HISTORIA
DE LA GEOMETRÍA
"Antes del pensamiento
que aspira a una coherencia lógica
hallamos fe en una u otra magia".
Geometría antes de los griegos
El origen de la Geometría coincide con el origen de la
humanidad. El pensamiento precientífico apoyado sobre el
monoteísmo naturalista de Amenhotep
IV funda en el siglo XIV aC culto a la nueva imagen del dios
Ra representado con un círculo dorado. La abstracción
del pensamiento mágico representa el primer acercamiento
-informal e intuitivo- a la Geometría. Anteriormente, en
el siglo XXVII a.C., el emperador chino Hoang-Ti mandó
construir un observatorio astronómico con el fin principal
de corregir el calendario.
Las primeras civilizaciones mediterráneas adquieren poco
a poco conocimientos geométricos de carácter muy
práctico basados en fórmulas -mejor dicho, algoritmos
expresados en forma de recetario-, para calcular áreas
y longitudes. La finalidad era práctica al pretender con
ello calcular la producción proporcional de las parcelas
de tierra para determinar los impuestos, o reconstruir las parcelas
de tierra después de las inundaciones. El conocimiento
geométrico tanto de egipcios como de las culturas mesopotámicas
pasa íntegramente a la cultura griega a través de
Tales de Mileto, la secta de los pitagóricos, y
esencialmente de Euclides.
La Geometría antes de Euclides
Tales visita Egipto una larga temporada y aprende de los sacerdotes
y escribas egipcios lo referente a sus conocimientos en general.
Impresiona ahora -tanto como a los egipcios- que fuera capaz de
razonar y medir entonces la altura de la pirámide de Keops
y de predecir un eclipse solar con asombrosa precisión.
La Geometría griega es la primera en ser formal.
Parte de los conocimientos concretos y prácticos de las
civilizaciones egipcia y mesopotámicas, y da un paso de
abstracción al considerar los objetos como entes ideales
-un cuadrado cualquiera, en lugar de una pared cuadrada
concreta, un círculo en lugar del ojo de un pozo...-
que pueden ser manipulados mentalmente, con la sola ayuda de la
regla y el compás. Aparece por primera vez la demostración
como justificación de la veracidad de un conocimiento,
aunque en un primer momento fueran más justificaciones
intuitivas que verdaderas demostraciones formales.
La figura de Pitágoras
y de la secta de seguidores pitagóricos tiene un papel
central, pues eleva a la categoría de elemento primigenio
el concepto de número, arrastrando a la Geometría
al centro de su doctrina -en este momento inicial de la historia
de la Matemática aún no existe distinción
clara entre Geometría y Aritmética-, y asienta definitivamente
el concepto de demostración formal como única vía
de establecimiento de la verdad en Geometría.
Esta actitud permitió la medición de la tierra
por Eratóstenes, así como la medición de
la distancia a la luna, y la invención de la palanca por
Arquímedes, varios siglos después.
En el seno de los pitagóricos surge la primera crisis
de la Matemática: la aparición de los inconmensurables
aunque esta crisis es de carácter más filosófico
y aritmético que geométrico.
Surge entonces un problema a nivel lógico: una demostración
parte de una o varias hipótesis para obtener una tesis.
La veracidad de la tesis dependerá de la validez del razonamiento
con el que se ha extraído (esto será estudiado por
Aristóteles al crear la Lógica) y de la veracidad
de las hipótesis. Pero entonces debemos partir de hipótesis
ciertas para poder afirmar con rotundidad la tesis. Para poder
determinar la veracidad de las hipótesis, habrá
que considerar cada una como tesis de otro razonamiento, cuyas
hipótesis deberemos también comprobar. Se entra
aparentemente en un proceso sin fin en el que, indefinidamente,
las hipótesis se convierten en tesis a probar.
Euclides y los Elementos
Vinculado al Museo de Alejandría y a su Biblioteca, Euclides
zanja la cuestión al proponer un sistema de estudio en
el que se da por sentado la veracidad de ciertas proposiciones
por ser intuitivamente claras, y deducir de ellas todos los demás
resultados. Su sistema se sintetiza en su obra cumbre los Elementos,
modelo de sistema axiomático-deductivo. Sobre tan sólo
cinco postulados y las definiciones que precisa construye toda
la Geometría y la Aritmética conocidas hasta el
momento. Su obra, en XIII volúmenes, perdura como única
verdad geométrica hasta el siglo XIX.
Entre los postulados en los que Euclides se apoya hay uno (el
quinto postulado) que trae problemas desde el principio. Su veracidad
está fuera de toda duda, pero tal y como aparece expresado
en la obra, muchos consideran que seguramente puede deducirse
del resto de postulados. Durante los siguientes siglos, uno de
los principales problemas de la Geometría será determinar
si el V postulado es o no independiente de los otros 4, es decir,
si es necesario considerarlo como un postulado o es un teorema,
es decir, puede deducirse de los otros, y por lo tanto colocarse
entre el resto de resultados de la obra.
