PROPOSICIÓ 3 LLIBRE XII

Proposiciˇ 3. Tota pirÓmide que tÚ com a base un triangle es divideix en dues pirÓmides iguals, semblants una a l┤altra i a la pirÓmide sencera, que tenen triangles com a base, i és divideix en dos prismes iguals; i els dos prismes sˇn majors que la meitat de la pirÓmide sencera.

java applet or image

Tota piràmide de base triangular és divideix en dues piràmides iguals i semblants una a l´altra semblants a la piràmide sencera, i de base triangular també, i en dos prismes iguals, i els dos prismes són majors que la meitat de la piràmide sencera. Sigui doncs la piràmide de base triangular ABC i vèrtex D.
Jo dic que la piràmide ABCD és divideixi en dues piràmides iguals una a l´altra, con bases triangulares i semblants a la piràmide entera, i se divida en dos prismes iguals, i els dos prismes són majors que la meitat de la piràmide sencera.
Biseccionar AB, BC, CA, AD, DB i DC pels punts E, F, G, H, K i L. Traçar HE, EG, GH, HK, KL, LH, KF i FG.
Donat que AE és igual a EB, i AH és igual a DH, aleshores EH és paral·lel a DB. Per la mateixa raó HK és també paral·lel a AB. Per tant HEBK és un paral·lelogram.[VI 2]. Per tant HK és igual a EB. [I 34].
Però EB és igual a EA, aleshores AE és també igual a HK.
Però AH és també igual a HD, aleshores els dos costats EA i AH són iguals als dos costats KH i HD respectivament, i l´angle EAH és igual al angle KHD, aleshores la base EH és igual a la base KD. [I 4].
Por lo tanto el triangle AEH és igual i semblantal triangle HKD. Por la misma razón el triangle AHG és també igual i semblant al triangle HLD.
Ara, donat que les dos líneas rectas EH i HG se tocan i són paralelas a les dos líneas rectas que se tocan KD i DL i no están en el mismo plano, aleshores comprenden ángulos iguals. Por lo tanto el angle EHG és igual al angle KDL. [XI 10].
I, donat que les dues línies rectes EH i HG són iguals a KD i DL respectivament, i l l´angle EHG és igual a l´angle KDL, aleshores la base EG és igual a la base KL. Per tant el triangle EHG és igual i semblant al triangle KDL. Per la mateixa raó el triangle AEG és també igual i semblant al triangle HKL. [I 4].
Per tant la piràmide amb base triangular AEG i vèrtex H és igual i semblant a la piràmide amb base triangular HKL i vèrtex D. [XI Def. 10].
I, donat que HK és paral·lel a AB, un dels costats del triangle ADB, el triangle ADB és equiangular amb el triangle DHK, i tenen els seus costats proporcionals, per tant el triangle ADB és semblant al triangle DHK.[I 29]. Per la mateixa raó el triangle DBC és també semblant al triangle DKL, i el triangle ADC és semblant al triangle DLH. [VI Def. 1].
Ara, donat que les dues línies rectes BA i AC es toquen una a l´altra i són paral·leles a les dues línies rectes KH i HL que es toquen una a l´altra i no estàn en el mateix pla, per tant comprenen angles iguals. Per tant l´angle BAC és igual a l´angle KHL. [XI 10].
I Ba és a AC com KH és a HL, per tant el triangle ABC és semblant al triangle HKL.
Per tant la piràmide amb base triangular ABC i vèrtex D és semblant a la piràmide amb base triangular HKL i vèrtex D.
Però la piràmide amb base triangular HKL i vèrtex D s´ha demostrat que és semblant a la piràmide amb base triangular AEG i vèrtex H. Per tant cadascuna de les piràmides AEGH i HKLD és semblant a la piràmide sencera ABCD.
Aleshores, donat que BF és igual a FC, aleshores el paral·lelogram EBFG és doble del triangle GFC. I donat que, si hi ha dos prismes d´igual altura, i un d´ells té un paral·lelogram com a base i l´altre de base un triangle, i si el paral·lelogram és doble del triangle, aleshores els prismes són iguals. Per tant el prisma està contingut pels dos triangles BKF i EHG, i els tres paral·lelograms EBFG, EBKH i HKFG són iguals al prisma contingut pels dos triangles GFC i HKL i els tres paral·lelograms KFCL, LCGH i HKFG. [XI 39].
I està clar que cadascun dels prismes; a saber, el que té de base el paral·lelogram EBFG i la recta oposada HK, i el que té de base el triangle GFC i el triangle oposat HKL, és major que cadascuna de les piràmides amb bases triangulars AEG i HKL i vèrtexs H i D, perque, si tracem les línies rectes EF i EK, el prisma de base el paral·lelogram EBFG i la recta oposada HK és major que la piràmide amb base triangular EBF i vèrtex K.
Però la piràmide amb base triangular EBF i vèrtex A és igual a la piràmide amb base triangular AEG i vèrtex H, perque estàn compreses per plans iguals i semblants.
D´aquí que el prisma de base el paral·lelogram EBFG i recta oposada HK és major que la piràmide amb la base triangular AEG i vèrtex H.
Però el prisma amb base el paral·lelogram EBFG i recta oposada HK és igual al prisma amb base triangular GFC i triangle oposat HKL, i la piràmide amb base triangular AEG i vèrtex H és igual a la piràmide amb base triangular HKL i vèrtex D.
Per tant els dos prismes citats són majors que les dues piràmides citades de bases triangulars AEG i HKL i vèrtexs H i D. Per tant la piràmide sentera amb base triangular ABC i vèrtex D ha estat dividida en dues piràmides iguals una a l´altra i en dos prismes, i els dos prismes són majors que la mitad de la piràmide sencera.
Q.E.D.


Copyright Applet ę 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

ę Drets d´ús cedits 2002/2003
JDL
Primera Edición Castellano-Catalán ®2006


© Copyright 2006 JDL euclides.org