PROPOSICIÓ 1 LLIBRE XII

Proposició 1. Els polígons semblants inscrits en cercles són l´un a l´altre com els quadrats dels seus diàmetres.

java applet or image

Siguin ABC i FGH els cercles, siguin ABCDE i FGHKL els polígons semblants inscrits en ells, i siguin BM i GN els diàmetres dels cercles.
Jo dic que el quadrat de BM és al quadrat de GN com el polígon ABCDE és al polígon FGHKL.
Traçar BE, AM, GL i FN.
Ara, donat que el polígon ABCDE és semblant al polígon FGHKL, aleshores l´angle BAE és igual a l´angle GFL, i BA és a AE com GF és a FL. [VI Def.1]. Donat que BAE i GFL són dos triangles en els quals l´angle d´un és igual a l´angle de l´altre, l´angle BAE és igual a l´angle GFL, i els costats que comprenen angles proporcionals, aleshores el triangle ABE és equiangular amb el triangle FGL. Aleshores l´angle AEB és igual a l´angle FLG. [VI 6].
Però l´angle AEB és igual a l´angle AMB, perque estàn sobre la mateixa circumferència, i l´angle FLG és ingual l´angle FNG, aleshores l´angle AMB és també igual a l´angle FNG. [III 27].
Però l´angle recte BAM també és igual a l´angle recte GFN, alesores l´angle que queda és igual a l´angle que queda. [III 31]. Aleshores el triangle ABM és equiangular amb el triangle FGN.[I 32].
Per tant, proporcionalment BM és a GN com BA és a GF. [VI 4].
Però la raó que el quadrat de BM guarda amb el quadrat de GN és la raó duplicada de la que BM guarda amb GN, i la raó que el polígon ABCDE guarda amb el polígon FGHKL és una raó duplicada de la que BA guarda amb GF. [VI 20].
Aleshores el quadrat de BM és al quadrat de GN com el polígon ABCDE és al polígon FGHKL.
Aleshores, els polígons semblants inscrits en els cercles són un a l´altre com els quadrats dels seus diàmetres.
Q.E.D.

 

Copyright Applet © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets d´ús cedits 2002/2003
JDL
Primera Edición Castellano-Catalán ®2006


© Copyright 2006 JDL euclides.org