Después de Euclides
Euclides cierra la etapa de Geometría griega -a excepción
de Pappus
en el 350 aC-, y por extensión la etapa del mundo antiguo
y medieval-, a excepción también de las figuras
de Arquímedes y Apolonio.
Arquímedes estudió ampliamente las secciones cónicas,
introduciendo en la Geometría las primeras curvas que no
eran ni rectas ni circunferencias, aparte de su famoso cálculo
del volumen de la esfera, basado en los del cilindro y el cono.
Apolonio trabajó en varias construcciones de tangencias
entre círculos, así como en secciones cónicas
y otras curvas.
Los tres problemas de la Antigüedad
La Geometría griega es incapaz de resolver tres famosos
problemas que heredarán los matemáticos posteriores.
Los tres problemas debían ser resueltos entonces utilizando
regla y compás, únicos instrumentos aceptados en
la Geometría de Euclides. Añadido a estos tres problemas,
la demostración de si el V postulado es o no es un teorema
deducible de los cuatro anteriores se considera además
de otro problema clásico de la Geometría helenística
el hilo conductor hasta las Geometrías No Euclidianas del
siglo XIX. Los tres otros problemas son:
La duplicación el cubo
Pericles muere de la terrible peste que asola Atenas.Cuenta la
leyenda que una terrible peste asolaba la ciudad de Atenas, hasta
el punto de llevar a la muerte a Pericles. Una embajada de la
ciudad fue al oráculo de Delos, consagrado a Apolo (en
ciertas fuentes aparece el oráculo de Delfos, en lugar
del de Delos, también consagrado a Apolo), para consultar
qué se debía hacer para erradicar la mortal enfermedad.
Tras consultar al Oráculo, la respuesta fue que se debía
duplicar el altar consagrado a Apolo en la isla de Delos. El altar
tenía una peculiaridad: su forma cúbica. Prontamente,
los atenienses construyeron un altar cúbico cuyos lados
eran el doble de las del altar de Delos, pero la peste no cesó,
se volvió más mortífera. Consultado de nuevo,
el oráculo advirtió a los atenienses que el altar
no era el doble de grande, sino 8 veces mayor, puesto que el volumen
del cubo es el cubo de su lado ((2l)3 = 23l3 = 8l3). Nadie supo
cómo construir un cubo cuyo volumen fuese exactamente el
doble del volumen de otro cubo dado, y el problema matemático
persistió durante siglos (no así la enfermedad).
La trisección del ángulo
Este problema consiste en dividir un ángulo cualquiera
en tres ángulos iguales, empleando únicamente la
regla y el compás, de manera que la suma de las medidas
de los nuevos tres ángulos sea exactamente la medida del
primero. Dadas las condiciones nadie ha logrado hacerlo.
La cuadratura del círculo
La cuadratura del círculo consiste en tratar de obtener,
dado un círculo, un cuadrado cuya área mide exactamente
lo mismo que el área del círculo. Anaxágoras
fue el primero en intentar resolverlo, dibujando en las paredes
de su celda cuando fue hecho prisionero por explicar diversos
fenómenos que los griegos atribuían a los dioses.
Tampoco pudo ser resuelto por los geómetras de la antigüedad,
y llegó a ser el paradigma de lo imposible. Como curiosidad,
el filósofo inglés David Hume llegó a escribir
un libro con supuestos métodos para resolver el problema.
Hume no tenía conocimientos matemáticos serios,
y nunca aceptó que todos sus métodos fallaban.
La Geometría en la Edad Media
Durante los siguientes siglos la Matemática comienza nuevos
caminos - Álgebra y Trigonometría - de la mano de
indios y árabes, y la Geometría apenas tiene nuevas
aportaciones, excepto algunos teoremas de carácter más
bien anecdótico. En Occidente, a pesar de que la Geometría
es una de las siete Artes Liberales (encuadrada concretamente
en el Quadrivium), las escuelas y universidades se limitan
a enseñar los Elementos,
y no hay aportaciones, excepto tal vez en la investigación
sobre la disputa del V postulado. Si bien no se llegó a
dilucidar en este periodo si era o no independiente de los otros
cuatro, sí se llegaron a dar nuevas formulaciones equivalentes
de este postulado.
La Geometría en la Edad Moderna
La Geometría Proyectiva
Es en el Renacimiento cuando las nuevas necesidades de representación
del arte y de la técnica empujan a ciertos humanistas a
estudiar propiedades geométricas para obtener nuevos instrumentos
que les permitan representar la realidad. Aquí se enmarca
la figura del matemático y arquitecto Luca Pacioli, de
Leonardo da Vinci, de Alberto Durero, de Leone Battista Alberti,
de Piero della Francesca, por citar sólo algunos. Todos
ellos, al descubrir la perspectiva y la sección crean la
necesidad de sentar las bases formales en la que se asiente las
nuevas formas de Geometría que ésta implica: la
Geometría proyectiva, cuyos principios fundamentales aparecen
de la mano de Desargues en el siglo XVII. Esta nueva geometría
de Desargues fue estudiada ampliamante ya por Pascal o por de
la Hire, pero debido al interés suscitado por la Geometría
Cartesiana y sus métodos, no alcanzó tanta difusión
como merecía hasta la llegada a principios del siglo XIX
de Gaspard Monge
en primer lugar y sobre todo de Poncelet.
