Siguin dues esferes al voltant del mateix centre A.
S´ha demanat inscriure en l´esfera major un sòlid
poliedre que no toqui la superfície de l´esfera menor.
Tallar les esferes per un pla a través del centre. Aleshores
les seccions són cercles, perque l´esfera es genera
estant fixe el diàmetre i girant el semicercle al voltant
d´ell, de manera que, essent qualsevol la posició en
la que hem concebut el semicercle, el pla a través d´ell
produirà un cercle en la circumferència de l´esfera.
[XI Def.14].
I queda clar que aquest cercle és el major possible, perque
el diàmetre de l´esfera, el qual és, evidentement
el diàmetre d´ambdos semicercles de l´esfera,
és major que totes les línies rectes dibuixades en
el cercle o en l´esfera.
Sigui aleshores BCDE el cercle dins de l´esfera major, i FGH
el cercle dins de l´esfera menor. Dibuixar en elles dos diàmetres,
BD i CE, formant angles rectes un amb l´altre. [I 11].
Aleshores, donats els cercles BCDE i FGH al voltant del mateix centre,
inscriure en el cercle major BCDE un polígon equilàter
amb un número parell de costats que no toqui al cercle menor
FGH. [XII 16].
Siguin BK, KL, LM i ME els costats en el quadrant BE. Traçar
KA i prollongar-lo fins a N. S´aixequi AO des del punt A formant
angles rectes amb el pla del cercle BCDE, i trobi la superfície
de l´esfera O. [XI 12].
Prolongar plans a través d´AO i de cadascuna de les
línies rectes BD i KN. Ells produeixen cercles màxims
en la superfície de l´esfera per la raó indicada.
Deixem-los, i siguin BOD i KON els semicercles sobre BD i KN.
Ara donat que OA forma un angle recte amb el pla del cercle BCDE,
aleshores tots els plans a través d´AO formen també
angles rectes amb el pla del cercle BCDE. [XI 18].
I, donat que els semicercles BED, BOD i KON són iguals, perque
estan a sobre dels diàmetres iguals BD i KN, aleshores els
quadrants BE, BO i KO són iguals un a l´altre.
Aleshores hi ha tantes línies rectes en els quadrants BO
i KO iguals a les línies rectes BK, KL, LM i ME com de costats
del polígon en el quadrant BE.
Inscriure´ls com BP, PQ, QR i RO i com KS, ST, TU i UO. Traçar
SP, TQ, UR, i dibuixar perpendiculars desde P i S al pla del cercle
BCDE. [IV 1] [XI 11].
Cauran sobre BD i KN les seccions comunes dels plans, perque els
plans BOD i KON formen també angles rectes amb el pla del
cercle BCDE. [XI Def.4].
Caiguin com PV i SW, i traçar WV.
Ara, donat que en els semicercles BOD i KON les línies rectes
iguals BP i KS s´han tret, i les perpendiculars PV i SW han
estat dibuixades, aleshores PV és igual a SW, i BV igual
a KW. [III 27] [I 26].
Però la recta sencera BA és també igual a la
recta sencera KA, aleshores el que queda de VA és també
igual al que queda de WA. Aleshores BV és a VA com KW és
a WA. Aleshores WV és paral·lel a KB. [VI 2].
I, donat que cadascuna de les línies rectes PV i SW formen
angles rectes amb el pla del cercle BCDE, aleshores PV és
paral·lela a SW. [XI 6].
Però ha estat demostrat que és igual a ella, aleshores
WV i SP són iguals i paral·lels. [I 33].
I, donat que WV és paral·lel a SP, i WV és
paral·lel a KB, aleshores SP és també paral·lel
a KB. [XI 9].
I BP i KS uneixen els seus extrems, aleshores el quadrilàter
KBPS està en un pla, perque si dues línies rectes
són paral·leles, i es prenen d´elles punts a
l´atzar, aleshores la línia recta que uneix aquests
punts està en el mateix pla que les paral·leles. Per
la mateixa raó cadascun dels quadrilàters SPQT i TQRU
estan també en un pla.[XI 7].
Però el triangle URO està també en un pla.
Si després tracem línies rectes des dels punts P,
S, Q, T, R i U fins a A, aleshores es construirà una certa
figura sòlida polièdrica entre les circumferències
BO i KO que consisteix en piràmides de les quals els quadrilàters
KBPS, SPQT i TQRU i el triangle URO són les seves bases i
el punt A el vèrtex. [XI 2].
I, si procedim a la mateixa construcció en el cas de cadascun
dels costats KL, LM i ME com en el cas de BK, i a més, en
el cas dels tres quadrants restants, aleshores construirem una certa
figura polièdrica inscrita en l´esfera i compresa per
piràmides, de les quals els quadrilàters citats i
el triangle URO, i els corresponents a ells, són les bases
i el punt A és el vèrtex.
Jo dic que el citat poliedre no toca a la esfera menor en la superfície
que està el cercle FGH.
Dibuixar AX des del punt A perpendicular al pla del quadrilàter
KBPS, i trobar el pla en el punt X. Traçar XB i XK. [XI 11].
