sigue a continuación una prueba de corte diagramático-discursivo.
4.3 En el papel de letras esquemáticas o de una especie
de "variables" de términos, dentro del marco del
análisis lógico aristotélico. Por lo que sabemos,
es precisamente Aristóteles quien inicia este uso en la historia
de la lógica. Así que no vendrá mal recordar
brevemente su proceso de introducción en APr. 25a1-26. Aristóteles
empieza ejemplificando clases de proposiciones (afirmativas, negativas,
etc.) y de esquemas de inferencias (de conversión) mediante
proposiciones o términos sujeto-predicado que consisten en
muestras triviales de la categoría gramatical pertinente: la
de proposición o de la término. P.ej. «ningún
placer es un bien», «todo placer es un bien», «si
hombre no se da en algún animal, no por ello animal no <ha
de> darse en algún hombre». Pero luego, sin previo
aviso, en 25a15 ss. aparecen las letras esquemáticas o "variables"
de términos: «Sea la proposición ... AB. Si, pues,
en ningún B se da A, tampoco en ningún A se dará
B ...». Más adelante, en el curso de la exposición
de los silogismos del sistema, invertirá este orden de proceder:
hará una exposición inicial mediante letras, que luego
ejemplificará o "instanciará" en términos
ordinarios triviales, i.e. carentes de otro significado que no sea
el de ser unos ejemplos cualesquiera. Sugiere incluso una especie
de método al respecto: el empleo de triplos de términos
dentro de un procedimiento expeditivo para recusar esquemas inferenciales
mediante la verdad obvia de sus premisas y la falsedad palpable de
su conclusión, p.ej. en APr. 26a5-9, 27b12-13; pero es un recurso
también usual en otros contextos y reaparece p.ej. en 30b5:
«Términos: movimiento, animal, blanco», o en 33b7-8:
«Términos comunes a todos los casos de darse necesariamente:
animal, blanco, hombre; <a todos los casos> de no ser admisible:
animal, blanco, vestido». Por último, en la exposición
metasilogística de la reducción entre modos y figuras
(p.ej. en APr. 29a19-29b28 o en 50b5-51b4), esta ejemplificación
desaparece y sólo tienen lugar las expresiones esquemático-literales.
Aristóteles se permite utilizar las letras en lugar de los
términos de dos maneras: una directa, del tipo de «en
ningún B se da A» (25a15) o del tipo «B es animal
y A hombre» (25a24); la otra indirecta, mediante la construcción
epi+dativo/genitivo; ambas concurren a veces, p.ej.: «si
A fuera movimiento, B animal y aquello por lo que [eph'hô,
i.e. epi+dativo] está, hombre ...»
(30a30).
En todo caso, un rasgo distintivo de este uso de las letras es el
venir marcadas por el artículo en género neutro, «lo
A ... [tò A ...]», completamente al margen del
género de su presunto correlato pues como tal podría
considerarse una expresión cualquiera de la categoría
pertinente, es decir: cualquier término silogístico.
Está claro que las letras, en este contexto, no envuelven connotaciones
diagramáticas ni referencias deícticas -aunque tanto
Aristóteles como sus comentadores pudieran haber tenido ante
los ojos alguna especie de diagramas a la hora de tratar con los silogismos-.
Pero estas letras tampoco desempeñan el papel de las abreviaturas
usuales. Son más bien una suerte de "variables" -muy
distantes de las hoy usuales en los lenguajes formalizados o en la
teoría de la cuantificación- o, mejor dicho, un recurso
habilitado para la esquematización de formas proposicionales
y de patrones deductivos (modos del silogismo). Digamos en conclusión
que Aristóteles ha hecho lógica formal, no lógica
formalizada. Euclides, por su parte, ni lo uno ni lo otro.
