|
català - spanish |
|
català - spanish |
|
PROPOSICIONS (I-47) LLIBRE X 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15
Proposició 1. Donades dues magnituds desiguals, si es treu de la major una magnitud major que la seva meitat i, de la que queda, una magnitud major que la seva meitat i així successivament, quedarà una magnitud que serà major que la magnitud menor donada. Proposició 2. Si al restar continuadament i successivament la menor de la major de dues magnituds desiguals, la que queda mai mesurarà a l´anterior, les magnituds seran incommensurables. Proposició 3. Donades dues magnituds commensurables, trobar la seva mesura comuna màxima. Proposició 4. Donades tres magnituds commensurables, trobar la seva mesura comuna màxima. Proposició 5. Les magnituds commensurables guarden entre sí la mateixa raó que un nombre guarda amb un nombre. Proposició 6. Si dues magnituds guarden entre la raó que un nombre guarda amb un nombre, les magnituds seran commensurables. Proposició 7. Les magnituds incommensurables no guarden entre sí la raó que un nombre guarda amb un nombre. Proposició 8. Si dues magnituds no guarden entre si la raó que un nombre guarda amb un nombre, les magnituds seran incommensurables. Proposició 9. Els quadrats de rectes commensurables en longitud guarden entre si la raó que un nombre quadrat guarda amb un nombre quadrat; i els quadrats que guarden entre si la raó que un nombre quadrat guarda amb un nombre quadrat tindran també els costats commensurables en longitud. Però els quadrats de les rectes incommensurables en longitud no guarden entre si la raó que un nombre quadrat guarda amb un nombre quadrat, i els quadrats que no guarden entre si la raó que un nombre quadrat guarda amb un nombre quadrat tampoc tindran els costats commensurables en longitud. Proposició 10. Trobar dues rectes commensurables, una només en longitud, l´altra també en quadrat, amb una recta determinada. Proposició 11. Si quatre magnituds són proporcionals i la primera és commensurable amb la segona, també la tercera serà commensurable amb la quarta, i si la primera és incommensurable amb la segona, la tercera serà també incommensurable amb la quarta. Proposició 12. Les magnituds commensurables amb una mateixa magnitud són també commensurables entre sí. Proposició 13. Si hi ha dues magnituds commensurables i una d´elles és incommensurable amb una altra magnitud qualsevol, també la que queda serà incommensurable amb ella. Proposició 14. Si quatre rectes són proporcionals, i el quadrat de la primera és major que el de la segona en el quadrat d´una recta commensurable amb la primera, el quadrat de la tercera serà també major que el de la quarta en el quadrat d´una recta commensurable amb la tercera. I si el quadrat de la primera és major que el de la segona en el quadrat d´una recta incommensurable amb la primera, el quadrat de la tercera serà també major que el de la quarta en el quadrat d´una recta incommensurable amb la tercera. Proposició 15. Si es sumen dues magnituds commensurables, la magnitud total també serà commensurable amb cadascuna d´elles; i si la magnitud total és commensurable amb cadascuna d´elles, també les magnituds inicials seran commensurables. Proposició 16. Si es sumen dues magnituds incommensurables , la magnitud total serà incommensurable amb cadascuna d´elles; i si la magnitud total és incommensurable amb una d´elles, les magnituds inicials seran també incommensurables. Proposició 17. Si hi ha dues rectes desiguals, i s´aplica a la major un paral·lelogram igual a la quarta part del quadrat de la menor i deficient en la figura d´un quadrat, i si la divideix en parts commensurables en longitud, el quadrat de la major serà major que el de la menor en el quadrat d´una recta commensurable amb la major. I si el quadrat de la major és major que el de la menor en el quadrat d´una recta commensurable amb la major, i s´aplica a la major un paral·lelogram igual a la quarta part del quadrat de la menor i deficient en la figura d´un quadrat, la divideix en parts commensurables en longitud. Proposició 18. Si hi ha dues rectes desiguals, i s´aplica a la major un paral·lelogram igual a la quarta part del quadrat de la menor i deficient en la figura d´un quadrat, i si la divideix en parts incommensurables, el quadrat de la major serà major que el de la menor en el quadrat d´una recta incommensurable amb la major. I si el quadrat de la major és major que el quadrat de la menor en el quadrat d´una recta incommensurable amb la major, i s´aplica a la major un paral·lelogram igual a la quarta part del quadrat de la menor i deficient en la figura d´un quadrat, la divideix en parts incommensurables. Proposició 19. El rectangle contingut per rectes expressables commensurables