PROPOSICIÓ 10 LLIBRE XII

Proposició 10. Qualsevol con és la tercera part del cilindre que té la mateixa base i la mateixa altura.

java applet or image

Sigui un con amb la mateixa base, el cercle ABCD d´un cilindre i d´igual altura.
Jo dic que el con és una tercera part del cilindre, és a dir, que el cilindre és el triple del con.
Perque si el cilindre no és el triple del con, aleshores el cilindre serà o bé major o bé menor que el triple del con.
Sigui primer, major que el triple.
Inscriure el quadrat ABCD en el cercle ABCD. Aleshores el quadrat ABCD és major que la meitat del cercle ABCD. Des del quadrat ABCD s´aixequi un prisma d´igual altura que el cilindre. [IV 6].
Aleshores el prisma aixecat és major que la meitat del cilindre, perque si circumscribim un quadrat en el cercle ABCD, el quadrat inscrit en el cercle ABCD és la meitat del circumscrit, i els sòlids aixecats a partir d´ells són prismes paral·lelepípedes d´igual altura, ja que els sòlids paral·lelepípedes d´igual altura són un a l´altre com les seves bases, aleshores també el prisma aixecat a partir del quadrat ABCD és la meitat del prisma aixecat des del quadrat circumscrit en el cercle ABCD, aleshores el prisma aixecat a partir del quadrat ABCD i d´igual altura que el cilindre és major que la meitat del cilindre. [IV 7] [XI 32] [XI 28 o XII 6] [XII 7 Cor.].
Biseccionar les circumferències AB, BC, CD i DA pels punts E, F, G i H i traçar AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH i HA. Aleshores cada triangle AEB, BFC, CGD i DHA és major que la meitat del segment del cercle ABCD en el que està, com hem demostrat anteriorment. [XII 2].
En cadascun dels triangles AEB, BFC, CGD i DHA aixequem prismes d´igual altura que el cilindre. Aleshores cadascun dels prismes aixecats és major que la meitat del segment del cilindre en el que està, perque si dibuixem pels punts E, G, G i H paral·leles a AB, BC, CD i DA, completem els paral·lelograms en AB, BC, CD i DA, i aixequem a partir d´ells sòlids paral·lelepípedes d´igual altura que el cilindre, aleshores els prismes sobre els triangles AEB, BFC, CGD i DHA són la meitat de cadascun dels sòlids aixecats, i els segments del cilindre són menors que els sòlids paral·lelepípedes aixecats, per tant també els prismes sobre els triangles AEB, BFC, CGD i DHA són majors que la meitat dels segments del cilindre en el que estan. [I 31].
Així doncs, biseccionem les circumferències que queden, tracem línies rectes, unint cadascun dels prismes triangulars amb el cilindre, i ho fem repetidament, deixarem alguns segments del cilindre que són menors que l´excés amb el que el cilindre excedeix el triple al con. [X 1].
Deixem els segments, i siguin AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH i HA. Aleshores el prisma restant amb base poligonal AEBFCGDH i la misma altura que el cilindre és triple de la piràmide amb base poligonal AEBFCGDH i el mateix vèrtex del con. Per tant la piràmide amb base poligonal AEBFCGDH i mateix vèrtex que el con és major que el con amb base circular ABCD. [XII 7 Cor.].
Però també és menor perque està inclosa en ell, la qual cosa és impossible.
Per tant el cilindre no és major que el triple del con.
Jo dic ara que en cap cas el cilindro és menor que el triple del con.
Perque si fos possible el cilindre seria menor que el triple del con. Aleshores, per inversió, el con és major que la tercera part del cilindre.
Inscriure el quadrat ABCD en el cercle ABCD. Aleshores el quadrat ABCD és major que la meitat del cercle ABCD. [IV 6].
Ara aixequem des del quadrat ABCD una piràmide amb el mateix vèrtex que el con. Aleshores la piràmide aixecada és major que la meitat del con, perque, com hem demostrat abans, si circumscribim un quadrat en un cercle, com que el quadrat ABCD és la meitat del quadrat circumscrit, i si aixequem des del quadrat sòlids paral·lelepípedes d´igual altura que el con, que també anomenem prismes, aleshores el sòlid aixecat des del quadrat ABCD és la meitat que el sòlid aixecat des del quadrat circumscrit en el cercle, perque són un a l´altre com les seves bases. [XI 32].
D´aquesta manera els terços estan també en la mateixa raó. Per tant la piràmide amb base el quadrat ABCD és la meitat de la piràmide aixecada a partir del quadrat circumscrit en el cercle.
I la piràmide aixecada a partir del quadrat al voltant del cercle és major que el con, perque aquesta l´inclou
Per tant la piràmide amb base el quadrat ABCD i el mateix vèrtex que el con és major que la meitat del con.
Biseccionem les circumferències AB, BC, CD i DA pels punts E, F, G i H i tracem AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH i HA. Aleshores cada triangle AEB, BFC, CGD i DHA és major que la meitat del segment del cercle ABCD en el que està.
Ara, a cada triangle AEB, BFC, CGD i DHA aixequem piràmides amb el mateix vèrtex que el con. Aleshores cada piràmide aixecada de la mateixa manera és major que la meitat del segment del con en el que està.
Així doncs, biseccionant les circumferències que queden, traçant línies rectes, aixecant piràmides a cada triangle amb el mateix vèrtex que el con, i fent això repetidament, deixarem alguns segments del con que seran menors que l´excés amb que el cono excedeix la tercera part del cilindre. [X 1].
Deixem aquests, i siguin els segments AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH i HA. Aleshores la piràmide restant amb base poligonal AEBFCGDH i el mateix vèrtex que el con, és major que la tercera part del cilindr.
Però la piràmide de base poligonal AEBFCGDH i el mateix vèrtex que el con és la tercera part del prisma de base poligonal AEBFCGDH i la mateixa altura que el cilindre, aleshores el prisma de base poligonal AEBFCGDH i la mateixa altura que el cilindre és major que el cilindre de base circular ABCD.
Però també és menor, perque l´inclou, la qual cosa és impossible.
Aleshores el cilindre no és menor que el triple del con.
Però s´ha demostrat que tampoc és major que el triple. Aleshores el cilindre és el triple del con, de manera que el con és una tercera part del cilindre.
Per tant, qualsevol con és la tercera part d´un cilindre amb la mateixa base i d´igual altura.
Q.E.D.

 

Copyright Applet © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets d´ús cedits 2002/2003
JDL
Primera Edición Castellano-Catalán ®2006


© Copyright 2006 JDL euclides.org