PROPOSICIÓ 18 LLIBRE XII

Proposiciˇ 18. Les esferes guarden entre sí una raˇ triplicada de la raˇ dels seus respectius diÓmetres.

java applet or image

Siguin les esferes ABC i DEF, i sean BC i EF els seus diàmetres.
Jo dic que l´esfera ABC guarda amb l´esfera DEF una raó triplicada de la que BC guarda amb EF.
Perque, si l´esfera ABC no guarda amb l´esfera DEF una raó triplicada de la que BC guarda amb EF, aleshores l´esfera ABC guarda amb qualsevol esfera menor o major que l´esfera DEF la raó triplicada que BC guarda amb EF.
Primer, guardi la raó a una esfera menor GHK.
Sigui DEF al voltant del mateix centre que GHK. Inscriure en l´esfera major DEF un sòlid polièdric que no toqui la superfície de l´esfera menor GHK. [XII 17].
Inscriure també en l´esfera ABC un sòlid polièdric semblant al sòlid polièdric de l´esfera DEF. Aleshores el sòlid polièdric inscrit en ABC guarda amb el sòlid polièdric inscrit en DEF la raó triplicada del que BC guarda amb EF. [XII 17, Cor.]
Però l´esfera ABC també guarda amb l´esfera GHK la raó triplicada de la que BC guarda amb EF, aleshores l´esfera ABC és a l´esfera GHK com el sòlid polièdric inscrito en l´esfera ABC guarda amb el sòlid polièdric inscrit en l´esfera DEF, i , per alternança l´esfera ABC és al poliedre en ella com l´esfera GHK és al sòlid polièdric en l´esfera DEF. [V 16].
Però l´esfera ABC és major que el poliedre inscrit en ella, aleshores l´esfera GHK és també major que el poliedre inscrit en l´esfera DEF. [V 14].
Però és també menor, perque està compresa per ell. Aleshores l´esfera ABCD no guarda amb una esfera menor que l´esfera DEF la raó triplicada de la que el diàmetre BC guarda amb EF.
De manera semblant podem demostrar que l´esfera DEF tampoc guarda amb una esfera menor que l´esfera ABC una raó triplicada de la que EF guarda amb BC.
Jo dic ara que tampoc l´esfera ABC guarda amb una esfera major que l´esfera DEF una raó triplicada de la que BC guarda amb EF.
Perque, si fos possible, guardi la raó amb una major, LMN. Aleshores, per inversió, l´esfera LMN guarda amb l´esfera ABC la raó triplicada del que el diàmetre EF guarda amb el diàmetre BC.
Però, donat que LMN és major que DEF, aleshores l´esfera LMN és a l´esfera ABC com l´esfera DEF és a una esfera menor que l´esfera ABC, com ja ha estat demostrat. [XII 2 Lema].
Aleshores l´esfera DEF guarda també amb una esfera menor que l´esfera ABC la raó triplicada del que EF guarda amb BC, la qual cosa ha estat demostrada com impossible.
Aleshores l´esfera ABC no guarda amb cap esfera major que l´esfera DEF la raó triplicada del que BC guarda amb EF.
Però s´ha demostrat que tampoc guarda la raó amb una esfera menor.
Aleshores l´esfera ABC guarda amb l´esfera DEF la raó triplicada del que BC guarda amb EF.
Aleshores, les esferes són una a l´altra en raó triplicada dels seus respectius diàmetres.
Q.E.D.


Copyright Applet ę 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

ę Drets d´ús cedits 2002/2003
JDL
Primera Edición Castellano-Catalán ®2006


© Copyright 2006 JDL euclides.org