La Geometría Cartesiana
La aparición de la Geometría Cartesiana marca la
Geometría en la Edad Moderna. Descartes propone un nuevo
método de resolver problemas geométricos, y por
extensión, de investigar en Geometría.
El nuevo método se basa en la siguiente construcción:
en un plano se trazan dos rectas perpendiculares (ejes) -que por
convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y
la otra vertical-, y cada punto del plano queda unívocamente
determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los
ejes, siempre y cuando se dé también un criterio
para determinar sobre qué semiplano determinado por cada
una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene
dado por un signo. Ese par de números, las coordenadas,
quedará representado por un par ordenado (x,y), siendo
x la distancia a uno de los ejes (por convenio será la
distancia al eje vertical) e y la distancia al otro eje (al horizontal).
En la coordenada x, el signo positivo (que suele omitirse) significa
que la distancia se toma hacia la derecha del eje vertical (eje
de ordenadas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que
la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada y,
el signo positivo (también se suele omitir) indica que
la distancia se toma hacia arriba del eje horizontal (eje de abscisas),
tomándose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco
se omite nunca en este caso). A la coordenada x se la suele denominar
abscisa del punto, mientras que a la y se la denomina ordenada
del punto.
Existe una cierta controversia aun hoy sobre la verdadera paternidad
de este método. Lo único cierto es que se publica
por primera vez como Geometría Analítica,
apéndice al Discurso del Método, de Descartes,
si bien se sabe que Pierre de Fermat conocía y utilizaba
el método antes de su publicación por Descartes.
Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI utilizara un método
muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas,
es imposible que alguno de los citados matemáticos franceses
tuviera acceso a su obra.
Lo novedoso de la Geometría Analítica (como también
se conoce a este método) es que permite representar figuras
geométricas mediante fórmulas del tipo f(x,y) =
0, donde f representa una función. En particular, las rectas
pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de grado
1 (v.g.: 2x + 6y = 0) y las circunferencias y el resto de cónicas
como ecuaciones polinómicas de grado 2 (v.g.: la circunferencia
x2 + y2 = 4, la hipérbola xy = 1 ). Esto convertía
toda la Geometría griega en el estudio de las relaciones
que existen entre polinomios de grados 1 y 2. Desde un punto de
vista formal (aunque ellos aun lo sabían), los geómetras
de esta época han encontrado una relación fundamental
entre la estructura lógica que usaban los geómetras
griegos (el plano, la regla, el compás...) y la estructura
algebraica del ideal formado por los polinomios de grados 0, 1
y 2 del Anillo de polinomios \mathbb{R}[x,y], resultando que ambas
estructuras son equivalentes. Este hecho fundamental -no visto
con nitidez hasta el desarrollo del Álgebra Moderna y de
la Lógica Matemática entre finales del siglo XIX
y principios del siglo XX-, resulta fundamental para entender
por qué la Geometría de los griegos puede desprenderse
de sus axiomas y estudiarse directamente usando la axiomática
de Zermelo-Fraenkel, como el resto de la Matemática.
El método original de Descartes no es exactamente el que
se acaba de explicar. Descartes utiliza solamente el eje de abscisas,
calculando el valor de la segunda componente del punto (x,y) mediante
la ecuación de la curva, dándole valores a la magnitud
x. Por otro lado, Descartes sólo considera valores positivos
de las cantidades x e y, dado que en la época aun resultaban
"sospechosos" los números negativos. Como consecuencia,
en sus estudios existen ciertas anomalías y aparecen curvas
sesgadas. Con el tiempo se aceptaron las modificaciones que muestran
el método tal y como lo conocemos hoy en día.
Los nuevos métodos
Agotamiento del método sintético
La aparición de la Geometría Analítica trae
consigo una nueva forma de entender la Geometría. El nuevo
método, algebraico, sustituye al antiguo, el sintético,
consistente en establecer unos axiomas y unas definiciones y deducir
de ellos los teoremas. El método sintético está
a estas alturas casi agotado (aunque aun dará algunos resultados
interesantes, como la característica de Euler, la naturaleza
de estos resultados no es ya tanto geométrica como topológica,
y los resultados realmente importantes que se hagan en adelante
en el campo de la Geometría ya vendrán de la mano
de métodos algebraicos o diferenciales), da paso al método
algebraico: estudio de los objetos geométricos como representaciones
en el espacio de ciertas ecuaciones polinómicas, o dicho
de otro modo, del conjunto de raíces de polinomios. El
método sintético sólo volverá a abordarse
cuando aparezcan las geometrías no euclídeas, y
definitivamente deja de ser un instrumento de investigación
geométrica a principios del siglo XX, quedando relegado
a un conjunto de instrumentos y herramientas para la resolución
de problemas, pero ya como una disciplina cerrada.