Aleshores, donat que AX forma angles rectes amb el pla del quadrilàter
KBPS, aleshores forma també angles rectes amb totes les línies
rectes que la toquen i estan en el pla del quadrilàter. Aleshores
AX forma angles rectes amb cadascuna de les línies rectes
BX i XK. [XI Def.3].
I, donat que AB és igual a AK, aleshores el quadrat en AB
és igual al quadrat en AK. I la suma dels quadrats AX i XB
és igual al quadrat d´AB, perque l´angle X és
recte, i la suma dels quadrats d´AX i XK és igual al
quadrat d´AK. [I 47].
Aleshores la suma dels quadrats d´AX i XB és igual
a la suma dels quadrats d´AX i XK.
Restem de cadascun el quadrat d´AX, aleshores la resta, el
quadrat de BX, és igual a la resta, el quadrat de XK. Aleshores
BX és igual a XK.
De manera semblant podem demostrar que les línies rectes
traçades desde X fins a P i S són iguals a cadascuna
de les línies rectes BX i XK.
Aleshores el cercle amb centre X i radi sobre les línies
rectes XB o XK passa també per P i S, i KBPS és un
quadrilàter en un cercle.
Ara, donat que KB és major que WV, i WV és igual a
SP, aleshores KB és major que SP. Però KB és
igual a cadascuna de les línies rectes KS i BP, aleshores
cadascuna de les línies rectes KS i BP és major que
SP. I, donat que KBPS és un quadrilàter en un cercle,
i KB, BP i KS són iguals, i PS és menor, i BX és
el radi del cercle, aleshores el quadrat de KB és major que
el doble del quadrat de BX.
Dibuixar KZ desde K perpendicular a BV. [I 12].
Aleshores, donat que BD és menor que el doble de DZ, i BD
és a DZ com el rectangle DB per BZ és al rectangle
DZ per ZB, aleshores si es descriu un quadrat sobre BZ i es completa
el paral·lelogram sobre ZD, aleshores el rectangle DB per
BZ és també menor que el doble del rectangle DZ per
ZB. I, si es traça KD, aleshores el rectangle DB per BZ és
igual al quadrat de BK, i el rectangle DZ per ZB és igual
al quadrat de KZ. aleshores el quadrat de KB és menor que
el doble del quadrat de KZ. [I 46] [III 31] [VI 18, Cor.].
Però el quadrat de KB és major que el doble del quadrat
de BX, aleshores el quadrat de KZ és major que el quadrat
de BX. I, donat que BA és igual a KA, aleshores el quadrat
de BA és igual al quadrat d´AK.
I la suma dels quadrats de BX i XA és igual al quadrat de
BA, i la suma dels quadrats de KZ i ZA és igual al quadrat
de KA, aleshores la suma dels quadrats de BX i XA és igual
a la suma dels quadrats de KZ i ZA, i d´això, el quadrat
de KZ és major que el quadrat de BX, aleshores la resta,
el quadrat de ZA, és menor que el quadrat de XA. [I 47].
Aleshores AX és major que AZ. Aleshores AX és molt
major que AG.
I AX és la perpendicular sobre una de les bases del poliedre,
i AG sobre la superfície de l´esfera menor, donat que
el poliedre no toca la superfície de l´esfera menor.
Aleshores, donades dues esferes amb el mateix centre, un sòlid
poliedre ha estat inscrit en l´esfera major que no toca la
superfície de l´esfera menor.
COROLARI
Però si dins d´una altra esfera s´inscriu un
sòlid polièdric semblant al sòlid de l´esfera
BCDE, aleshores el sòlid polièdric dins de l´esfera
BCDE guarda amb el sòlid polièdric de l´altra
esfera una raó triplicada de la que el diàmetre de
l´esfera BCDE guarda amb el diàmetre de l´altra
esfera.
Perque, si es divideixen els sòlids en les seves piràmides
semblants en quantitat i disposició, les piràmides
seran semblants.
Però les piràmides semblants estan una de l´altra
en raó triplicada de la dels seus corresponents costats,
aleshores la piràmide amb base quadrilàtera KBPS i
vèrtex A guarda amb la piràmide ubicada de manera
semblant en l´altra esfera una raó triplicada de la
que el costat corresponent guarda amb el costat corresponent, és
a dir, de la que el radi AB de l´esfera amb centre A guarda
amb el radi de l´altra esfera. [XII 18 Cor.].
De manera semblant cada piràmide de l´esfera de centre
A guarda amb cada piràmide ubicada de manera semblant de
l´altra esfera una raó triplicada de la que AB guarda
amb el radi de l´altra esfera.
I un dels antecedents és a un dels conseqüents com tots
els antecedents són a tots els conseqüents, de manera
que el sòlido polièdric sencer en l´esfera de
centre A guarda amb el sòlid polièdric sencer de l´áltra
esfera una raó triplicada de la que AB guarda amb el radi
de l´altra esfera, és a dir, de la que el diàmetre
BD guarda amb el diàmetre de l´altra esfera. [V 12].
Q.E.F.
