Siguin cons i cilindres semblants, i siguin els cercles ABCD i
EFGH les seves bases, BD i FH els diàmetres de les seves
bases, i KL i MN els eixos dels cons i cilindres.
Jo dic que el con de base circular ABCD i vèrtex L guarda
amb el con de base EFGH i vèrtex N una raó triplicada
de la que BD guarda amb FH.
Perque, si el con ABCDL no guarda amb el con EFGHN la raó
triplicada que BD guarda amb FH, aleshores el con ABCDL guarda una
raó triplicada amb un sòlid menor que el con EFGHN
o a un de major.
Primer, guardi la raó triplicada amb un sòlid menor
O. Inscriure el quadrat EFGH en el cercle EFGH. Aleshores el quadrat
EFGH és major que la meitat del cercle EFGH. [IV 6].
S´aixequi ara sobre el quadrat EFGH una piràmide amb
el mateix vèrtex que el con. Aleshores la piràmide
aixecada és major que la meitat del con. Biseccionar les
circumferències EF, FG, GH i HE pels punts P, Q, R i S i
traçar EP, PF, FQ, QG, GR, RH, HS i SE.
Aleshores cadascun dels triangles EPF, FQG, GRH i HSE és
també major que la meitat del segment del cercle EFGH en
el que està.
Ara s´aixequi en cadascun dels triangles EPF, FQG, GRH i HSE
una piràmide amb el mateix vèrtex que el con.
Aleshores cadascuna de les piràmides aixecades és
també major que la meitat del segment del con sobre el que
està.
Així, biseccionem les circumferències restants, tracem
línies rectes, aixequem sobre cadascun dels triangles piràmides
amb el mateix vèrtex que el con, i ho fem repetidament, fins
deixar que alguns segments del con siguin menors que l´excés
amb el que el con EFGHN excedeix al sòlid O. [X 1].
Deixem aquests de banda, i siguin els segments EP, PF, FQ, QG, GR,
RH, HS i SE. Aleshores la piràmide restant amb base poligonal
EPFQGRHS i vèrtex N, és major que el sòlid
O.
Ara inscriure en el cercle ABCD el polígon ATBUCVDW semblant
i situat de manera semblant que el polígon EPFQGRHS, i s´aixequi
sobre el polígon ATBUCVDW una piràmide amb el mateix
vèrtex que el con.
Sigui LBT un dels triangles que comprenen la piràmide amb
base poligonal ATBUCVDW i vèrtex L, i sigui NFP un dels triangles
que comprenen la piràmide amb base poligonal EPFQGRHS i vèrtex
N. Traçar KT i MP. Ara, donat que el con ABCDL és
semblant al con EFGHN, aleshores BD és a FH com l´eix
KL és a l´eix MN. [XI Def. 24].
Però BD és a FH com BK és a FM, aleshores BK
és a FM com KL és a MN. I, per alternança BK
és a KL com FM és a MN. [V 16].
I els costats són proporcionals als angles iguals, a saber
els angles BKL i FMN, aleshores el triangle BKL és semblant
al triangle FMN. [VI 6].
De nou, donat que BK és a KT com FM és a MP, i que
tenen angles iguals, a saber els angles BKT i FMP, perque qualsevol
part de l´angle BKT és dels quatre anglse rectes del
centre K, la mateixa part que l´angle FMP és dels quatre
angles rectes del centre M. Aleshores, donat que els costats són
proporcionals als angles iguals, aleshores el triangle BKT és
semblant al triangle FMP. [VI 6].
De nou, donat que ha estat demostrat que BK és a KL com FM
és a MN, mentre BK és igual a KT, i FM és igual
a PM, aleshores TK és a KL com PM és a MN. I els costats
són proporcionals als angles iguals, a saber els angles TKL
i PMN perque són rectes, aleshores el triangle LKT és
semblant al triangle NMP. [VI 6].
I donat que els triangles LKB i NMF són semblants, aleshores
LB és a BK com NF és a FM. I donat que els triangles
BKT i FMP són semblants, aleshores KB és a BT com
MF és a FP. Entonces, ex aequali, LB és a BT
com NF és a FP. [VI 6].
De nou, donat que els triangles LTK i NPM són semblants,
aleshores LT és a TK com NP és a PM, i donat que els
triangles TKB i PMF són semblants, aleshores KT és
a TB com MP és a PF. Aleshores, ex aequali, LT és
a TB com NP és a PF. [VI 6].