Los límites del método algebraico
El método algebraico se ve posibilitado por un avance
en Álgebra hecho durante el siglo XVI, la resolución
de las ecuaciones de grado 3º y 4º. Esto permite generalizar
la Geometría, al estudiar curvas que no son dadas por polinomios
de segundo grado, y que no pueden construirse con regla y compás
-además de las cónicas, excluyendo a la circunferencia,
claro-. Pero este método, que terminará constituyendo
una disciplina propia, la Geometría Algebraica, tardará
aun mucho -siglo XX- en salir de unas pocas nociones iniciales,
prácticamente inalteradas desde Descartes, Fermat y Newton.
La razón será la imposibilidad de resolver por radicales
la ecuación de quinto grado, hecho no descubierto hasta
el siglo XIX, y el desarrollo de la Teoría de Anillos y
del Álgebra Conmutativa.
El Cálculo Infinitesimal
El método algebraico tiene otra generalización
natural, que es la de considerar una curva no solo como una ecuación
polinómica, sino como una ecuación f(x,y) = 0 en
la que el polinomio es ahora sustituido por una función
cualquiera f. La generalización de todo esto desde el plano
(2 coordenadas) al estereoespacio (3 coordenadas) se hace de forma
natural añadiendo un tercer eje perpendicular (eje z) a
los dos ya considerados, y las funciones tomarán la forma
f(x,y,z).
Ya Isaac Barrow descubre gracias a la Geometría Analítica
la relación entre la tangente a una curva y el área
que encierra entre dos puntos y los ejes coordenados en su famosa
Regla de Barrow, antes incluso de que Newton y Leibnitz dieran
cada uno su exposición del Cálculo Infinitesimal.
La relación entre el Análisis Matemático
y la Geometría es así estrechísima desde
incluso los orígenes de aquél. Las ideas geométricas
no sólo fueron la base de los instrumentos iniciales del
Cálculo Infinitesimal, sino que fueron en gran medida su
inspiración. Por eso resulta natural que en un primer momento,
Descartes, Newton o los Bernoulli no distinguieran entre los conceptos
de curva y de función de una variable (o si se quiere,
de curva y los ceros de una función de dos variables).
Fue Euler el primero en empezar a intuir la diferencia, y el primero
también en ampliar este tipo de estudios a las superficies
(como función de dos variables o como el conjunto de los
ceros de una función de tres variables). El trabajo de
Monge continúa por esta línea.
En adelante, y hasta la aparición de Gauss, la Geometría
queda supeditada a sus aplicaciones en Mecánica y otras
ramas de la Física por medio de la resolución de
Ecuaciones Diferenciales. Se estudia en especial la interpretación
geométrica de las ecuaciones diferenciales (tanto de la
solución en sí como problemas asociados a ellas,
como puede ser el de las curvas ortogonales). En esta época
aparece el que será el caballo de batalla de la Geometría
Diferencial: el Teorema de la Función Implícita.
Fue Huygens el primero en estudiar la curvatura de una curva
plana, aunque parece que fue Clairaut el que usa con maestría
y fija el concepto.
La Geometría en la Edad Contemporánea
Gauss devuelve el carácter geométrico que impregna
parte del Análisis Matemático, fundamentalmente
con dos contribuciones: el nacimiento de la Variable Compleja
y de la Geometría Diferencial.
Pero no son las únicas contribuciones de éste genio
al campo de la Geometría. En su adolescencia se vio dividido
entre dedicarse a la Filología o a la Matemática.
A los 17 descubrió la manera de construir el polígono
regular de 17 lados, y la condición necesaria y suficiente
para que un polígono regular pueda construirse. Esto determinó
su vocación.
En su primera demostración del Teorema Fundamental del
Álgebra (de las cinco que realizó a lo largo de
su carrera) sentó las bases del Análisis de Variable
Compleja, usando la interpretación geométrica de
los números complejos como vectores fijos del plano (no
en este lenguaje, que será introducido mucho más
tarde). Por cierto, se atribuye a Gauss la paternidad de esta
idea. Primero Wessel y luego Argand se le anticiparon, pero nadie
conocía los estudios de ambos. Aunque no es propiamente
obra suya, pues la Variable Compleja está desarrollada
fundamentalmente por Cauchy, sí es el primero en abordarla
seriamente, y sobre todo le da una interpretación geométrica
que marcará el desarrollo de esta rama.
Pero la principal contribución de Gauss a la Geometría
es la creación de la Geometría Diferencial, retomando
las ideas que sobre las relaciones entre el Análisis Matemático
y la Geometría había hasta entonces y desarrollándolas
ampliamente.
Partiendo de la base de que la Geometría estudia el espacio,
las curvas y las superficies, establece la noción fundamental
de curvatura de una superficie. Gracias a ella, y a la definición
de geodésica,
demuestra que si consideramos que una geodésica es una
curva con menor distancia entre dos puntos sobre una superficie
(es decir, si tenemos dos puntos sobre una superficie, el camino
más corto entre esos dos puntos sin salirnos de la superficie
es un segmento de geodésica), concepto totalmente análogo
sobre la superficie al de recta en el plano, existen superficies
en las que los triángulos formados por las geodésicas
miden más de la medida de dos ángulos rectos, y
otras en las que mide menos. Esto, esencialmente, es contradecir
el V postulado de Euclides.