5. El deíknymi de los matemáticos.
Deíknymi [mostrar] es un término con varios y
diversos usos, entre los que ahora importa destacar dos tendencias
significativas: una, en la línea de presentar algo; otra, en
la línea de probar que algo es el caso. La primera incluye
los matices de exhibir o poner ante los ojos, apuntar o señalar
e, incluso, manifestar o dar a conocer por medio del lenguaje. En
la segunda caben tanto el sentido ordinario y genérico de ser
una prueba o dar pruebas, con las connotaciones de revelar, indicar,
testimoniar, verificar, como el sentido más especializado de
demostrar o probar de modo lógicamente concluyente. Puede que
el interés por demarcar esta última acepción
discursiva moviera a los filósofos a un uso alternativo de
apodeíknimi y apódeixis, en particular
a Aristóteles dentro del contexto lógico y metodológico
de los Analíticos. Pero el empleo de esta alternativa
formada por el prefijo apo- (que añade un matiz análogo
al presente en nuestros correlatos de-mostrar, de-mostración),
no excluye el uso pertinente del término básico en el
mismo sentido y en los mismos contextos; el propio Aristóteles
declara que «toda demostración prueba algo de algo [pása
apódeixis ti katà tinós deíknysi]»
(APo. 90b33-34). Lo cierto es que el uso discursivo y demostrativo
de deíknymi es habitual en los textos matemáticos
clásicos, hasta el punto de conformar la fórmula que
da remate a la demostración cumplida de un teorema: «lo
cual había que demostrar [hóper édei deîxai]».
Más aún, a tenor del tópico historiográfico
quizás más extendido acerca de la matemática
griega, este sentido fuerte es un rasgo no sólo habitual sino
distintivo de la fundación de la matemática griega como
ciencia deductiva, frente a las matemáticas de su entorno,
p.ej. los cálculos y medidas babilonios o egipcios. Pero el
tópico suele venir enriquecido con alguna otra proyección
histórica añadida e incluso, no pocas veces, acusa la
sobrecarga de ciertas connotaciones o suposiciones filosóficas.
Por ejemplo, según una interpretación muy difundida
desde mediados de este siglo, el deíknymi de la deducción
lógicamente concluyente también marca el tránsito
desde una matemática pitagórica primitiva, que –se
supone– practicaba pruebas y constataciones empíricas,
hasta la matemática clásica de los ss. IV y III, que
se sirve de conceptos abstractos y de procedimientos metódicamente
demostrativos 26.
El salto parece inevitable en razón de resultados como la inconmensurabilidad
de la diagonal con el lado (de un cuadrado o de un pentágono
regular): éste es un caso de imposibilidad que no cabe establecer
por medios ostensivos –constataciones diagramáticas, comprobaciones
prácticas, medidas directas o cálculos efectivos, etc.-,
sino que requiere toda la fuerza lógica de una reducción
discursiva al absurdo, a una contradicción expresa. Posteriormente,
el estudio de los inconmensurables y otros desarrollos técnicos,
p.ej. las prácticas de "exhausción", obligarán
a un uso sistemático de este procedimiento.
Por lo que toca a las connotaciones o suposiciones filosóficas,
hay dos especialmente discutibles: (1) Para empezar se supone que,
por norma general, las pruebas intuitivas o "mostrativas"
son no sólo distintas de las demostraciones lógicamente
concluyentes, sino incompatibles en todo caso con ellas. De modo que
no sólo hay resultados que no se dejan mostrar, únicamente
accesibles a través de la demostración lógicamente
concluyente, sino que, además, la presencia de un recurso "mostrativo"
contaminaría o descalificaría la deducción de
cualquier presunto teorema, por más convincente que fuera.
