Proposició 15. Les bases dels cons i cilindres iguals estan inversament relacionades amb les altures, i aquells cons les bases dels quals estan inversament relacionades amb les seves altures, són iguals.

Siguin iguals els cons i cilindres amb bases circulars ABCD i EFGH.
Siguin AC i EG els diàmetres de les bases, i KL i MN els eixos que són també les altures del con o del cilindre.
Completar el cilindre AO i EP.
Jo dic que en els cilindres AO i EP les bases són inversament proporcionals a les altures, és a dir, la base ABCD és a la base EFGH com l´altura MN és a l´altura KL.
Perque l´altura LK és o bé igual o bé desigual a l´altura MN.
Primer, que sigui igual.
Ara sigui el cilindre AO també igual al cilindre EP. Però els cons i cilindres d´igual altura són un a l´altre com les seves bases, aleshores la base ABCD és igual a la base EFGH. [XII 11].
De aquí, recíprocament, la base ABCD és a la base EFGH com l´altura MN és a l´altura KL.
Després, sigui l´altura LK desigual a MN, i sigui MN major.
Treure QN de l´altura MN igual a KL. Pel punt Q sigui el cilindre EP tallat pel pla TUS paral·lel als plans dels cercles EFGH i RP. Aixecar el cilindre ES des del cercle EFGH com a base i NQ com a altura.
Ara, donat que el cilindre AO és igual al cilindre EP, aleshores el cilindre AO és al cilindre ES com el cilindre EP és al cilindre ES. [V 7].
Però el cilindre AO és al cilindre ES com la base ABCD és a la base EFGH, perque els cilindres AO i ES tenen la mateixa altura. I el cilindre EP és al cilindre ES com l´altura MN és a l´altura QN, perque el cilindre EP s´ha tallat per un pla paral·lel als plans oposats. [XII 11]. Aleshores la base ABCD és a la base EFGH com l´altura MN és a l´altura QN.[XII 13] [V 11].
Però l´altura QN és igual a l´altura KL, aleshores la base ABCD és a la base EFGH com l´altura MN és a l´altura KL.
Aleshores en els cilindres AO i EP les bases són inversament proporcionals a les altures.
Després, en els cilindres AO i EP siguin les bases inversament proporcionals a les altures, és a dir, com la base ABCD és a la base EFGH, així és l´altura MN a l´altura KL.
Jo dic que el cilindre AO és igual al cilindre EP.
Amb una construcció, donat que la base ABCD és a la base EFGH com l´altura MN és a l´altura KL, i l´altura KL és igual a l´altura QN, aleshores la base ABCD és a la base EFGH com l´altura MN és a l´altura QN.
Però la base ABCD és a la base EFGH com el cilindre AO és al cilindre ES, perque tenen la mateixa altura.[XII 11]. I l´altura MN és a QN com el cilindre EP és al cilindre ES, aleshores el cilindre AO és al cilindre ES com el cilindre EP és al cilindre ES. [XII 13] [V 11].
Aleshores el cilindre AO és igual al cilindre EP. [V 9].
I el mateix és cert per als cons. [XII 10].
Aleshores, en cons i cilindres iguals, les bases són inversament proporcionals a les altures; i aquests cons i cilindres en els quals les bases són inversament proporcionals a les altures són iguals.
Q.E.D.