Estas consideraciones llevaron a Gauss a considerar la posibilidad
de crear geometrías no euclídeas, pero aunque a
esas alturas ya era el matemático más prestigioso
de Europa, consideró que la mentalidad de la época
no estaba preparada para un resultado de tal magnitud, y nunca
publicó esos resultados. Sólo vieron la luz cuando
Bolyai publicó su geometría no euclídea,
y comprobó que la comunidad científica general aceptaba
el resultado.
Así que, por un lado, Gauss fue el primero en crear una
geometría no euclídea, y por otro fue el creador
de la Geometría Diferencial y precursor de la Variable
Compleja.
Además, Gauss es el primero en considerar una nueva propiedad
en la Geometría: la orientación.
El final de los grandes problemas de la antigüedad
La controversia sobre el V postulado
Como ya se ha adelantado, Gauss es el primero en construir una
geometría (un modelo del espacio) en el que no se cumple
el V postulado de Euclides, pero no publica su descubrimiento.
Son Bolyai y Lobachevsky
quienes, de manera independiente y simultáneamente publican
cada uno una geometría distinta en la que no se verifica
tampoco el V postulado.
¿Qué quiere decir esto? Tanto Bolyai como Lobachevsky
parten de un objeto geométrico y establecen sobre él
unos postulados que son idénticos a los de Euclides en
los Elementos,
excepto el quinto. Pretenden originalmente razonar por reducción
al absurdo: si el V postulado depende de los otros cuatro, cuando
lo sustituya por aquél que dice exactamente lo contrario,
he de llegar a alguna contradicción lógica. Lo sorprendente
es que no se llega a contradicción ninguna, lo cual quiere
decir dos cosas:
1º El V postulado es independiente de los otros cuatro,
es decir, no puede deducirse de los otros cuatro, no es un teorema,
y Euclides hizo bien en considerarlo como un postulado.
2º Existen modelos del espacio en los que, en contra de
toda intuición, por un punto que no esté en una
cierta recta no pasa una única recta paralela a la dada.
Esto es tremendamente antiintuitivo, pues no podemos concebir
tal cosa, no podemos imaginar (ni mucho menos dibujar) una situación
así, sin reinterpretar los conceptos de recta, plano, etc.
Pero desde el punto de vista lógico es perfectamente válido.
Como es de imaginar, esto supuso una fuerte crisis en la Matemática
del siglo XIX, que vino a sumarse a otras controversias.
Es importante señalar que las geometrías de Bolyai
y de Lobachevsky, no depende de si se construyen usando métodos
analíticos o sintéticos. Existen formas de construirlas
tanto de manera sintética como analítica. El modelo
es el mismo se llegue como se llegue, lo que abunda en su veracidad.
La trisección del ángulo y la duplicación
del cubo
Un hecho aparentemente lejano en Álgebra dará como
resultado la resolución de estos dos problemas. Galois
muere a los 21 años de edad dejando un "testamento"
lleno de ideas apresuradamente escritas. Entre ellas se encuentran
las bases de la Teoría
de Grupos y de la Teoría de Galois. Galois resolvió
el problema de encontrar una fórmula para solucionar las
ecuaciones de 5º grado, pero este resultado no llegó
a ser publicado en su corta vida. Concluyó que una ecuación
de grado 5 o mayor puede ser no resoluble por radicales (es decir,
mediante una fórmula con un número finito de operaciones
algebraicas). Su manera de abordar el problema abre una nueva
vía dentro de la Matemática.
Pero la Teoría
de Galois (una rama del Álgebra que trata sobre cuándo
es posible resolver una ecuación polinómica estudiando
el conjunto de números en los que se expresa esa ecuación)
no da sólo esos frutos. También demuestra que todo
lo construible con regla y compás tiene una traducción
a polinomios muy concreta. Se demuestra que trisecar un ángulo
o duplicar un cubo necesita de polinomios que no tienen esa forma,
y por lo tanto, es imposible con la sola ayuda de la regla y el
compás trisecar un ángulo cualquiera o duplicar
un cubo.
La cuadratura del círculo
En 1862, Lindemann demuestra que el número Pi es
trascendente, es decir, no puede ser raíz de ningún
polinomio con coeficientes enteros. Esto implica que no es un
número que pueda construirse con regla y compás,
y demuestra que no es posible construir con sólo estos
instrumentos un cuadrado de area igual a la de un círculo
dado.
El 10 de junio de 1854, Bernhard Riemann da una conferencia en
la Universidad
de Gotinga para completar su habilitación (grado que
le permitiría optar a una plaza de profesor universitario).
