Tota piràmide de base triangular és divideix en dues piràmides
iguals i semblants una a l´altra semblants a la piràmide
sencera, i de base triangular també, i en dos prismes iguals,
i els dos prismes són majors que la meitat de la piràmide
sencera. Sigui doncs la piràmide de base triangular ABC i
vèrtex D.
Jo dic que la piràmide ABCD és divideixi en dues piràmides
iguals una a l´altra, con bases triangulares i semblants a
la piràmide entera, i se divida en dos prismes iguals, i
els dos prismes són majors que la meitat de la piràmide
sencera.
Biseccionar AB, BC, CA, AD, DB i DC pels punts E, F, G, H, K i L.
Traçar HE, EG, GH, HK, KL, LH, KF i FG.
Donat que AE és igual a EB, i AH és igual a DH, aleshores
EH és paral·lel a DB. Per la mateixa raó HK
és també paral·lel a AB. Per tant HEBK és
un paral·lelogram.[VI 2]. Per tant HK és igual a EB.
[I 34].
Però EB és igual a EA, aleshores AE és també
igual a HK.
Però AH és també igual a HD, aleshores els
dos costats EA i AH són iguals als dos costats KH i HD respectivament,
i l´angle EAH és igual al angle KHD, aleshores
la base EH és igual a la base KD. [I 4].
Por lo tanto el triangle AEH és igual i semblantal triangle
HKD. Por la misma razón el triangle AHG és també
igual i semblant al triangle HLD.
Ara, donat que les dos líneas rectas EH i HG se tocan i són
paralelas a les dos líneas rectas que se tocan KD i DL i
no están en el mismo plano, aleshores comprenden ángulos
iguals. Por lo tanto el angle EHG és igual al angle KDL.
[XI 10].
I, donat que les dues línies rectes EH i HG són iguals
a KD i DL respectivament, i l l´angle EHG és igual
a l´angle KDL, aleshores la base EG és igual a la base
KL. Per tant el triangle EHG és igual i semblant al triangle
KDL. Per la mateixa raó el triangle AEG és també
igual i semblant al triangle HKL. [I 4].
Per tant la piràmide amb base triangular AEG i vèrtex
H és igual i semblant a la piràmide amb base triangular
HKL i vèrtex D. [XI Def. 10].
I, donat que HK és paral·lel a AB, un dels costats
del triangle ADB, el triangle ADB és equiangular amb el triangle
DHK, i tenen els seus costats proporcionals, per tant el triangle
ADB és semblant al triangle DHK.[I 29]. Per la mateixa raó
el triangle DBC és també semblant al triangle DKL,
i el triangle ADC és semblant al triangle DLH. [VI Def. 1].
Ara, donat que les dues línies rectes BA i AC es toquen una
a l´altra i són paral·leles a les dues línies
rectes KH i HL que es toquen una a l´altra i no estàn
en el mateix pla, per tant comprenen angles iguals. Per tant l´angle
BAC és igual a l´angle KHL. [XI 10].
I Ba és a AC com KH és a HL, per tant el triangle
ABC és semblant al triangle HKL.
Per tant la piràmide amb base triangular ABC i vèrtex
D és semblant a la piràmide amb base triangular HKL
i vèrtex D.
Però la piràmide amb base triangular HKL i vèrtex
D s´ha demostrat que és semblant a la piràmide
amb base triangular AEG i vèrtex H. Per tant cadascuna de
les piràmides AEGH i HKLD és semblant a la piràmide
sencera ABCD.
Aleshores, donat que BF és igual a FC, aleshores el paral·lelogram
EBFG és doble del triangle GFC. I donat que, si hi ha dos
prismes d´igual altura, i un d´ells té un paral·lelogram
com a base i l´altre de base un triangle, i si el paral·lelogram
és doble del triangle, aleshores els prismes són iguals.
Per tant el prisma està contingut pels dos triangles BKF
i EHG, i els tres paral·lelograms EBFG, EBKH i HKFG són
iguals al prisma contingut pels dos triangles GFC i HKL i els tres
paral·lelograms KFCL, LCGH i HKFG. [XI 39].
I està clar que cadascun dels prismes; a saber, el que té
de base el paral·lelogram EBFG i la recta oposada HK, i el
que té de base el triangle GFC i el triangle oposat HKL,
és major que cadascuna de les piràmides amb bases
triangulars AEG i HKL i vèrtexs H i D, perque, si tracem
les línies rectes EF i EK, el prisma de base el paral·lelogram
EBFG i la recta oposada HK és major que la piràmide
amb base triangular EBF i vèrtex K.
Però la piràmide amb base triangular EBF i vèrtex
A és igual a la piràmide amb base triangular AEG i
vèrtex H, perque estàn compreses per plans iguals
i semblants.
D´aquí que el prisma de base el paral·lelogram
EBFG i recta oposada HK és major que la piràmide amb
la base triangular AEG i vèrtex H.
Però el prisma amb base el paral·lelogram EBFG i recta
oposada HK és igual al prisma amb base triangular GFC i triangle
oposat HKL, i la piràmide amb base triangular AEG i vèrtex
H és igual a la piràmide amb base triangular HKL i
vèrtex D.
Per tant els dos prismes citats són majors que les dues piràmides
citades de bases triangulars AEG i HKL i vèrtexs H i D. Per
tant la piràmide sentera amb base triangular ABC i vèrtex
D ha estat dividida en dues piràmides iguals una a l´altra
i en dos prismes, i els dos prismes són majors que la mitad
de la piràmide sencera.
Q.E.D.