(2) De ahí se extrae la consecuencia de que las nociones imprecisas
o, peor aún, metafóricas y los diagramas de los Elementos
o bien son secuelas residuales -indebidamente asumidas- de la matemática
ingenua pre-euclídea, o bien son aditamentos que forman parte
del colorido didáctico o retórico de las pruebas, cuando
no ambas cosas. Así pues, las referencias representativas y
deícticas de los Elementos y, en general, las formas
de hacer ver que algo es el caso, involucradas en las pruebas
euclídeas, no pasarían de ser ingredientes espurios,
desechables o superfluos, de la deducción matemática
clásica. Por mi parte creo, a la luz de lo que llevamos visto,
que el deíknymi de Euclides no sólo mostraba
menos reservas ante sus recursos informales de evidencia y convicción
que los mostrados hoy por sus intérpretes, sino que el "plus
de confianza" no le impedía un ejercicio de la deducción
relativamente riguroso. El rigor se aprecia, por ejemplo, en las pruebas
de la necesidad de una configuración, sobre la urdimbre y en
el escenario propuestos, o en las pruebas de la necesidad de un resultado
a partir de unas determinadas condiciones operatorias (p.ej. en la
"teoría" informal de las relaciones de medir a/ser
medido por). Por lo demás, no sé de ningún
filósofo griego del saber demostrativo que diera en contraponer
el valor concluyente de una demostración a su poder de convicción,
su validez lógica a su fuerza argumentativa o incluso a su
eficacia didáctica; Aristóteles, el más calificado
teórico de la demostración que hace saber («syllogismós
episthemonikós»), no lo hizo, desde luego. Pero, más
allá de estas observaciones negativas, he apuntado también
una interpretación positiva del rigor informal de las pruebas
euclídeas a cuenta de la integración entre las estrategias
representativas de hacer ver y las discursivas de hacer
saber en la trama de la demostración matemática
clásica. Además, me gustaría que esta interpretación
esbozara siquiera una conformación interna de las pruebas,
en la línea de una posible explicación de sus cometidos
y valores cognitivos. Estos son los propósitos –o las
ilusiones al menos– de la propuesta que voy a aventurar.
6. Una interpretación de las pruebas matemáticas
clásicas.
La larga historia de la filosofía de las matemáticas
parece a primera vista dominada por dos grandes tendencias, la racionalista
y la empirista, o por combinaciones de ambas. Al margen de sus discrepancias,
coinciden en tomar la matemática como una forma de conocer
-en algún caso, de ser– antes que nada. Pero cabe un tercer
punto de vista en discordia: el que contempla las matemáticas
ante todo como un conjunto de actividades humanas. Vistas en esta
perspectiva, las matemáticas son determinadas prácticas
interactivas y cognitivas de trato con el entorno que tienen lugar
dentro de unos marcos históricos y culturales de actuación,
transformación, discurso, etc. Para no andar con rodeos, podemos
calificar esta concepción de "humanista" -o, si se
prefiere, "praxeológica" o "pragmática"-.
En consonancia con ella, supongo que el punto de partida del conocimiento
matemático es una gama de acciones más o menos comunes
y más o menos especializadas, no sólo diversas sino
de distinto género, como, por ejemplo, contar, medir, calcular,
resolver, probar-a, construir, hallar, probar-que. Los procedimientos
y conocimientos matemáticos vienen a ser entonces desarrollos
y resultados específicos de estas acciones e interacciones,
seleccionadas e integradas de modo variable con arreglo a su contexto
teórico propio y al marco cultural e institucional en que se
desenvuelven. La historia de las cifras y de los sistemas de numeración
es un buen ejemplo de tales desarollos y variaciones. Pero algo parecido
cabría decir también de la historia de las pruebas.