El tema de la conferencia fue la Geometría, a elección
de Gauss, su protector y antiguo profesor durante la licenciatura
y el doctorado. La conferencia, cuyo título fue Über
die Hypothesen, Welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sobre
las hipótesis que están en los fundamentos de la
geometría), pasa por ser una de las más celebradas
de la historia de la Matemática, y uno de los mayores logros
científicos de la humanidad. De entre los presentes se
dice que sólo Gauss fue capaz de comprender su contenido,
y hay que decir que le entusiasmó.
Variedades riemannianas y el tensor curvatura
En la primera parte de la conferencia, Riemann se pregunta qué
problema hay en aumentar el número de dimensiones del espacio.
Riemann, usando aun un lenguaje intuitivo y sin hacer demostraciones,
introduce primero el concepto de variedad diferenciable, generalización
del concepto de superficie a cualquier número (entero positivo)
arbitrario de dimensiones. De hecho, el nombre variedad hace referencia
a las varias coordenadas que variarían para ir obteniendo
los puntos del objeto. Las superficies serían las variedades
de dimensión 2, mientras que las curvas serían las
variedades de dimensión 1, y aun los puntos las de dimensión
0. De todas formas, esta aproximación al concepto es demasiado
imprecisa, pues el punto clave de la definición formal
de una variedad diferenciable (definición no expuesta correctamente
hasta 1913 por Hermann Weyl) es que esto es cierto localmente,
es decir, cada punto de la variedad tiene algún entorno
homeomorfo a un abierto del espacio euclídeo \mathbb{R}^n,
de manera que cuando el inverso de uno de estos homeomorfismos
se compone con otro de estos homeomorfismo se obtiene una función
diferenciable de un abierto de \mathbb{R}^n en otro abierto de
\mathbb{R}^n. Pero como decimos hicieron falta casi 60 años
para que la definición terminara de cuajar.
No era la primera vez que se especulaba con la posibilidad de
la existencia de espacios de dimensión superior a 3. De
hecho este tema ha sido tratado en la Historia en varias ocasiones,
pero siempre desde un punto de vista de la realidad sensible (para
negar su existencia) o metafísico. Es Cayley quien en 1843
trata explícitamente el tema por primera vez, y volverá
a él nuevamente en repetidas ocasiones. Le seguirán
Sylvester, Clifford, Grassmann y Schläfli entre otros, aunque
hay que decir que la visión de todos ellos es mucho más
algebraica que geométrica.
Es probable que el estudio de las superficies de Riemann, objetos
a cuyo estudio había dedicado su tesis doctoral, indujeran
a Riemann a pensar en este concepto de variedad de dimensión
arbitraria.
Si tomamos unos ejes coordenados y dibujamos todos los puntos
(x,f(x)), donde x varía en un intervalo y f es una función
real, derivable y definida sobre ese mismo intervalo, obtendremos
la curva (dimensión 1) dada por la gráfica de una
función.
Si en lugar de ser una función de una variable tenemos
una función de dos variables f(x,y), al dibujar todos los
puntos (x,y,f(x,y)), donde (x,y) son de una región del
plano donde esté definida f, obtenemos una superficie (dimensión
2). Riemann estudia funciones complejas de variable compleja,
es decir, funciones cuya gráfica tendría por puntos
cosas de la forma (x,y,u(x,y),v(x,y)), siendo tanto u(x,y) como
v(x,y) funciones reales (es decir, cada uno representa un número
real). Las gráficas de este tipo de funciones tendrían
dimensión 3 y estarían en un espacio de 4 dimensiones,
y gozarían de propiedades muy parecidas a las de las superficies.
Una variedad riemanniana no es sólo un objeto geométrico
n-dimensional. Es una variedad diferencial a la que además
hay que dotar de una métrica. Una métrica es un
campo de tensores diferenciable de grado 2. Veamos: en cada punto
de una variedad diferencial se puede calcular el espacio tangente
a la variedad en ese punto, al igual que en una superficie (suave),
en cada punto podemos calcular el plano tangente en ese punto
a la superficie, y en una curva (suave) podemos calcular en cada
punto la recta tangente a la curva en dicho punto.
Ese espacio tangente tendrá la misma dimensión
que la variedad (en el caso de curvas, el espacio tangente -la
recta tangente- tiene dimensión 1, en el de superfícies
tiene dimensión 2). Una métrica (o estructura riemanniana)
sobre una variedad es una aplicación que a cada punto de
la variedad le asigna un producto escalar en el espacio tangente
a la variedad en ese punto, y esa aplicación es diferenciable.
Un producto escalar es, para entendernos, una regla que nos permite
calcular longitudes de segmentos y ángulos entre rectas.
