Siguin els cercles ABCD i EFGH, i siguin BD i FH els seus diàmetres.
Jo dic que el cercle ABCD és al cercle EFGH com el quadrat
de BD és al quadrat de FH.
Perque, si el quadrat de BD no és al quadrat de FH com el
cercle ABCD és al cercle EFGH, aleshores tal com el quadrat
de BD és al quadrat de FH, el cercle ABCD és o a una
àrea menor que el cercle EFGH o a una àrea major.
En primer lloc, sigui aquesta raó a una àrea S.
Inscriure el quadrat EFGH en el cercle EFGH. Aleshores el quadrat
inscrit és major que la meitat del cercle EFGH, perque si
tracem les tangents al cercle que passen pels punts E, F, G i H
, aleshores el quadrat EFGH és la meitat del quadrat circumscrit
al cercle, i el cercle és menor que el quadrat circumscrit,
d´aquí que el quadrat inscrit EFGH sigui major que
la meitat del cercle EFGH. [IV 6] [III 17].
Biseccionem les circumferències EF, FG, GH i HE pels punts
K, L, M i N. Tracem EK, KF, FL, LG, GM, MH, HN i NE.
Per tant cadascun dels triangles EKF, FLG, GMH i HNE és també
major que la meitat del segment del cercle en que es troba perque
si tracem les tangents al cercle que passen pels punts K, L , M
i N i completem els paral·lelograms sobre les rectes EF,
FG, GH i HE, aleshores cadascun dels triangles EKF, FLG, GMH, i
HNE és la meitat del paral·lelogram en que es troba,
mentres el segment en que es troba és menor que el paral·lelogram,
d´aquí que cadascun dels triangles EKF, FLG, GMH, i
HNE sigui major que la meitat del segment del cercle en que es troba.
[III 17].
Aleshores, si biseccionem les circumferències restants i
tracem línies rectes, i procedim així repetidament,
deixarem alguns segments del cercle que seràn menors que
l´excés amb que el cercle EFGH excedeix a l´àrea
S.
Perque s´ha demostrat en el primer teorema del Llibre X que
si de dues magnituts desiguals es treu de la major una magnitud
major que la seva meitat, i de la que queda es treu una magnitud
major que la seva meitat, i així successivament, aleshores
quedarà una magnitud més petita que la magnitud menor
donada. [X1].
Siguin els segments com s´han descrit, i siguin els segments
del cercle EFGH en EK, KF, FL, LG, GM, MH, HN i NE menors que l´excés
amb el que el cercle EFGH excedeix l´àrea S.
Aleshores, el polígon restant EKFLGMHN és major que
l´àrea S.
Ara inscriure en el cercle ABCD el polígon AOBPCQDR semblant
al polígon EKFLGMHN.
Aleshores el quadrat de BD és al quadrat de FH com el polígon
AOBPCQDR és al polígon EKFLGMHN. [XII 1].
Però el quadrat de BD és al quadrat de FH com el cercle
ABCD és a l´àrea S, aleshores el cercle ABCD
és a l´àrea S com el polígon AOBPCQDR
és al polígon EKFLGMHN. [V 11]. Aleshores, per alternança
el cercle ABCD és al polígon inscrit en ell com l´àrea
S és al polígon EKFLGMHN.[V 16].
Però el cercle ABCD és major que el polígon
inscrit en ell, aleshores l´àrea S és també
major que el polígon EKFLGMHN. Però també és
menor, la qual cosa és impossible. Aleshores el quadrat de
BD és al quadrat de FH com el cercle ABCD no és a
una àrea menor que el cercle EFGH. De manera semblant podem
demostrar que el cercle EFGH tampoc és a una àrea
menor que el cercle ABCD com el quadrat de FH és al quadrat
de BD.
Jo dic ara que ni un ni l´altre és el cercle ABCD
a una àrea major que el cercle EFGH com el quadrat de BD
és al quadrat de FH.
Perque si fos possible, ho sigui en una raó a una àrea
major que S. Aleshores, inversament el quadrat de FH és al
quadrat de DB com l´àrea S és al cercle ABCD.
Però l´àrea S és al cercle ABCD com el
cercle EFGH és a una àrea menor que el cercle ABCD,
aleshores el quadrat de FH és al quadrat de BD com el cercle
EFGH és a una àrea menor que el cercle ABCD, la qual
cosa s´ha demostrat com impossible. Aleshores el quadrado
de BD és al quadrat de FH com el cercle ABCD no és
a una àrea major que el cercle EFGH. [Lema]. [V 11].
I ha estat demostrat que ni un ni l´altre és a una
àrea menor que el cercle EFGH, per tant el quadrat de BD
és al quadrat de FH com el cercle ABCD és al cercle
EFGH.
Q.E.D.
LEMA
Jo dic que si l´àrea S és major que el cercle
EFGH l´àrea S és al cercle ABCD com el cercle
EFGH és a una àrea menor que el cercle ABCD.
Per ser concebut que l´àrea S és al cercle ABCD
com el cercle EFGH és a l´àrea T.
Jo dic que l´àrea T és menor que el cercle ABCD.
Donat que l´àrea S és al cercle ABCD com el
cercle EFGH és a l´àrea T, aleshores, per alternança,
l´àrea S és al cercle EFGH como el cercle ABCD
és a l´àrea T. [V 16].
Però l´àrea S és major que el cercle
EFGH, aleshores el cercle ABCD és també major que
l´àrea T.
Per tant l´àrea S és al cercle ABCD com el cercle
EFGH és a una àrea menor que el cercle ABCD.
Aleshores, els cercles són un a l´altre com els quadrats
dels seus diàmetres.
Q.E.D.