Però ha estat demostrat que TB és a BL com PF és
a FN. Aleshores, ex aequali, TL és a LB com PN és
a NF. [V 22].
Aleshores en els triangles LTB i NPF els costats són proporcionals.
[VI 5]. Aleshores els triangles LTB i NPF són equiangulars,
donat que també són semblants. [VI Def.1].
Aleshores la piràmide de base triangular BKT i vèrtex
L és semblant a la piràmide de base triangular FMP
i vèrtex N, perque estan compreses per plans semblants iguals
en quantitat. [XI Def.9].
Però les piràmides amb base triangular guarden una
amb l´altra una raó triplicada de la que guarden els
seus corresponents costats. [XII 8].
Aleshores la piràmide BKTL guarda amb la piràmide
FMPN una raó triplicada del que BK guarda amb FM.
De manera semblant, traçant línies rectes des d´A,
W, D, V, C i U fins a K, i des d´E, S, H, R, G i Q fins a
M, i aixequem sobre cada triangle piràmides amb el mateix
vèrtex que els cons, podem demostrar que cadascuna de les
piràmides colocada de manera semblant guarda també
amb cadascuna de les piràmides colocades de manera semblant
la raó triplicada del que el costat corresponent BK guarda
amb el costat correspondent FM, és a dir, el que BD guarda
amb FH.
I un dels antecedents és a un dels conseqüents com tots
els antecedents són a tots els conseqüents, aleshores
la piràmide BKTL és a la piràmide FMPN com
la piràmide sencera de base poligonal ATBUCVDW i vèrtex
L és a la piràmide sencera EPFQGRHS amb base poligonal
i vèrtex N, donat que la piràmide amb base ATBUCVDW
i vèrtex L guarda amb la piràmide de base poligonal
EPFQGRHS i vèrtex N la raó triplicada del que BD guarda
amb FH. [V 12].
Però, per la hipòtesis, el con de base circular ABCD
i vèrtex L també guarda amb el sòlid O la raó
triplicada del que BD guarda amb FH, aleshores el con de base circular
ABCD i vèrtex L és al sòlid O com la piràmide
de base poligonal ATBUCVDW i vèrtex L és a la piràmide
de base poligonal EPFQGRHS i vèrtex N. Aleshores, per alternança
el con de base circular ABCD i vèrtex L és a la piràmide
inscrita en ell amb la base poligonal ATBUCVDW i vèrtex L
com el sòlid O és a la piràmide amb base poligonal
EPFQGRHS i vèrtex N. [V 16].
Però el con citat és major que la piràmide
inscrita en ell, perque la compren. Aleshores el sòlid O
és també major que la piràmide de base poligonal
EPFQGRHS i vèrtex N. Però també és menor,
la qual cosa és impossible.
Aleshores el con de base circular ABCD i vèrtex L no guarda
amb cap sòlid menor que el con de base circular EFGH i vèrtex
N la raó triplicada del que BD guarda amb FH.
D´igual manera podem demostrar que tampoc el con EFGHN guarda
amb cap sòlid menor que el con ABCDL la raó triplicada
del que FH guarda amb BD.
Jo dic després que tampoc guarda el con ABCDL amb cap sòlid
major que el con EFGHN la raó triplicada del que BD guarda
amb FH.
Perque, si fos possible, sigui la raó a un sòlid major
que O. Aleshores, per inversió, el sòlid O guarda
amb el con ABCDL la raó triplicada del que FH guarda amb
BD. Però el sòlid O és al con ABCDL com el
con EFGHN és a un sòlid menor que el con ABCDL.
Aleshores el con EFGHN guarda també amb un sòlid menor
que el con ABCDL la raó triplicada del que FH guarda amb
BD, la qual cosa s´ha demostrat com impossible.
Aleshores el con ABCDL no guarda amb cap sòlid major que
el con EFGHN la raó triplicada del que BD guarda amb FH.
Però s´ha demostrat que tampoc guarda la raó
amb cap sòlid menor que el con EFGHN. Aleshores el con ABCDL
guarda amb el con EFGHN la raó triplicada del que BD guarda
amb FH.
Pero el con és al con com el cilindre és al cilindre,
perque el cilindre amb la mateixa base que el con i igual altura
és triple que el con. Aleshores el cilindre guarda també
amb el cilindre la raó triplicada del que BD guarda amb FH.
[XII 10].
Per tant, els cons i cilindres semblants són un a l´altre
en raó triplicada dels diàmetres de les seves bases.
Q.E.D.