A través de una métrica, se pueden definir sobre
una variedad conceptos como longitud de una curva o el ángulo
entre dos curvas, generalizar a variedades el concepto de geodésica,
ya utilizado por Gauss para superficies, que viene a ser (ojo,
esto es una explicación de cómo es una geodésica,
no es una definición) una curva dibujada sobre una superficie
(o en nuestro caso sobre una variedad) de tal forma que entre
dos de sus puntos minimice la distancia medida sobre la superficie
(variedad). Por ejemplo, si tenemos un globo y marcamos dos puntos
sobre él, la distancia más corta se calculará,
como sabemos, por la medida del segmento de recta que atraviesa
el globo por ambos puntos. Sin embargo, si lo que pretendemos
es buscar el camino más corto para llegar de un punto a
otro sin salirnos de la superficie del globo, tendremos que dibujar
sobre él una curva que una los puntos y se combe por la
propia "curvatura" del globo. Esa curva sería
un segmento de geodésica en la superficie del globo.
El punto culminante de la primera parte de la conferencia llegó
cuando Riemann, utilizando las geodésicas, define el tensor
curvatura seccional, que es la generalización a variedades
del concepto de curvatura estudiado por Gauss. Este instrumento
permite "medir la curvatura" de una variedad.
El modelo del Universo
En la segunda parte de la conferencia, Riemann se pregunta por
el modelo que debe de seguir el espacio físico, el espacio
en el que nos movemos, cuál es su dimensión, cuál
es su geometría.
Las ideas de Riemann, decididamente muy avanzadas para su época,
cuajaron definitivamente cuando Einstein y Poincaré, al
mismo tiempo pero de manera independiente, las aplicaron al espacio
físico para crear la Teoría de la Relatividad.
El nuevo modo de Riemann de estudiar la Geometría considera
que cualquier modelo de espacio (ya sea el plano, el espacio tridimensional,
o cualquiera otro) puede ser estudiado como una variedad diferenciable,
y que al introducir en ella una métrica se está
determinando la geometría que gobierna ese objeto. Por
ejemplo, el plano no es, por sí solo, euclidiano ni no
euclidiano, sino que introduciendo la métrica euclídea
es cuando en el plano verifica el V postulado de Euclides. Si
en lugar de considerar esa métrica se introduce en el plano
otra métrica, como la de Lobatchevsky, deja de verificarse
el mismo postulado. La propiedad de las geodésicas de minimizar
la longitud entre dos de sus puntos sin salirse de la variedad
recuerda mucho a la definición de las rectas como aquellas
líneas que determinan la menor distancia entre dos puntos.
Se considera que las geodésicas son a las variedades riemannianas
lo que las rectas al espacio euclidiano, es decir, las geodésicas
son como las rectas de las variedades.
Esta nueva visión permite estudiar todas las nuevas geometrías
no euclídeas, así como la geometría euclidiana
bajo la misma óptica de la nueva Geometría Riemanniana.
Cuando las ideas de Riemann consiguen extenderse, la Geometría
pasa ya definitivamente a ser el estudio de las variedades, dejando
de ser definitivamente el estudio de triángulos, circunferencias,
polígonos, etc.
Los puntos básicos de la conferencia de Riemann son, por
un lado, la posibilidad de aumentar indefinidamente el número
de dimensiones del espacio (el Álgebra y el Análisis
están ya creando la maquinaria necesaria para poder operar
en dimensión finita arbitraria, con lo que definitivamente
se podrá estudiar Geometría más allá
de su visualización gráfica), es decir, de estudiar
espacios de 3, 4, 5...dimensiones, y por otro lado dotar a los
geómetras de un instrumento, el tensor curvatura, que les
permite estudiar las propiedades intrínsecas de esos nuevos
objetos, esos nuevos espacios, las variedades.
Felix Klein es la otra gran pieza clave de la Geometría
en el siglo XIX. En 1871 descubrió que la geometría
euclidiana y las no euclidianas pueden considerarse como casos
particulares de la geometría de una superficie proyectiva
con una sección cónica adjunta. Esto implicaba dos
cosas: la primera es que la geometría euclidiana y las
no euclidianas podían considerarse como casos particulares
de la geometría proyectiva (o mejor dicho, de la geometría
de una superficie en un espacio proyectivo). La segunda, que la
geometría euclidiana es consistente (es decir, no puede
llevar a contradicciones) si y sólo si lo son las geometrías
no euclidianas.
Con esto se da fin a la controversia de si las geometrías
no euclidianas tienen sentido o no, aunque el asunto coleará
aun unos años ante el escepticismo de ciertos elementos
que considerarán erróneo el argumento de Klein.
El Programa de Erlangen
Con motivo de su ingreso como profesor en la Facultad de Filosofía
y al Senado de la Universidad
de Erlangen, Klein escribió una memoria en 1872 que
no llegó a leer en público y que puede considerarse,
junto a la Conferencia de Riemann y a los Elementos
de Euclides, como los puntos esenciales del estudio de la Geometría.
La idea de la memoria, conocida como el Programa
de Erlangen, es bastante sencilla. Se trata de dar una definición
formal de lo que es una geometría, más allá
de la idea más o menos intuitiva que tenemos de ella.
