|
|
|
|
|
PROPOSICIONS LLIBRE I
Proposició 1. Construir un triangle equilàter sobre un segment donat.
Proposició
2. Situar un segment igual a un de donat amb un extrem en
un punt donat.
Proposició
3. Treure del major de
dos segments diferents donats un segment igual al menor.
Proposició
4. Si dos triangles
tenen dos costats respectius iguals, i tenen els angles compresos
iguals, aleshores també tenen les bases iguals, els triangles
són iguals, i els angles restants són iguals, concretament els
oposats als costats iguals.
Proposició
5. En triangles isòscels
els angles en la base són iguals i, si els costats iguals s´allarguen,
els angles sota la base són iguals.
Proposició
6. Si en un triangle
dos angles són iguals, aleshores els costats oposats als angles
iguals també són iguals.
Proposició
7. Donats dos segments
construïts des dels extrems d´un segment i convergents en
un punt, no poden construir-se des dels extrems del
mateix segment, i pel mateix costat, uns altres dos segments
que es trobin en un altre punt i siguin iguals als dos segments,
concretament iguals als que parteixen del mateix extrem.
Proposició
8. Si dos triangles
tenen dos costats respectius iguals, i també tenen la base
igual, aleshores també tenen iguals els angles compresos pels
segments iguals.
Proposició 9. Bisecar un angle rectilini donat.
Proposició
10. Bisecar
un segment donat.
Proposició
11. Aixecar
una perpendicular a un segment donat des d´un punt del
mateix segment.
Proposició
12. Dibuixar
una perpendicular a una recta per un punt exterior
a ella.
Proposició
13. Si
un segment està a sobre d´un altre, es generen o
angles rectes o angles que sumen dos angles rectes.
Proposició
14.
Si amb una recta i un punt a sobre d´ella, dos
segments que no estàn en el mateix costat produeixen
angles adjacents que sumen dos angles rectes,
aleshores els dos segments estàn en línia recta
l´un amb l´altre.
Proposició
15.
Dos segments que es tallen l´un a l´altre produeixen
angles oposats iguals.
Corolari. Si dos segments es tallen l´un a l´altre, produeixen en l´intersecció angles que sumen quatre angles rectes.
Proposició
16.
En qualsevol triangle, si s´allarga un dels
costats, l´angle exterior es major o igual
que l´angle interior i els angles oposats.
Proposició
17.
En qualsevol triangle, la suma de qualsevol
dels dos angles és menor que dos angles
rectes.
Proposició
18.
En qualsevol triangle, l´angle més gran
és l´oposat al costat major.
Proposició
19.
En qualsevol triangle, el costat més gran
és l´oposat a l´angle major.
Proposició
20.
En qualsevol triangle la suma de qualsevol
dels dos costats és major que el tercer.
Proposició
21.
Si dels extrems d´un dels costats
d´un triangle es construeixen dos
segments que es trobin dins del triangle,
aleshores la suma dels costats construïts
és menor que la suma dels altres dos
costats del triangle, però els segments
construïts comprenen un angle major
que el comprès pels dos costats.
Proposició
22.
Per a construir un triangle a partir
de tres segments donats és necessari
que la suma de qualsevol dels dos
segments donats sigui major que
el del tercer.
Proposició
23.
Construcció sobre un segment donat
i un punt sobre ell d´un angle
rectilini igual a un angle rectilini
donat.
Proposició
24.
Si dos triangles tenen iguals
dos costats, pero l´angle
comprès en un d´ells és major
que el de l´altre, la base
també serà major.
Proposició
25.
Si dos triangles tenen dos
costats respectius iguals,
pero la base és major en
un que en l´altre, aleshores
l´angle comprès és també
major en un que en l´altre.
Proposició
26.
Si dos triangles tenen dos
angles respectius iguals,
i un dels costats, el que
uneix els dos angles iguals
o l´oposat a un dels angles
iguals, aleshores els costats
que queden són iguals i
l´angle restant és igual.
Proposició
27.
Si un segment talla a dues rectes
fent els angles alterns iguals,
aleshores les rectes són paral·leles.
Proposició
28.
Si un segment talla a dues
línees fent l´angle exterior
igual a l´angle interior
i oposat sobre el mateix
costat, o la suma dels angles
interiors sobre el mateix
costat és igual a dos rectes,
aleshores las dues línees
són paral·leles.
Proposició
29.
Una recta que talla a dues rectes
paral·leles fa els angles alterns
iguals, els angles exteriors
iguals als interirs i oposats,
i la suma dels angles interiors
pel mateix costat iguals a dos
rectes.
Proposició
30.
Las rectes paral·leles a
una recta donada també són
paral·leles entre sí.
Proposició
31.
Construcció d´una recta
paral·lela a una donada
per un punt donat.
Proposició
32.
En qualsevol triangle,
si un dels costats
s´allarga, aleshores
l´angle exterior
és igual a la suma
dels angles interiors
i oposats, i la
suma dels tres angles
del triangle és
de dos angles rectes.
Proposició 33. Els segments que uneixen els extrems de segments iguals i paralels en la mateixa direcció són també iguals i paralels.
Proposició 34. Els costats i angles oposats d´un paral·lelogram són iguals un a l´altre i les diagonals bisequen l´àrea.
Proposició 35. Els paral·lelograms que estan sobre la mateixa base i estan continguts en les mateixes paral·leles, són iguals.
Proposició 36. Els paral·lelograms que tenen les bases iguals i estan continguts en las mateixes paral·leles, són iguals.
Proposició
37. Els triangles que
estan sobre la mateixa base i continguts en les mateixes paral·leles,
són iguals.
Proposició
38. Triangles que
estan en bases iguals i continguts en paral·leles, són iguals.
Proposició
39. Triangles iguals
que estan sobre la mateixa base i pel mateix costat estan
també en les mateixes paral·leles.
Proposició
40. Triangles
iguals amb bases iguals i sobre el mateix costat estan
continguts també en les mateixes paral·leles.
Proposició
41. Si un
paral·lelogram té la mateixa base que un triangle
i està contingut en les mateixes paral·leles, aleshores
el paral·lelogram és el doble que el triangle.
Proposició
42.
Construcció amb un angle donat d´un paral·lelogram
igual a un triangle donat.
Proposició
43.
En qualsevol paral·lelogram els complements dels
paral·lelograms sobre la diagonal són iguals.
Proposició
44.
Donat un segment construir amb un angle donat
un paral·lelogram igual a un triangle donat.
Proposició
45.
Construcció d´un paral·lelogram igual a una figura
rectilínia donada amb un angle rectilini donat.
Proposició
46.
Construcció d´un quadrat sobre un segment donat.
Proposició
47.
En els triangles rectangles el quadrat del costat
oposat a l´angle recte és igual a la suma dels
quadrats dels costats que comprenen a l´angle
recte.
Proposició
48.
Si en un triangle el quadrat d´un dels costats
és igual a la suma dels quadrats dels dos costats
restants, aleshores l´angle comprès pels dos costats
restants del triangle és recte.
|
|
Copyright Applet ©
1996/1997 (Juny, 1997) © Drets d´ús cedits 2002/2003 |
© Copyright 2006 JDL euclides.org |
