Sigui un con amb la mateixa base, el cercle ABCD d´un cilindre
i d´igual altura.
Jo dic que el con és una tercera part del cilindre, és
a dir, que el cilindre és el triple del con.
Perque si el cilindre no és el triple del con, aleshores
el cilindre serà o bé major o bé menor que
el triple del con.
Sigui primer, major que el triple.
Inscriure el quadrat ABCD en el cercle ABCD. Aleshores el quadrat
ABCD és major que la meitat del cercle ABCD. Des del quadrat
ABCD s´aixequi un prisma d´igual altura que el cilindre.
[IV 6].
Aleshores el prisma aixecat és major que la meitat del cilindre,
perque si circumscribim un quadrat en el cercle ABCD, el quadrat
inscrit en el cercle ABCD és la meitat del circumscrit, i
els sòlids aixecats a partir d´ells són prismes
paral·lelepípedes d´igual altura, ja que els
sòlids paral·lelepípedes d´igual altura
són un a l´altre com les seves bases, aleshores també
el prisma aixecat a partir del quadrat ABCD és la meitat
del prisma aixecat des del quadrat circumscrit en el cercle ABCD,
aleshores el prisma aixecat a partir del quadrat ABCD i d´igual
altura que el cilindre és major que la meitat del cilindre.
[IV 7] [XI 32] [XI 28 o XII 6] [XII 7 Cor.].
Biseccionar les circumferències AB, BC, CD i DA pels punts
E, F, G i H i traçar AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH i HA. Aleshores
cada triangle AEB, BFC, CGD i DHA és major que la meitat
del segment del cercle ABCD en el que està, com hem demostrat
anteriorment. [XII 2].
En cadascun dels triangles AEB, BFC, CGD i DHA aixequem prismes
d´igual altura que el cilindre. Aleshores cadascun dels prismes
aixecats és major que la meitat del segment del cilindre
en el que està, perque si dibuixem pels punts E, G, G i H
paral·leles a AB, BC, CD i DA, completem els paral·lelograms
en AB, BC, CD i DA, i aixequem a partir d´ells sòlids
paral·lelepípedes d´igual altura que el cilindre,
aleshores els prismes sobre els triangles AEB, BFC, CGD i DHA són
la meitat de cadascun dels sòlids aixecats, i els segments
del cilindre són menors que els sòlids paral·lelepípedes
aixecats, per tant també els prismes sobre els triangles
AEB, BFC, CGD i DHA són majors que la meitat dels segments
del cilindre en el que estan. [I 31].
Així doncs, biseccionem les circumferències que queden,
tracem línies rectes, unint cadascun dels prismes triangulars
amb el cilindre, i ho fem repetidament, deixarem alguns segments
del cilindre que són menors que l´excés amb
el que el cilindre excedeix el triple al con. [X 1].
Deixem els segments, i siguin AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH i HA. Aleshores
el prisma restant amb base poligonal AEBFCGDH i la misma altura
que el cilindre és triple de la piràmide amb base
poligonal AEBFCGDH i el mateix vèrtex del con. Per tant la
piràmide amb base poligonal AEBFCGDH i mateix vèrtex
que el con és major que el con amb base circular ABCD. [XII
7 Cor.].
Però també és menor perque està inclosa
en ell, la qual cosa és impossible.
Per tant el cilindre no és major que el triple del con.
Jo dic ara que en cap cas el cilindro és menor que el triple
del con.
Perque si fos possible el cilindre seria menor que el triple del
con. Aleshores, per inversió, el con és major que
la tercera part del cilindre.
Inscriure el quadrat ABCD en el cercle ABCD. Aleshores el quadrat
ABCD és major que la meitat del cercle ABCD. [IV 6].
Ara aixequem des del quadrat ABCD una piràmide amb el mateix
vèrtex que el con. Aleshores la piràmide aixecada
és major que la meitat del con, perque, com hem demostrat
abans, si circumscribim un quadrat en un cercle, com que el quadrat
ABCD és la meitat del quadrat circumscrit, i si aixequem
des del quadrat sòlids paral·lelepípedes d´igual
altura que el con, que també anomenem prismes, aleshores
el sòlid aixecat des del quadrat ABCD és la meitat
que el sòlid aixecat des del quadrat circumscrit en el cercle,
perque són un a l´altre com les seves bases. [XI 32].
D´aquesta manera els terços estan també en la
mateixa raó. Per tant la piràmide amb base el quadrat
ABCD és la meitat de la piràmide aixecada a partir
del quadrat circumscrit en el cercle.
I la piràmide aixecada a partir del quadrat al voltant del
cercle és major que el con, perque aquesta l´inclou
Per tant la piràmide amb base el quadrat ABCD i el mateix
vèrtex que el con és major que la meitat del con.
Biseccionem les circumferències AB, BC, CD i DA pels punts
E, F, G i H i tracem AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH i HA. Aleshores
cada triangle AEB, BFC, CGD i DHA és major que la meitat
del segment del cercle ABCD en el que està.
Ara, a cada triangle AEB, BFC, CGD i DHA aixequem piràmides
amb el mateix vèrtex que el con. Aleshores cada piràmide
aixecada de la mateixa manera és major que la meitat del
segment del con en el que està.
Així doncs, biseccionant les circumferències que queden,
traçant línies rectes, aixecant piràmides a
cada triangle amb el mateix vèrtex que el con, i fent això
repetidament, deixarem alguns segments del con que seran menors
que l´excés amb que el cono excedeix la tercera part
del cilindre. [X 1].
Deixem aquests, i siguin els segments AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH
i HA. Aleshores la piràmide restant amb base poligonal AEBFCGDH
i el mateix vèrtex que el con, és major que la tercera
part del cilindr.
Però la piràmide de base poligonal AEBFCGDH i el mateix
vèrtex que el con és la tercera part del prisma de
base poligonal AEBFCGDH i la mateixa altura que el cilindre, aleshores
el prisma de base poligonal AEBFCGDH i la mateixa altura que el
cilindre és major que el cilindre de base circular ABCD.
Però també és menor, perque l´inclou,
la qual cosa és impossible.
Aleshores el cilindre no és menor que el triple del con.
Però s´ha demostrat que tampoc és major que
el triple. Aleshores el cilindre és el triple del con, de
manera que el con és una tercera part del cilindre.
Per tant, qualsevol con és la tercera part d´un cilindre
amb la mateixa base i d´igual altura.
Q.E.D.
