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y Plano
Adrien Douady
Professor de l’Universitat de Paris-Sud Orsay.
Nascut el 25 de setembre de 1935.
Département de mathématiques, Université Paris-Sud Orsay, F-91405 Orsay
Traducción:
Víctor Hernández y Martha Villalba.
PMME-UNISON. Febrero. 2001.
1. Dominar las relaciones
con el espacio
2. Tecnología en
3D
3. La enseñanza
de la Geometría Plana
4. Computadoras
versus Regla y Compás
5. Geometría
No-Euclidiana
1.
Dominar las relaciones con el espacio
Desde
los 3-4 años de edad, los niños tienen que aprender a ubicarse a sí
mismos con respecto a su entorno. También deben aprender a localizar a
otros niños y objetos con respecto a sí mismos o, directamente, con
respecto a lo que les rodea. Posteriormente, en la escuela primaria,
ellos hacen representaciones que involucran la transferencia de tres a
dos dimensiones, y simultáneamente desde el mesoespacio - espacio en el
cual uno vive - al microespacio -espacio de los objetos pequeños que uno
puede atajar y mover. (cfr. la contribución de R. Berthelot & M.H. Salin,
en el Capítulo 2, Sección. V). A esta edad los niños hacen una
descripción de los objetos sólidos usando palabras o dibujos, y empiezan
a usar medidas para hacer más precisas estas descripciones. La
construcción de imágenes mentales de configuraciones tridimensionales y
la anticipación de movimientos puede ser aprendida a temprana edad. El
trabajo en este aprendizaje empieza en la escuela primaria y el dominio
de situaciones complejas requiere varios años.
La habilidad para hacer representaciones bidimensionales de
configuraciones tridimensionales se apoya sobre las competencias
mencionadas arriba y sobre algún conocimiento de la geometría
bidimensional. La habilidad para leer dibujos bidimensionales, planos o
mapas, que representan configuraciones tridimensionales, para razonar en
tres dimensiones usando estas representaciones bidimensionales requiere
de que todo lo anterior se tenga desarrollado a cierto nivel.
Naturalmente, esta competencia es adquirida en una espiral dialéctica.
Note que algunos deportes (tales como el escalamiento de rocas) o artes
(muchos instrumentos musicales) requieren un dominio que es
esencialmente instintivo de las relaciones con el espacio-al menos no
expresado por número o figuras - pero con frecuencia se necesita ser
extremadamente exacto. Un operador de pala mecánica no tiene un grado
académico en geometría, no obstante es capaz de producir movimientos muy
precisos de su pala mediante los numerosos controles de su máquina.
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2.
Tecnología en 3D
En muchos campos la extensión de este proceso a la tecnología es
crucial: mecánica, automatización, robótica, arquitectura, construcción
de barcos, etc. Estos requieren el dar una descripción precisa de la
posición de un cuerpo sólido en el espacio. Esto siempre es un problema
difícil, pues no hay un sistema satisfactorio de coordenadas para el
conjunto de todas las posibles posiciones de un sólido dado, o
equivalentemente el grupo de las isometrías directas de R3. Si se
requieren posiciones más allá de traslaciones, o equivalentemente, si se
restringen las posiciones con un punto fijo tomado como origen, i.e. si
se considera el grupo ortogonal en tres dimensiones, se pueden usar los
ángulos de Euler, o los ángulos de Bryant, o las coordenadas dadas por
el eje y el ángulo, o expresiones por cuaternios o sólo por matrices. En
estos sistemas de coordenadas, la ley de composición nunca es simple.
Aunque los cuaternios son los más eficientes técnicamente.
Esto es lo que hace a la geometría tridimensional intrínsecamente más
difícil que la bidimensional (para la rotación alrededor del origen, la
composición está dada simplemente por la adición de ángulos).
Cuando se trabaja sobre un problema de geometría, no se está tratando
necesaria y explícitamente con el grupo de isometrías del espacio en el
que se trabaja, pero tan pronto como el problema se complica, las
dificultades que surjan pueden ser analizadas en términos de las
propiedades de este grupo. Así pues, intento decir que este grupo
siempre está presente.
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3. La
enseñanza de la Geometría Plana
La enseñanza de la geometría en el nivel medio trata con geometría plana
Euclidiana. ¿Porqué es así?
La geometría puede ser referida como una rama bien modelada de la
física, así que todo el trabajo es realizado en el modelo, descrito por
axiomas, mediante el razonamiento puramente deductivo. A este respecto,
la geometría bidimensional es sólo un estudio preliminar que tiene que
ser dominado antes de enfrentar las dificultades de la geometría
tridimensional.