En atención al caso que interesa, la conformación de
las pruebas euclídeas, añadiré algunas convenciones
–dado su carácter tentativo y provisional, no serán
"precisiones". Convengamos en considerar operaciones
las acciones con objetos o con instrumentos como el gnómon,
el ábaco, el compás, etc., susceptibles de una normalización
metódica en orden a obtener un resultado. Los cálculos
ordinarios y la "logística" pitagórica entrarían
dentro de este campo de acción. También caben ahí
procedimientos relativamente sofisticados como el algoritmo de anthyphaíresis
e,incluso ulteriormente, usos con proyección no sólo
técnica sino especulativa -p.ej. en las líneas aritmománticas
y aritmológicas cultivadas por algunos neopitagóricos
y neoplatónicos. Por representaciones entendamos las
acciones o expresiones que incorporan a su dimensión semiótica
una determinada intención significativa añadida, del
tipo de las acciones diagramáticas o de las expresiones metafóricas,
incluídas las referencias a situaciones o casos imaginarios
–digamos, "experimentos mentales"– como los introducidos
por «noeîn [concebir, imaginar, considerar, figurarse]»
en algunos pasajes de Euclides o de Arquímedes (p.ej. Elementos
IV 12 o Método 2, respectivamente). Si el cometido básico
de una operación es la obtención de un resultado,
el papel que corresponde a una representación es más
bien hacer ver tanto el proceso de obtención como el
resultado obtenido. Consideremos, en fin, lenguaje discursivo
un modo de hacer determinadas cosas con palabras, en particular argumentos
y cadenas de argumentos, que incluye la escritura más o menos
normalizada de textos acerca de un dominio de objetos o de relaciones
entre objetos y sus propiedades; los textos en este sentido cubren
las proposiciones o aserciones, las demostraciones, las teorías
y, en general, cualquier procedimiento expresamente deductivo que
diera o pretendiera dar cuenta y razón de que algo es el caso.
Un objetivo característico del lenguaje discursivo será
el hacer saber la razón o la necesidad propia del resultado.
Ni que decir tiene que tanto el hacer ver como el hacer
saber son actuaciones de alguien referidas a alguien y, por consiguiente,
son interacciones cognitivas aunque se presenten inertes y coaguladas
bajo la forma de monólogo impersonal que suelen revestir las
pruebas matemáticas textuales. La dimensión pragmático-didáctica
de los Elementos es precisamente uno de los rasgos sustanciales
del tratado, tanto como lo pueda ser su estructuración deductiva
axiomatiforme, y en este sentido constituye una de sus claves hermenéuticas
según ha venido mostrando una tradición de comentadores
y estudiosos de la obra de Euclides que se extiende desde los tiempos
de Proclo hasta nuestros días 27.
Por lo demás, hay diversos pasajes de los Elementos
en los que se deja sentir con especial fuerza el interés de
Euclides por enseñar no sólo conocimientos matemáticos,
sino técnicas o procedimientos para hacer matemáticas,
en suma, una especie de saber hacer –baste reparar, por ejemplo,
en las secuencias de inscripciones y circunscripciones de figuras
que componen las proposiciones 2-9 y 11-16 del libro IV, o en los
ejercicios con pares e impares que se suceden a lo largo de las proposiciones
21-34 del libro IX.
Creo que, sobre estos supuestos, puedo aventurar un esquema de interpretación
de los componentes característicos de las pruebas matemáticas
clásicas como el siguiente:
Actuación básica Actuación especializada
- OPERACIONES
ACCIONES - REPRESENTACIONES
[en especial: construir, [deíknymi1: hacer ver]
hallar; probar-que]
- LENGUAJE DISCURSIVO
[deiknymi2: hacer saber]
[saber hacer]
Aunque este esquema no deja de ser una especie de mapa mudo, también
puede servir de recordatorio sumario del camino que hemos recorrido.
En cualquier caso, como ahora no podré desarrollar esta línea
de interpretación, ni los supuestos apuntados de integración
y realimentación, dejaré la propuesta en mera sugerencia
de una vía de interpretación y de explicación
de los poderes "lógicos" y "retóricos"
o, mejor dicho, cognitivos y efectivos de las demostraciones de los
Elementos.
Pero no me resisto a añadir dos observaciones al respecto.
Una tiene que ver con la relativa selección de acciones matemáticas
básicas que presenta el tratado de Euclides: no es un manual
de contabilidad o de agrimensura, ni toma expresamente en consideración
las prácticas comunes de contar, medir, calcular o resolver
problemas, sino que, al parecer, o las da por supuestas o se dedica
a reelaborar una especie de trasuntos de la tradición matemática
anterior, congruentes con un determinado núcleo o cuerpo deductivo.
