Siguin les esferes ABC i DEF, i sean BC i EF els seus diàmetres.
Jo dic que l´esfera ABC guarda amb l´esfera DEF una
raó triplicada de la que BC guarda amb EF.
Perque, si l´esfera ABC no guarda amb l´esfera DEF una
raó triplicada de la que BC guarda amb EF, aleshores l´esfera
ABC guarda amb qualsevol esfera menor o major que l´esfera
DEF la raó triplicada que BC guarda amb EF.
Primer, guardi la raó a una esfera menor GHK.
Sigui DEF al voltant del mateix centre que GHK. Inscriure en l´esfera
major DEF un sòlid polièdric que no toqui la superfície
de l´esfera menor GHK. [XII 17].
Inscriure també en l´esfera ABC un sòlid polièdric
semblant al sòlid polièdric de l´esfera DEF.
Aleshores el sòlid polièdric inscrit en ABC guarda
amb el sòlid polièdric inscrit en DEF la raó
triplicada del que BC guarda amb EF. [XII 17, Cor.]
Però l´esfera ABC també guarda amb l´esfera
GHK la raó triplicada de la que BC guarda amb EF, aleshores
l´esfera ABC és a l´esfera GHK com el sòlid
polièdric inscrito en l´esfera ABC guarda amb el sòlid
polièdric inscrit en l´esfera DEF, i , per alternança
l´esfera ABC és al poliedre en ella com l´esfera
GHK és al sòlid polièdric en l´esfera
DEF. [V 16].
Però l´esfera ABC és major que el poliedre inscrit
en ella, aleshores l´esfera GHK és també major
que el poliedre inscrit en l´esfera DEF. [V 14].
Però és també menor, perque està compresa
per ell. Aleshores l´esfera ABCD no guarda amb una esfera
menor que l´esfera DEF la raó triplicada de la que
el diàmetre BC guarda amb EF.
De manera semblant podem demostrar que l´esfera DEF tampoc
guarda amb una esfera menor que l´esfera ABC una raó
triplicada de la que EF guarda amb BC.
Jo dic ara que tampoc l´esfera ABC guarda amb una esfera major
que l´esfera DEF una raó triplicada de la que BC guarda
amb EF.
Perque, si fos possible, guardi la raó amb una major, LMN.
Aleshores, per inversió, l´esfera LMN guarda amb l´esfera
ABC la raó triplicada del que el diàmetre EF guarda
amb el diàmetre BC.
Però, donat que LMN és major que DEF, aleshores l´esfera
LMN és a l´esfera ABC com l´esfera DEF és
a una esfera menor que l´esfera ABC, com ja ha estat demostrat.
[XII 2 Lema].
Aleshores l´esfera DEF guarda també amb una esfera
menor que l´esfera ABC la raó triplicada del que EF
guarda amb BC, la qual cosa ha estat demostrada com impossible.
Aleshores l´esfera ABC no guarda amb cap esfera major que
l´esfera DEF la raó triplicada del que BC guarda amb
EF.
Però s´ha demostrat que tampoc guarda la raó
amb una esfera menor.
Aleshores l´esfera ABC guarda amb l´esfera DEF la raó
triplicada del que BC guarda amb EF.
Aleshores, les esferes són una a l´altra en raó
triplicada dels seus respectius diàmetres.
Q.E.D.
