Proposició 13. Si un cilindre és
tallat per un pla que sigui paral·lel als plans oposats,
aleshores, tal i com el cilindre és al cilindre, l´eix
és a l´eix.
Sigui el cilindre AD tallat pel pla GH paral·lel als plans
opossts AB i CD. Trobar el pla GH a l´eix en el punt K.
Jo dic que el cilindre BG és al cilindre GD com l´eix
EK és a l´eix KF.
Prollongar l´eix EF en ambdues direccions fins als punts L
i M. Sigui qualsevol número d´eixos EN i NL iguals
a l´eix EK, i qualsevol número d´eixos FO i OM
iguals a FK.Construir el cilindre PW a sobre de l´eix LM amb
els cercles PQ i VW com a bases.
Portar els plans a través dels punts N y O paral·lels
a AB i CD i fins a les bases del cilindre PQ, i siguin fets els
cercles RS i TU al voltant dels centres N i O.
Aleshores, donat que els eixos LN, NE i EK són iguals un
a l´altre, aleshores els cilindres QR, RB i BG són
l´un a l´altre com les seves bases. [XII 11].
Però les bases són iguals, aleshores els cilindres
QR, RB i BG són també iguals un a l´altre.
Donat que els eixos LN, NE i EK són iguals un a l´altre,
i els cilindres QR, RB i BG són també iguals l´un
a l´altre, i el número d´anteriors és
igual al número de posteriors, aleshores, el múltiple
de l´eix KL és de l´eix EK el mateix que el cilindre
QG és del cilindre GB.
Per la mateixa raó, el múltiple de l´eix MK
és de l´eix KF el mateix que el múltiple del
cilindre WG és del cilindre GD.
I, si l´eix KL és igual a l´eix KM, aleshores
el cilindre QG és també igual al cilindre GQ; si l´eix
és major que l´eix, aleshores el cilindre també
és major que el cilindre, i si és menor, menor. Així,
essent quatre magnituts, els eixos EK i KF i els cilindres BG i
GD, s´han agafat equimúltiples de l´eix EK i
del cilindre BG, a saber, l´eix LK i el cilindre QG, i equimúltiples
dels eixos KF i del cilindre GD, a saber, els eixos KM i el cilindre
GQ, i s´ha demostrat que, si l´eix KL excedeix de l´eix
KM, el cilindre QG excedeix també del cilindre GW; si és
igual, igual; i si és menor, menor. Aleshores l´eix
EK és a l´eix KF com el cilindre BG és al cilindre
GD. [V Def.5].
Per tant, si un cilindre es talla per un pla paral·lel als
plans oposats, aleshores el cilindre és al cilindre com l´eix
és a l´eix.
Q.E.D.