Por otro lado, en algún caso emplea tácticas de probar-a
o ensayar ciertas construcciones geométricas o ciertas determinaciones
numéricas (p.ej. la de una cantidad finita dada de números
primos, IX 20), aunque sólo como parte de una estrategia de
demostración indirecta, por reducción al absurdo de
la posibilidad explorada; es sintomático que la tradición
tampoco considerara los Elementos ni como una iniciación al
análisis, ni como una obra de investigación, sino como
el tratado por excelencia de la síntesis o exposición
concluyente de las bases de la matemática griega clásica.
La otra observación es aún más imperiosa en el
presente contexto pues se refiere a la integración entre las
estrategias operacionales, representativas y discursivas, en que descansa
el rigor informal de las pruebas de Euclides. Se trata, por lo demás,
de un aspecto en el que he venido insistiendo a lo largo de los apartados
anteriores, de modo que no creo que necesite un énfasis mayor.
Baste recordar el caso de la teoría de la medida aritmética,
en cuyo desarrollo intervienen y se articulan procedimientos operacionales
(p.ej. la anthyphaíresis), metáforas conceptuales (p.ej.
la de todo/partes) y pruebas discursivas que, de consuno, no sólo
establecen la obtención de ciertos resultados (p.ej. la determinación
de la medida común máxima de dos o más números
no primos entre sí), sino que dan lugar a proyecciones teóricas
ulteriores (como, siguiendo el mismo ejemplo, la existencia de un
criterio de conmensurabilidad/inconmensurabilidad y, consiguientemente,
de un criterio de proporcionalidad entre magnitudes). Al hilo de esta
integración –en especial, la que entreteje las formas
de hacer ver y las de hacer saber– corren parejas la significación
cognitiva, la fuerza demostrativa y el poder de convicción
de la demostración matemática clásica o, al menos,
de las pruebas que suelen considerarse paradigmáticas en los
Elementos. En fin, quiero suponer que en ese tejido representativo-discursivo
de la deducción es donde reside una clave importante no sólo
para entender el rigor informal de las pruebas de Euclides –según
creo haber mostrado–, sino, más aún, para llegar
a explicarnos su duradero éxito.
Ahora bien, entre dar con una clave o reconocer su importancia y desvelar
su sentido o mostrar su funcionamiento, media un buen trecho. Y en
el presente caso, me temo que la supervivencia del poder de convicción
y de prueba de una matemática desaparecida hace ya tiempo sigue
siendo un fenómeno curioso que pide explicación. Cabría
pensar en una especie de complicidad tácita, como si hoy los
matemáticos siguieran practicando en casa un rigor informal
parecido, antes de poner en limpio su contribución para someterla
al escrutinio público y a los criterios o estándares
vigentes en la comunidad académica; o, incluso, cabe pensar
que algunas de nuestras pautas de concepción y entendimiento
se mantienen constantes a través de los diversos marcos de
actuación y por debajo de las variaciones teóricas y
metodológicas que han tenido lugar en la larga historia de
las matemáticas. Sea como fuere, la multiplicación de
conjeturas como éstas no alcanza a ocultar nuestra falta de
conocimiento ni, desde luego, puede suplir el deseable desarrollo
de la investigación en las áreas concurrentes, desde
la hermenéutica clásica hasta la teoría y la
historia de las pruebas, pasando por las ciencias cognitivas y la
filosofía de las matemáticas. El caso es que, de momento,
la comprensión cabal del éxito de Euclides continúa
siendo una cuestión abierta.
NOTAS
1
Cosa bien distinta es que los Elementos hayan sido luego traducidos
-analizados y formalizados- en términos de la lógica estándar
de la cuantificación como, pongamos por caso, se han vertido
al chino sin que esto implique un "sinismo" latente en el
original. Hay por ejemplo una formalización lógica parcial
en I. Mueller, The philosophy of mathematics and deductive structure
in Euclid's Elements, Cambridge (MA): The M.I.T. Press, 1981.
