Siguin ABC i FGH els cercles, siguin ABCDE i FGHKL els polígons
semblants inscrits en ells, i siguin BM i GN els diàmetres
dels cercles.
Jo dic que el quadrat de BM és al quadrat de GN com el polígon
ABCDE és al polígon FGHKL.
Traçar BE, AM, GL i FN.
Ara, donat que el polígon ABCDE és semblant al polígon
FGHKL, aleshores l´angle BAE és igual a l´angle
GFL, i BA és a AE com GF és a FL. [VI Def.1]. Donat
que BAE i GFL són dos triangles en els quals l´angle
d´un és igual a l´angle de l´altre, l´angle
BAE és igual a l´angle GFL, i els costats que comprenen
angles proporcionals, aleshores el triangle ABE és equiangular
amb el triangle FGL. Aleshores l´angle AEB és igual
a l´angle FLG. [VI 6].
Però l´angle AEB és igual a l´angle AMB,
perque estàn sobre la mateixa circumferència, i l´angle
FLG és ingual l´angle FNG, aleshores l´angle
AMB és també igual a l´angle FNG. [III 27].
Però l´angle recte BAM també és igual
a l´angle recte GFN, alesores l´angle que queda és
igual a l´angle que queda. [III 31]. Aleshores el triangle
ABM és equiangular amb el triangle FGN.[I 32].
Per tant, proporcionalment BM és a GN com BA és a
GF. [VI 4].
Però la raó que el quadrat de BM guarda amb el quadrat
de GN és la raó duplicada de la que BM guarda amb
GN, i la raó que el polígon ABCDE guarda amb el polígon
FGHKL és una raó duplicada de la que BA guarda amb
GF. [VI 20].
Aleshores el quadrat de BM és al quadrat de GN com el polígon
ABCDE és al polígon FGHKL.
Aleshores, els polígons semblants inscrits en els cercles
són un a l´altre com els quadrats dels seus diàmetres.
Q.E.D.
