Siguin cons i cilindres de la mateixa altura, les seves bases els
cercles ABCD i EFGH, els seus eixos KL i MN, i AC i EG els diàmetres
de les seves bases.
Jo dic que el cercle ABCD és al cercle EFGH com el con AL
és al con EN.
Perque si no, aleshores el cercle ABCD és al cercle EFGH
com el con AL és o bé a un sòlid menor que
el con EN o bé a un de major.
Ho sigui primer a un sòlid menor O, i sigui el sòlid
X igual a allò en el que el sòlid O és menor
que el con EN. Aleshores el con EN és igual a la suma dels
sòlids O i X.
Inscriure el quadrat EFGH en el cercle EFGH. Aleshores el quadrat
és major que la meitat del cercle. [IV 6].
S´aixequi des del quadrat EFGH una piràmide d´igual
altura que el con. Aleshores la piràmide aixecada és
major que la meitat del con, perque si circumscribim un quadrat
al voltant d´un cercle, i aixequem a partir d´ell una
piràmide d´igual altura que el con, aleshores la piràmide
inscrita és la meitat de la piràmide circumscrita,
perque són una a l´altra com les seves bases, mentre
que el con és menor que la piràmide circumscrita.
[XII 6].
Biseccionar les circumferències EF, FG, GH i HE pels punts
P, Q, R i S, i tracem HP, PE, EQ, QF, FR, RG, GS i SH.
Aleshores cadascun dels triangles HPE, EQF, FRG i GSH és
major que la meitat del segment del cercle en el que està.
S´aixequi sobre cadascun dels triangles HPE, EQF, FRG i GSH
una piràmide d´igual altura que el con. Aleshores cadascuna
de les piràmides aixecades és també major que
la meitat del segment del con en el que està.
Així doncs, biseccionem les circumferències que quedan,
tracem línies rectes, aixequem en cadascun dels triangles,
piràmides d´igual altura que el con, i fem això
repetidament, deixarem alguns segments del con que són menores
que el sòlid X. [X 1].
Deixem aquests, i siguin ara els segments HP, PE, EQ, QF, FR, RG,
GS i SH.
Aleshores, la piràmide restant amb base poligonal HPEQFRGS
i mateixa altura que el con, és major que el sòlido
O.
Ara, inscriure en el cercle ABCD el polígon DTAUBVCW semblant
i situat de manera similar al polígon HPEQFRGS, i aixequem
sobre ell una piràmide d´igual altura que el con AL.
Donat que el quadrat d´AC és al quadrat d´EG
com el polígon DTAUBVCW és al polígon HPEQFRGS,
mentre el quadrat d´AC és al quadrat d´EG com
el cercle ABCD és al cercle EFGH, aleshores el cercle ABCD
és al cercle EFGH com el polígon DTAUBVCW és
al polígon HPEQFRGS. [XII.1] [XII.2].
Però el cercle ABCD és al cercle EFGH com el con AL
és al sòlid O, i el polígon DTAUBVCW és
al polígon HPEQFRGS com la piràmide de base poligonal
DTAUBVCW i vèrtex L és a la piràmide de base
poligonal HPEQFRGS i vèrtex N. [XII 6].
Aleshores el con AL és al sòlid O com la piràmide
de base poligonal DTAUBVCW i vèrtex L és a la piràmide
de base poligonal HPEQFRGS i vèrtex N. Aleshores, per alternança
el con AL és a la piràmide inscrita en ell com el
sòlido O és a la piràmide inscrita en el con
EN. [V 11] [V 16].
Però el con AL és major que la piràmide inscrita
en ell, aleshores el sòlid O és també major
que la piràmide inscrita en el con EN.
Però també és menor, la qual cosa és
absurda.
Aleshores el con AL no és a un sòlid menor que el
con EN com el cercle ABCD és al cercle EFGH.
De manera semblant podem demostrar que tampoc el con EN és
a cap sòlid menor que el con AL com el cercle EFGH és
al cercle ABCD.
Jo dic ara que tampoc el con AL és a cap sòlid major
que el con EN com el cercle ABCD és al cercle EFGH.
Perque si fos possible, ho sigui en una raó al sòlid
major O. Aleshores, prr inversió el cercle EFGH és
al cercle ABCD com el sòlid és al con AL.
Però el sòlid O és al con AL com el con EN
ho és a algún sòlid menor que el con AL, aleshores
el cercle EFGH és al cercle ABCD com el con EN és
a algún sòlid menor que el con AL, la qual cosa ha
estat demostrada com a impossible.
Aleshores el con AL no és a cap sòlid major que el
con EN com el cercle ABCD és al cercle EFGH.
Però s´ha demostrat que cap ho és en una raó
a un sòlid menor, aleshores el cercle ABCD és al cercle
EFGH com el con AL és al con EN.
Però el con és al con com el cilindre és al
cilindre, perque cadascun és el triple de cadascun. Aleshores
el cercle ABCD és al cercle EFGH com ho són els cilindres
als cilindrse d´igual altura. [XII 10].
Per tant, els cons i cilindres d´igual altura són l´un
a l´altre com les seves bases.
Q.E.D.