Pero es claro que ésta no es la fuente principal de interés para la
geometría plana. Fundamentalmente, a través de los tiempos desde los
Griegos, la geometría plana Euclidiana ha sido estudiada y enseñada para
su propio beneficio, como un lugar privilegiado para el aprendizaje y la
ejercitación del razonamiento deductivo. La posibilidad de hacer figuras
ayuda a la intuición, y con frecuencia a la comunicación. Pero el juego
es el dar definiciones, notaciones y hacer pruebas de acuerdo a reglas
estrictas que pueden ser entendidas sin la ayuda de las figuras.
La interacción entre el lenguaje matemático y el lenguaje de las
imágenes, entre la aproximación sintética (donde cada paso tiene un
significado en términos de la figura) y la aproximación analítica
(usando coordenadas para transferir las preguntas a contextos de trabajo
numéricos o algebraicos, los que permiten cálculos ciegos), entre los
espacios bi y tridimensional, hacen a la materia rica en extremo. Por
ejemplo, una cónica puede ser definida como la intersección de un cono
por un plano, o como una curva definida por una ecuación de grado 2, o
mediante alguna de las varias definiciones en geometría plana pura. Una
parte esencial del entendimiento completo de las cónicas es el entender
la equivalencia entre todas éstas definiciones, tenerlas disponibles a
todas a cada momento, ser capaz de elegir una u otra a conveniencia y
transferir propiedades de un contexto de trabajo a otro.
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4.
Computadoras versus Regla y Compás
Recientemente ha surgido la posibilidad de dibujar figuras con la
computadora - incluso con una calculadora de bolsillo - con una
precisión mejor que con una regla y un compás. Algunos paquetes de
software, como Cabri, permiten hacer construcciones de acuerdo al mismo
esquema de las construcciones clásicas con regla y compás.
Uno puede manipular los datos (los puntos arbitrarios con los que
frecuentemente se empieza la construcción) y permite que la construcción
los siga, o preguntar a la computadora si tres líneas que pasan
aparentemente por un punto común realmente lo hacen.
Dominar tal poderosa herramienta escribiendo subprogramas y usándolos
como bloques de construcción para evitar repeticiones tediosas (por
ejemplo: círculos que pasan a través de tres puntos) es ciertamente un
reto tan grande como el lograr construcciones con regla y compás
empezando desde un nivel elemental (líneas rectas que pasan a través de
dos puntos, intersecciones de dos círculos, etc).
Las construcciones con regla y compás son sumamente restringidas. En
términos algebraicos, ellas permiten investigar sólo aquellos puntos
cuyas coordenadas pertenecen a una extensión cuadrática iterada del
campo generado por los datos. Esta restricción, impuesta por los
Griegos, es totalmente arbitraria. La computadora puede ignorarla: en
esta perspectiva, una cúbica o una espiral logarítmica es tan "real"
como un círculo. Sin embargo el software en uso tiene limitaciones (y
uno puede imponerle algunas posteriores, tanto si es pertinente como
deseable).
El verdadero peligro es que este salto en libertades puede matar la
creatividad. Esto es lo que sucedió a los arquitectos en todo el mundo
en las décadas siguientes a la aparición del concreto.
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5.
Geometría No-Euclidiana
No fue una duda sobre lo adecuado de la geometría Euclidiana para una
descripción del mundo físico lo que guió a los antiguos Griegos y a los
Árabes en la edad media a preguntar si el postulado de las paralelas de
Euclides podría ser deducido de los otros axiomas de la Geometría plana.
En realidad, el mundo físico es Euclidiano con una precisión extrema: la
primera discrepancia fue observada durante un eclipse solar que confirmó
la teoría general de la relatividad. Y, si no hubiera sido por la
aportación de esta teoría, la desviación observada pudiera haber sido
interpretada de muchas otras maneras.
La geometría hiperbólica bi y tridimensional, en un objeto cultural
importante pues, a causa de su existencia, se prueba la independencia
del postulado de las paralelas de los otros axiomas de Euclides y se
arroja luz sobre los fundamentos de la geometría. En algunas materias
muy especializadas es también una herramienta extremadamente poderosa
(análisis complejo, topología de variedades). Al final del nivel medio
puede ser accesible a aquellos estudiantes que hubieran sido motivados
particularmente. Pero, el incluirla en el currículo para ser estudiada
con algún detalle, sería probablemente irreal en virtud de las muchas
restricciones sobre la organización de la enseñanza y de la naturaleza
epistemológica de los aspectos que motivan sólo a una minoría.
Un tipo más de geometría es la esférica. Esta surge no de problemas
metafísicos ya que puede ser entendida en el espacio Euclidiano
tridimensional. Esta proporciona un razonablemente buen modelo de la
Tierra, por lo que resulta culturalmente importante. No sé en cuáles
países se enseña ahora en el nivel medio. Ésta requiere al menos de un
buen nivel en geometría Euclidiana tridimensional y en trigonometría. La
geometría de la esfera difiere de la geometría Euclidiana por el hecho
de que existen varias geodésicas que se juntan en puntos antípodas. A
excepción de esto, técnicamente es muy similar a la geometría
hiperbólica.
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