PROPOSICIÓ 12 LLIBRE XII

Proposiciķ 12. Els cons i cilindres semblants guarden entre sí una raķ triplicada de la que guarden els diāmetres de les seves bases.

java applet or image

Siguin cons i cilindres semblants, i siguin els cercles ABCD i EFGH les seves bases, BD i FH els diàmetres de les seves bases, i KL i MN els eixos dels cons i cilindres.
Jo dic que el con de base circular ABCD i vèrtex L guarda amb el con de base EFGH i vèrtex N una raó triplicada de la que BD guarda amb FH.
Perque, si el con ABCDL no guarda amb el con EFGHN la raó triplicada que BD guarda amb FH, aleshores el con ABCDL guarda una raó triplicada amb un sòlid menor que el con EFGHN o a un de major.
Primer, guardi la raó triplicada amb un sòlid menor O. Inscriure el quadrat EFGH en el cercle EFGH. Aleshores el quadrat EFGH és major que la meitat del cercle EFGH. [IV 6].
S´aixequi ara sobre el quadrat EFGH una piràmide amb el mateix vèrtex que el con. Aleshores la piràmide aixecada és major que la meitat del con. Biseccionar les circumferències EF, FG, GH i HE pels punts P, Q, R i S i traçar EP, PF, FQ, QG, GR, RH, HS i SE.
Aleshores cadascun dels triangles EPF, FQG, GRH i HSE és també major que la meitat del segment del cercle EFGH en el que està.
Ara s´aixequi en cadascun dels triangles EPF, FQG, GRH i HSE una piràmide amb el mateix vèrtex que el con.
Aleshores cadascuna de les piràmides aixecades és també major que la meitat del segment del con sobre el que està.
Així, biseccionem les circumferències restants, tracem línies rectes, aixequem sobre cadascun dels triangles piràmides amb el mateix vèrtex que el con, i ho fem repetidament, fins deixar que alguns segments del con siguin menors que l´excés amb el que el con EFGHN excedeix al sòlid O. [X 1].
Deixem aquests de banda, i siguin els segments EP, PF, FQ, QG, GR, RH, HS i SE. Aleshores la piràmide restant amb base poligonal EPFQGRHS i vèrtex N, és major que el sòlid O.
Ara inscriure en el cercle ABCD el polígon ATBUCVDW semblant i situat de manera semblant que el polígon EPFQGRHS, i s´aixequi sobre el polígon ATBUCVDW una piràmide amb el mateix vèrtex que el con.
Sigui LBT un dels triangles que comprenen la piràmide amb base poligonal ATBUCVDW i vèrtex L, i sigui NFP un dels triangles que comprenen la piràmide amb base poligonal EPFQGRHS i vèrtex N. Traçar KT i MP. Ara, donat que el con ABCDL és semblant al con EFGHN, aleshores BD és a FH com l´eix KL és a l´eix MN. [XI Def. 24].
Però BD és a FH com BK és a FM, aleshores BK és a FM com KL és a MN. I, per alternança BK és a KL com FM és a MN. [V 16].
I els costats són proporcionals als angles iguals, a saber els angles BKL i FMN, aleshores el triangle BKL és semblant al triangle FMN. [VI 6].
De nou, donat que BK és a KT com FM és a MP, i que tenen angles iguals, a saber els angles BKT i FMP, perque qualsevol part de l´angle BKT és dels quatre anglse rectes del centre K, la mateixa part que l´angle FMP és dels quatre angles rectes del centre M. Aleshores, donat que els costats són proporcionals als angles iguals, aleshores el triangle BKT és semblant al triangle FMP. [VI 6].
De nou, donat que ha estat demostrat que BK és a KL com FM és a MN, mentre BK és igual a KT, i FM és igual a PM, aleshores TK és a KL com PM és a MN. I els costats són proporcionals als angles iguals, a saber els angles TKL i PMN perque són rectes, aleshores el triangle LKT és semblant al triangle NMP. [VI 6].
I donat que els triangles LKB i NMF són semblants, aleshores LB és a BK com NF és a FM. I donat que els triangles BKT i FMP són semblants, aleshores KB és a BT com MF és a FP. Entonces, ex aequali, LB és a BT com NF és a FP. [VI 6].
De nou, donat que els triangles LTK i NPM són semblants, aleshores LT és a TK com NP és a PM, i donat que els triangles TKB i PMF són semblants, aleshores KT és a TB com MP és a PF. Aleshores, ex aequali, LT és a TB com NP és a PF. [VI 6].
Però ha estat demostrat que TB és a BL com PF és a FN. Aleshores, ex aequali, TL és a LB com PN és a NF. [V 22].