en longitud, segons alguna de les formes abans descrites, és expressable. Proposició 20. Si s´aplica una àrea expressable a una recta expressable, produeix com a amplada una recta expressable i commensurable en longitud amb aquella en la qual s´ha aplicat. Proposició 21. El rectangle contingut per rectes expressables i commensurables només en quadrat no és racionalment expressable i el costat del quadrat igual a ell tampoc és racionalment expressable, s´anomena aquest últim medial. Proposició 22. El quadrat d´una recta medial, si s´aplica a una recta expressable, produeix una amplada expressable i incommensurable en longitud amb aquella en la qual s´aplica. Proposició 23. La recta commensurable amb una recta medial és medial. Proposició 24. El rectangle contingut per rectes medials commensurables en longitud segons alguna de les formes descrites, és medial. Proposició 25. El rectangle contingut per rectes medials commensurables només en quadrat o bé és expressable o bé és medial. Proposició 26. Una àrea medial no excedeix a una altra de medial en una àrea expressable. Proposició 27. Trobar rectes medials commensurables només en quadrat que continguin un rectangle expressable. Proposició 28. Trobar rectes medials proporcionals només en quadrat que continguin un rectangle medial. Proposició 29. Trobar dues rectes expressables commensurables només en quadrat, de manera que el quadrat de la major sigui major que el de la menor en el quadrat d´una recta commensurable en longitud amb la major. Proposició 30. Trobar dues rectes expressables commensurables només en quadrat, de manera que el quadrat de la major sigui major que el de la menor en el quadrat d´una recta incommensurable en longitud amb la major. Proposició 31. Trobar dues rectes medials commensurables només en quadrat que continguin un rectangle expressable, de manera que el quadrat de la major sigui major que el de la menor en el quadrat d´una recta commensurable en longitud amb la major. Proposició 32. Trobar dues rectes medials commensurables només en quadrat que continguin un rectangle medial, de manera que el quadrat de la major sigui major que el de la menor en el quadrat d´una recta commensurable amb la major. Proposició 33. Trobar dues rectes incommensurables en quadrat que facin la suma dels seus quadrats expressable, però que el rectangle contingut per elles sigui medial. Proposició 34. Trobar dues rectes incommensurables en quadrat que facin la suma dels seus quadrats medial, però que el rectangle contingut per elles sigui expressable. Proposició 35. Trobar dues rectes incommensurables en quadrat que facin la suma dels seus quadrats medial, però que el rectangle contingut per elles sigui medial i a més a més incommensurable amb la suma dels seus quadrats. Proposició 36. Si es sumen dues rectes expressables commensurables només en quadrat, la recta sencera no és expressable; s´anomena binomial. Proposició 37. Si es sumen dues rectes medials commensurables només en quadrat que continguin un rectangle expressable, la recta sencera no és expressable; s´anomena primera bimedial. Proposició 38. Si es sumen dues rectes medials commensurables només en quadrat que continguin un rectangle medial, la recta sencera no és expressable; s´anomena segona bimedial. Proposició 39. Si es sumen dues rectes incommensurables en quadrat que facin la suma dels seus quadrats expressable i el rectangle contingut per elles és medial, la recta sencera no és expressable; s´anomena major. Proposició 40. Si es sumen dues rectes incommensurables en quadrat que facin la suma dels seus quadrats medial i el rectangle contingut per elles expressable, la recta sencera no és expressable; s´anomena costat del quadrat equivalent a una àrea expressable més una àrea medial. Proposició 41. Si es sumen dues rectes incommensurables en quadrat que facin la suma dels seus quadrats medial i el rectangle contingut per elles també sigui medial i incommensurable a més a més amb la suma dels seus quadrats, aleshores la recta sencera no és expressable; s´anomena costat del quadrat equivalent a la suma de dues àrees medials. Proposició 42. La recta binomial es divideix en els seus termes per un sol punt. Proposició 43. La recta primera bimedial es divideix per un sol punt. Proposició 44. La recta segona bimedial es divideix per un sol punt. Proposició 45. La recta major es divideix per u i pel mateix punt Proposició 46. El costat del quadrat equivalent a una àrea expressable més una àrea medial es divideix només per un punt. Proposició 47. El costat del quadrat equivalent a la suma de dues àrees medials es divideix per un sol punt. |
Copyright
© 1996/1997 (Juny, 1997) © Drets de Traducció
al català cedits 2002/2003 |
© Copyright 2006 JDL euclides.org |