2
P.ej. algunos patrones formularios de operaciones estructurales de
la teoría generalizada de la proporción, como el de
alternancia -si A:B :: C:D, entonces A:C :: B:D (Elem., libro V, def.
12)–, o el de inversión -si A:B :: C:D, entonces B:A ::
D:C (V, def. 13)-, ya conocidos en tiempos de Aristóteles (cf.
APo. 74a17-25 y De Cael. 273b32). Estos esquemas reflejan sus condiciones
visuales e intelectuales de armonía en la transformación.
Por lo demás, convendría explorar esta dimensión,
digamos, "gestáltica" de algunas pautas combinatorias
y contrastarla con las demarcaciones al uso entre formalización
e intuición.
3
Cf. R. Hersh, What is mathematics, really? Oxford/New York: Oxford
University Press, 1997, sobre esta «humanist and maverick»
filosofía de las matemáticas.
4Vid.
G. Lakoff y R.E. Núñez, "The metaphorical structure
of mathematics: sketching out cognitive foundations for a mind-based
mathematics", en L.D. English, ed. Mathematical reasoning.
Mahwah (NJ)/London: Lawrence Erlbaum, 1997; 21-89. La cláusula
de salvedad, a primera vista obvia, amenaza con trivializar el principio
de preservación: éste se cumple en todo caso salvo aquél
en que no. Convendría, cuando menos, afinar su formulación.
5
Por lo demás, la distinción que propongo no excluye
la posibilidad de usos confusos o entremezclados de analogías,
metáforas o metonimias e isomorfismos. Cf. p.ej. el Timeo,
32a-b, donde Platón sugiere que los cuerpos del universo, no
siendo planos sino sólidos, requieren dos medias proporcionales
para hallarse en proporción continua y dice: «Así
el dios colocó agua y aire entre el fuego y la tierra y los
puso, dentro de lo posible, en la misma interrelación proporcional:
la relación que tenía el fuego con el aire, la tenía
el aire con el agua y la que tenía el aire con el agua, la
tenía el agua con la tierra.»
6
Sigo al pie de la letra la traducción de Euclides, Elementos,
Gredos: Madrid, 1991 (libros I-IV), 1994 (V-IX), 1996 (X-XIII), de
Mª Luisa Puertas.
7
Aristóteles ya prevenía de la confusión entre
las dos metáforas en este caso: los semicírculos serán
partes de los círculos individuales y sensibles, de
tal o cual círculo dibujado, pero no lo serán
de los círculos definidos geométricamente, i.e. tomados
en un sentido universal y como objetos inteligibles (Metaphys.
1037a3-5).
8
A esta luz diríamos que algunas paradojas de Zenón descansan
en una (con)fusión dialéctica entre ambas metáforas
aplicadas a dominios como la extensión o el movimiento. Por
lo demás, no faltan otras lecturas de la metáfora de
las partes en este contexto: mi interpretación puede
contrastarse, p.ej., con la lectura ahistórica de D. Reed,
Figures of thought. Mathematics and mathematical texts, London/New
York: Routledge, 1995, quien por "parte" entiende «aquello
en cuyos términos cabe definir otra cosa», de manera
que el punto vendría a ser «un límite de la inteligibilidad,
un extremo del discurso» (pág. 4).
9
Leída la situación con ojos modernos, nos veríamos
ante una noción común formulada en términos finitarios
(«el todo es mayor que la parte» no vale para universos
de discurso transfinitos como el de los números naturales),
pero asimismo ante unos usos inferenciales más genéricos
en los términos de un principio de tricotomía (dados
dos números cualesquiera x, y, x es mayor o igual o menor que
y).
10
La distinción entre parte y partes equivale a
la que media entre un submúltiplo o una parte alícuota
y un número de partes alícuotas o una fracción
propia; por ejemplo, 2 es parte de 6, pero 4 no es parte sino
partes de 6.