Aleshores en els triangles LTB i NPF els costats són proporcionals. [VI 5]. Aleshores els triangles LTB i NPF són equiangulars, donat que també són semblants. [VI Def.1].
Aleshores la piràmide de base triangular BKT i vèrtex L és semblant a la piràmide de base triangular FMP i vèrtex N, perque estan compreses per plans semblants iguals en quantitat. [XI Def.9].
Però les piràmides amb base triangular guarden una amb l´altra una raó triplicada de la que guarden els seus corresponents costats. [XII 8].
Aleshores la piràmide BKTL guarda amb la piràmide FMPN una raó triplicada del que BK guarda amb FM.
De manera semblant, traçant línies rectes des d´A, W, D, V, C i U fins a K, i des d´E, S, H, R, G i Q fins a M, i aixequem sobre cada triangle piràmides amb el mateix vèrtex que els cons, podem demostrar que cadascuna de les piràmides colocada de manera semblant guarda també amb cadascuna de les piràmides colocades de manera semblant la raó triplicada del que el costat corresponent BK guarda amb el costat correspondent FM, és a dir, el que BD guarda amb FH.
I un dels antecedents és a un dels conseqüents com tots els antecedents són a tots els conseqüents, aleshores la piràmide BKTL és a la piràmide FMPN com la piràmide sencera de base poligonal ATBUCVDW i vèrtex L és a la piràmide sencera EPFQGRHS amb base poligonal i vèrtex N, donat que la piràmide amb base ATBUCVDW i vèrtex L guarda amb la piràmide de base poligonal EPFQGRHS i vèrtex N la raó triplicada del que BD guarda amb FH. [V 12].
Però, per la hipòtesis, el con de base circular ABCD i vèrtex L també guarda amb el sòlid O la raó triplicada del que BD guarda amb FH, aleshores el con de base circular ABCD i vèrtex L és al sòlid O com la piràmide de base poligonal ATBUCVDW i vèrtex L és a la piràmide de base poligonal EPFQGRHS i vèrtex N. Aleshores, per alternança el con de base circular ABCD i vèrtex L és a la piràmide inscrita en ell amb la base poligonal ATBUCVDW i vèrtex L com el sòlid O és a la piràmide amb base poligonal EPFQGRHS i vèrtex N. [V 16].
Però el con citat és major que la piràmide inscrita en ell, perque la compren. Aleshores el sòlid O és també major que la piràmide de base poligonal EPFQGRHS i vèrtex N. Però també és menor, la qual cosa és impossible.
Aleshores el con de base circular ABCD i vèrtex L no guarda amb cap sòlid menor que el con de base circular EFGH i vèrtex N la raó triplicada del que BD guarda amb FH.
D´igual manera podem demostrar que tampoc el con EFGHN guarda amb cap sòlid menor que el con ABCDL la raó triplicada del que FH guarda amb BD.
Jo dic després que tampoc guarda el con ABCDL amb cap sòlid major que el con EFGHN la raó triplicada del que BD guarda amb FH.
Perque, si fos possible, sigui la raó a un sòlid major que O. Aleshores, per inversió, el sòlid O guarda amb el con ABCDL la raó triplicada del que FH guarda amb BD. Però el sòlid O és al con ABCDL com el con EFGHN és a un sòlid menor que el con ABCDL.
Aleshores el con EFGHN guarda també amb un sòlid menor que el con ABCDL la raó triplicada del que FH guarda amb BD, la qual cosa s´ha demostrat com impossible.
Aleshores el con ABCDL no guarda amb cap sòlid major que el con EFGHN la raó triplicada del que BD guarda amb FH.
Però s´ha demostrat que tampoc guarda la raó amb cap sòlid menor que el con EFGHN. Aleshores el con ABCDL guarda amb el con EFGHN la raó triplicada del que BD guarda amb FH.
Pero el con és al con com el cilindre és al cilindre, perque el cilindre amb la mateixa base que el con i igual altura és triple que el con. Aleshores el cilindre guarda també amb el cilindre la raó triplicada del que BD guarda amb FH. [XII 10].
Per tant, els cons i cilindres semblants són un a l´altre en raó triplicada dels diàmetres de les seves bases.
Q.E.D.

 

Copyright Applet Š 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

Š Drets d´ús cedits 2002/2003
JDL
Primera Edición Castellano-Catalán ®2006


© Copyright 2006 JDL euclides.org