Ante la aparición de las nuevas geometrías no euclidianas,
parece lógico preguntarse qué es la Geometría,
máxime cuando la propia idea de la geometría euclidiana
se había visto modificada desde la irrupción de
los métodos algebraicos y analíticos. Empieza a
no estar tan claro que la Geometría sea el estudio de puntos,
líneas (rectas o curvas) y superficies, puesto que el propio
Análisis Matemático (sobre todo en el estudio de
Ecuaciones Diferenciales) parece que también estudia tales
objetos. Por otra parte, los métodos analíticos
y algebraicos también son aplicables a las geometrías
no euclidianas. Hay, digamos, dos niveles de distinciones: por
un lado, la de las geometrías no euclidianas y la geometría
euclidiana, por otro lado, la distinción entre el método
sintético, el algebraico y el analítico.
¿Qué es la Geometría?
Klein responde a la pregunta introduciendo en la Geometría
un nuevo concepto de carácter algebraico: el concepto de
grupo. Un grupo es un conjunto G en el que hay definida
una operación, es decir, una aplicación G \times
G \longrightarrow G que a cada par de elementos del conjunto se
le asigna otro elemento del conjunto (que será el resultado
de operar dichos dos elementos). Mientras que la mayoría
de la gente está familiarizada con las operaciones numéricas,
les resulta difícil imaginar que puedan operarse puntos,
rectas, etc. Puede hacerse, y no hay más que pensar en,
por ejemplo, la operación "tomar el punto medio",
que a cada par de puntos se le asigna el punto medio del segmento
que une los dos primeros puntos.
Para que un conjunto en el que haya una operación sea
un grupo deben de cumplirse ciertas condiciones:
* La operación debe ser asociativa: esto quiere
decir que si tomamos cualesquiera tres elementos a,b,c del conjunto,
el resultado de operar los dos primeros (a y b) y operar el resultado
de ello con el tercero (c) debe de ser lo mismo que si primero
operamos el segundo y el tercero (b y c) y el resultado lo operamos
con el primero (a). Es decir, si la operación la denotamos
por \star ha de ocurrir que a \star (b \star c) debe de ser lo
mismo que (a \star b) \star c.
* Debe existir un elemento neutro: esto quiere decir que ha
de haber un elemento e del conjunto de manera que si tomo cualquier
otro elemento a del conjunto y lo opero con él, entonces
el resultado vuelve a ser el elemento a, es decir, es como si
al elemento a no lo hubiera operado. Así, con nuestra notación,
e \star a = a y a \star e = a.
* Por último, cada elemento debe tener un elemento simétrico:
esto quiere decir que si yo tomo un elemento cualquiera a del
conjunto, entonces puedo encontrar otro elemento \hat{a} del conjunto
de tal manera que al operar ambos, el resultado que obtengo es
el elemento neutro: a \star \hat{a} = \hat{a} \star a = e.
El concepto de grupo no es invención de Klein, pero es
él quien descubre un hecho fundamental que lo relaciona
con las distintas geometrías: cada geometría es
el estudio de ciertas propiedades que no cambian cuando se le
aplican cierto tipo de transformaciones. Esas propiedades -por
no cambiar-, las denomina invariantes, y las transformaciones
que a un invariante no le hacen cambiar han de tener estructura
de grupo bajo la operación de composición (componer
dos transformaciones es hacer una de ellas y aplicarle la otra
transformación al resultado de la primera). Resumiendo,
Klein define soterradamente una geometría como dar el subgrupo
de las biyecciones de un conjunto en sí mismo que uno admitirá
como grupo principal. Los conceptos o definiciones serán
los invariantes por ese grupo principal, y los teoremas serán
las relaciones entre los conceptos.
Así Klein descubre que, por ejemplo, la geometría
euclidiana es el estudio de los invariantes mediante el grupo
de los movimientos rígidos (como las simetrías,
giros y traslaciones), que la geometría afín es
el estudio de los invariantes mediante el grupo de las translaciones,
que la geometría proyectiva es el estudio de los invariantes
mediante el grupo de las proyectividades, e incluso que la Topología
es el estudio de los invariantes mediante el grupo de las funciones
continuas y de inversa continua, entre otras.
De hecho, Klein afirma que la comprensión de "tener
una geometría, entonces hay un grupo principal" es
más bien al revés. Uno a priori dice qué
tipo de transformaciones admitirá (es decir, da el grupo)
y todo lo demás se puede reconstruir a partir de él.
Se demuestra incluso, que si uno da un subgrupo de las biyecciones
de un conjunto en sí mismo isomorfo a algún grupo
clásico (simetrías, translaciones, proyectividades)
entonces todos los teoremas de esa geometría son válidos
en este.
El descubrimiento de Klein es fundamental, ya que por un lado
nos permite clasificar las geometrías, comprendiendo cuál
es una "subgeometría" de cual, por otro lado
nos permite comprender qué es el estudio general de la
Geometría (como disciplina matemática) y por último,
pero no menos importante, es la confirmación de que los
métodos sintético y algebraico no dan geometrías
distintas, sino que realmente estudian la misma geometría
en cada caso. Se pone fin así a la distinción entre
el método sintético y el algebraico-analítico.
En su época supuso la consagración de la Geometría
Proyectiva como la Reina de las Geometrías.
In fieri.