11
Los antiguos griegos no eran navegantes especialmente torpes en este
maremagno: a la luz del ya mentado Frege (1884), Fundamentos de
la aritmética, c. III, los naufragios en torno a la unidad,
el uno y el número se siguen sucediendo hasta bien avanzado
el s. XIX.
12
Imagine que está de sobremesa tras la cena en casa de un amigo
y, de repente, suenan las campanadas del reloj de pared. "Caray,
ya son las tres y tú tendrás que madrugar. Debo irme.»
«Bueno, no creas que es tan tarde -responde su amigo-. Mi reloj
de pared se ha vuelto un poco raro: no ha dado las tres, sino tres
veces la una». Me temo que la mera aplicación de la metáfora
del todo y las partes a la unidad y al número no serviría
aquí de mucho.
13
Vid. M. Caveing, La constitution du type mathématique de
l'idéalité dans la pensée grecque. Vol. 2,
La figure et le nombre. Villeneuve d'Ascq: Presses Universitaires
du Septentrion, 1997, que rastrea este procedimiento operativo hasta
la matemática egipcia.
14
Por ejemplo, sean los pares de números 6 y 8, 9 y 12. Entonces:
(i) <8, 6> <12, 9>
(iii) 8-6=2; 12-9=3;
(i) <6, 2> <9, 3>
(iii) 6-2=4; <4, 2> 9-3=6; <6, 3>
(iii) 4-2=2; <2, 2> 6-3=3; <3, 3>
Luego (ii): 2 = MCM de 6 y 8 3 = MCM de 9 y 12.
En tiempos de Aristóteles (cf. Tópicos, 158b33-35)
ya se sabía que dos razones guardan proporción si justamente
tienen la misma reducción por este método, i.e. si la
rutina sigue los mismos pasos; por consiguiente, 6 es a 8 como 9 es
a 12. En suma, la matemática pre-euclídea ya relacionaba
este método operativo con las nociones de razón y proporción.
15
Detalles sobre este punto y, en general, sobre las funciones cognitivas
que los diagramas desempeñan en la antigua matemática
griega, pueden verse en R. Netz, The shaping of deduction in Greek
mathematics, Cambridge: Cambridge University Press, 1999.
16
Operaciones autorizadas por el postulado 3, que permite describir
un círculo con cualquier centro y distancia, y por el 1, que
permite trazar una recta entre dos puntos.
17
Conforme a las definiciones 15: «un círculo es una figura
plana comprendida por una línea tal que todas las rectas que
caen sobre ella desde un punto de los que están dentro de la
figura, son iguales entre sí», y 16: «y dicho punto
se llama centro del círculo».
18
Noción común 1.
19
No sólo supone una generalización a partir del caso
dado -cuestión ya planteada y "salvada" por Proclo
(In I Euc. Comm., 207.15-18)-. Recordemos también las dificultades
inferenciales de Aquiles ante la tortuga de Lewis Carroll (aun cuando
los tres, Aquiles, la tortuga y Carroll convengan en admirar «esa
maravillosa Primera Proposición de Euclides»).
20
A la antigua historia de los diagramas lógicos -p.ej. la contada
por M. Gardner (1985), Máquinas lógicas y diagramas,
México: Grijalbo, 1973- habría que añadir recientes
desarrollos, como el programa "hyperproof" diseñado
por la lógica heterogénea de Barwise y Etchemendy, que
emplea la representación diagramática como un sistema
homomórfico.
21
Los diagramas también alcanzan a cumplir otros cometidos esquemáticos
-si bien siempre distantes de cualquier correspondencia métrica
o isomórfica-, como la referencia a figuras no efectivamente
dadas sino supuestas (p.ej. la invitación a considerar o imaginar
ciertos puntos de un presunto pentágono inscrito, en IV 12),
o como la referencia táctica –por hipótesis–
a figuras imposibles, es decir, descartadas por el desarrollo mismo
de la prueba en los términos de una reducción al absurdo
(p.ej. en III 10).
