PROPOSICIÓ 13 LLIBRE XII

Proposició 13. Si un cilindre és tallat per un pla que sigui paral·lel als plans oposats, aleshores, tal i com el cilindre és al cilindre, l´eix és a l´eix.

java applet or image

Sigui el cilindre AD tallat pel pla GH paral·lel als plans opossts AB i CD. Trobar el pla GH a l´eix en el punt K.
Jo dic que el cilindre BG és al cilindre GD com l´eix EK és a l´eix KF.
Prollongar l´eix EF en ambdues direccions fins als punts L i M. Sigui qualsevol número d´eixos EN i NL iguals a l´eix EK, i qualsevol número d´eixos FO i OM iguals a FK.Construir el cilindre PW a sobre de l´eix LM amb els cercles PQ i VW com a bases.
Portar els plans a través dels punts N y O paral·lels a AB i CD i fins a les bases del cilindre PQ, i siguin fets els cercles RS i TU al voltant dels centres N i O.
Aleshores, donat que els eixos LN, NE i EK són iguals un a l´altre, aleshores els cilindres QR, RB i BG són l´un a l´altre com les seves bases. [XII 11].
Però les bases són iguals, aleshores els cilindres QR, RB i BG són també iguals un a l´altre.
Donat que els eixos LN, NE i EK són iguals un a l´altre, i els cilindres QR, RB i BG són també iguals l´un a l´altre, i el número d´anteriors és igual al número de posteriors, aleshores, el múltiple de l´eix KL és de l´eix EK el mateix que el cilindre QG és del cilindre GB.
Per la mateixa raó, el múltiple de l´eix MK és de l´eix KF el mateix que el múltiple del cilindre WG és del cilindre GD.
I, si l´eix KL és igual a l´eix KM, aleshores el cilindre QG és també igual al cilindre GQ; si l´eix és major que l´eix, aleshores el cilindre també és major que el cilindre, i si és menor, menor. Així, essent quatre magnituts, els eixos EK i KF i els cilindres BG i GD, s´han agafat equimúltiples de l´eix EK i del cilindre BG, a saber, l´eix LK i el cilindre QG, i equimúltiples dels eixos KF i del cilindre GD, a saber, els eixos KM i el cilindre GQ, i s´ha demostrat que, si l´eix KL excedeix de l´eix KM, el cilindre QG excedeix també del cilindre GW; si és igual, igual; i si és menor, menor. Aleshores l´eix EK és a l´eix KF com el cilindre BG és al cilindre GD. [V Def.5].
Per tant, si un cilindre es talla per un pla paral·lel als plans oposats, aleshores el cilindre és al cilindre com l´eix és a l´eix.
Q.E.D.


Copyright Applet © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets d´ús cedits 2002/2003
JDL
Primera Edición Castellano-Catalán ®2006


© Copyright 2006 JDL euclides.org