PROPOSICIÓ 2 LLIBRE XII

Proposició 2. Els cercles són l´un a l´altre com els quadrats dels seus diŕmetres.

java applet or image

Siguin els cercles ABCD i EFGH, i siguin BD i FH els seus diàmetres.
Jo dic que el cercle ABCD és al cercle EFGH com el quadrat de BD és al quadrat de FH.
Perque, si el quadrat de BD no és al quadrat de FH com el cercle ABCD és al cercle EFGH, aleshores tal com el quadrat de BD és al quadrat de FH, el cercle ABCD és o a una àrea menor que el cercle EFGH o a una àrea major.
En primer lloc, sigui aquesta raó a una àrea S.
Inscriure el quadrat EFGH en el cercle EFGH. Aleshores el quadrat inscrit és major que la meitat del cercle EFGH, perque si tracem les tangents al cercle que passen pels punts E, F, G i H , aleshores el quadrat EFGH és la meitat del quadrat circumscrit al cercle, i el cercle és menor que el quadrat circumscrit, d´aquí que el quadrat inscrit EFGH sigui major que la meitat del cercle EFGH. [IV 6] [III 17].
Biseccionem les circumferències EF, FG, GH i HE pels punts K, L, M i N. Tracem EK, KF, FL, LG, GM, MH, HN i NE.
Per tant cadascun dels triangles EKF, FLG, GMH i HNE és també major que la meitat del segment del cercle en que es troba perque si tracem les tangents al cercle que passen pels punts K, L , M i N i completem els paral·lelograms sobre les rectes EF, FG, GH i HE, aleshores cadascun dels triangles EKF, FLG, GMH, i HNE és la meitat del paral·lelogram en que es troba, mentres el segment en que es troba és menor que el paral·lelogram, d´aquí que cadascun dels triangles EKF, FLG, GMH, i HNE sigui major que la meitat del segment del cercle en que es troba. [III 17].
Aleshores, si biseccionem les circumferències restants i tracem línies rectes, i procedim així repetidament, deixarem alguns segments del cercle que seràn menors que l´excés amb que el cercle EFGH excedeix a l´àrea S.
Perque s´ha demostrat en el primer teorema del Llibre X que si de dues magnituts desiguals es treu de la major una magnitud major que la seva meitat, i de la que queda es treu una magnitud major que la seva meitat, i així successivament, aleshores quedarà una magnitud més petita que la magnitud menor donada. [X1].
Siguin els segments com s´han descrit, i siguin els segments del cercle EFGH en EK, KF, FL, LG, GM, MH, HN i NE menors que l´excés amb el que el cercle EFGH excedeix l´àrea S.
Aleshores, el polígon restant EKFLGMHN és major que l´àrea S.
Ara inscriure en el cercle ABCD el polígon AOBPCQDR semblant al polígon EKFLGMHN.
Aleshores el quadrat de BD és al quadrat de FH com el polígon AOBPCQDR és al polígon EKFLGMHN. [XII 1].
Però el quadrat de BD és al quadrat de FH com el cercle ABCD és a l´àrea S, aleshores el cercle ABCD és a l´àrea S com el polígon AOBPCQDR és al polígon EKFLGMHN. [V 11]. Aleshores, per alternança el cercle ABCD és al polígon inscrit en ell com l´àrea S és al polígon EKFLGMHN.[V 16].
Però el cercle ABCD és major que el polígon inscrit en ell, aleshores l´àrea S és també major que el polígon EKFLGMHN. Però també és menor, la qual cosa és impossible. Aleshores el quadrat de BD és al quadrat de FH com el cercle ABCD no és a una àrea menor que el cercle EFGH. De manera semblant podem demostrar que el cercle EFGH tampoc és a una àrea menor que el cercle ABCD com el quadrat de FH és al quadrat de BD.

Jo dic ara que ni un ni l´altre és el cercle ABCD a una àrea major que el cercle EFGH com el quadrat de BD és al quadrat de FH.
Perque si fos possible, ho sigui en una raó a una àrea major que S. Aleshores, inversament el quadrat de FH és al quadrat de DB com l´àrea S és al cercle ABCD.
Però l´àrea S és al cercle ABCD com el cercle EFGH és a una àrea menor que el cercle ABCD, aleshores el quadrat de FH és al quadrat de BD com el cercle EFGH és a una àrea menor que el cercle ABCD, la qual cosa s´ha demostrat com impossible. Aleshores el quadrado de BD és al quadrat de FH com el cercle ABCD no és a una àrea major que el cercle EFGH. [Lema]. [V 11].
I ha estat demostrat que ni un ni l´altre és a una àrea menor que el cercle EFGH, per tant el quadrat de BD és al quadrat de FH com el cercle ABCD és al cercle EFGH.
Q.E.D.

LEMA
Jo dic que si l´àrea S és major que el cercle EFGH l´àrea S és al cercle ABCD com el cercle EFGH és a una àrea menor que el cercle ABCD.
Per ser concebut que l´àrea S és al cercle ABCD com el cercle EFGH és a l´àrea T.
Jo dic que l´àrea T és menor que el cercle ABCD.
Donat que l´àrea S és al cercle ABCD com el cercle EFGH és a l´àrea T, aleshores, per alternança, l´àrea S és al cercle EFGH como el cercle ABCD és a l´àrea T. [V 16].
Però l´àrea S és major que el cercle EFGH, aleshores el cercle ABCD és també major que l´àrea T.
Per tant l´àrea S és al cercle ABCD com el cercle EFGH és a una àrea menor que el cercle ABCD.
Aleshores, els cercles són un a l´altre com els quadrats dels seus diàmetres.
Q.E.D.



Copyright Applet © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets d´ús cedits 2002/2003
JDL
Primera Edición Castellano-Catalán ®2006


© Copyright 2006 JDL euclides.org