22
Además de las conocidas muestras de construir o demostrar,
el texto presenta algunas otras de investigar [proseureîn]
casos de posibilidad e imposibilidad (IX 18, 19) y, sobre todo, muchas
otras de hallar [heureîn], en las que caben todas
las combinaciones: «digo que» + QED (p.ej. X 3, 4); «digo
que» + QEF (p.ej. III 1); «hay que» + QED (p.ej.
VII 2, 3); «hay que» + Q.E.F. (p.ej. VI 11, 12; con el
matiz de compleción de proseurîskein). Es muy
posible que los editores del texto de los Elementos hayan tenido
que ver con estas cláusulas formularias y sus variaciones tanto
o más que el propio Euclides.
23
De este proceder deíctico ya hay constancia en la tradición
pre-euclídea, p.ej. en la prop. 1 de La esfera en movimiento
de Autólico: «Sea una esfera cuyo eje sea la recta AB,
los polos de la misma los puntos A y B, y gire uniformemente en torno
a su eje, el AB. <...> Tomemos, pues, algún punto en
la superficie de la esfera, el . Y desde el bajemos sobre la recta AB en
perpendicular la A ...». Cf. también
Aristóteles, infra.
24
Agradezco a Thomas Moro Simpson sus problemas y sugerencias en torno
al papel ostensivo e indicativo de estas letras diagramáticas.
Por desgracia, el uso euclídeo parece ser sistemáticamente
ambiguo desde un punto de vista filosófico y analítico.
Quizás un ejemplo ayude a ilustrar -antes que a resolver- el
caso: asisto al ensayo de una representación del Don Juan
de Zorrilla, donde los actores visten camisetas marcadas con letras
y, en particular, el actor que hace de D. Juan se llama Jaime y lleva
la camiseta con la letra M. Si alguien me pregunta qué
pienso de Jaime, puedo entender que se refiere al actor; si me pregunta
qué pienso de D. Juan, puedo entender que se refiere al personaje;
pero si me preguntara qué pienso del M, podría
entender que se refiere ambiguamente al actor o al personaje o al
combinado de ambos. Pues bien, las letras diagramáticas vendrían
a ser como las letras de las camisetas, mientras que los puntos o
líneas del diagrama serían como los actores de la representación
y los objetos geométricos serían como los personajes
de la obra.
25
P. Louis, en su edición del texto en Les Belles Lettres (Paris,
1982), hace notar que K y H [eta] son las iniciales de kéntron
y [h]élios respectivamente.
26
A. Szabó ha sido el principal reanimador a partir de ensayos
como "Deiknymi, als mathematische terminus für Beweisen",
Maia, X (1958): 106-131, o "The transformation of mathematics
into deductive science and the beginnings of its foundation on definitions
and axioms», Scripta Mathematica, XXVII / 1, 2 (1964):
27-48, 113-139.
27
Cf. por ejemplo W.R. Knorr, "What Euclid meant: on the use of
evidence in studying ancient mathematics", en A.C. Bowen, ed.
Science and philosophy in classical Greece, New York/London:
Garland, 1991; pp. 119-163. Con todo, conviene tener en cuenta, de
una parte, que los antiguos griegos podían ver entre la prueba
demostrativa y la exposición didáctica una asociación
mucho más estrecha que la imaginada por nuestras pedagogías;
y de otra parte, que los Elementos parecen pertenecer a un
género híbrido: por lo regular se mueven dentro del
género del tratado sistemático básico pero no
faltan desarrollos teóricos que incluiríamos en el género
de los estudios avanzados.
Luis Vega Reñón
lvega@fsof.uned.es
Ponencia presentada en el X
Congreso nacional de Filosofía de la Asociación Filosófica
Argentina, Universidad nacional de Córdoba, 24-27 noviembre
1999
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