Proposició 4. Si hi ha dues piràmides de la mateixa altura que tenen triangles com a base, i cadascuna d´elles és divideix en dues piràmides iguals entre sí i semblants a la piràmide sencera i en dos prismes iguals; aleshores tal i com la base d´una piràmide és a la base de l´altra, així seran tots els prismes d´una piràmide a tots els prismes iguals en nombre de l´altra piràmide.

Siguin dues piràmides d´igual altura amb bases triangulars ABC i DEF, els punts G i H els vèrtexs, i sigui cadascuna d´elles dividida en dues piràmides iguals una a l´altra i semblants a la piràmide sencera i en dos prismes iguals. [XII 3].
Jo dic que la base ABC és a la base DEF com tots els prismes en la piràmide ABCG són a tots els prismes, iguals en número, a la pirámide DEFH.
Donat que BO és igual a OC, i AL és igual a LC, aleshores LO és paral·lela a AB, i el triangle ABC és semblant al triangle LOC. Per la mateixa raó el triangle DEF és també semblant al triangle RVF.
I, com que BC és doble de CO, i EF és doble de FV, aleshores BC és a CO com EF és a FV.
I sobre BC i CO s´han construït les figures rectilínies semblants ABC i LOC situades de manera semblant, i sobre EF i FV les figures DEF i RVF situades de manera semblant també, per tant el triangle ABC és al triangle LOC como el triangle DEF és al triangle RVF. [VI 22].
Per tant, per alternança el triangle ABC és al triangle DEF com el triangle LOC és al triangle RVF. Però el triangle LOC és al triangle RVF com al prisma de base el triangle LOC i l´oposat PMN és al prisma amb la base RVF i l´oposat STU. [V 16].[Lema XII 4].
Per tant el triangle ABC és al triangle DEF com el prisma de base LOC i l´oposat PMN és al prisma amb la base RVF i l´oposat STU.
Però els anomenats prismes són un a l´altre com el prisma de base el paral·lelogram KBOL i la recta oposada PM és al prisma amb la base el paral·lelogram QEVR i la recta oposada ST. [XI 39].
Per tant els dos prismes, el que té de base el paral·lelogram KBOL i l´oposat PM, i el que té de base el triangle LOC i l´oposat PMN guarden la mateixa raó que els prismes de base QEVR i la línia recta oposada ST i el de base el triangle RVF i l´oposat STU. [V 12].
Aleshores la base ABC és a la base DEF com els dos prismes anomenats ho són als dos prismes annomenats.
I de manera semblant, si la piràmide PMNG i STUH són dividides en dos prismes i en dues piràmides, aleshores la base PMN és a la base STU com els dos prismes de la piràmide PMNG ho són als dos prismes de la piràmide STUH.
Però la base PMN és a la base STU com la base ABC és a la base DEF, perque els triangles PMN i STU són iguals als triangles LOC i RVF respectivament.
Aleshores la base ABC és a la base DEF com els quatre prismes són als quatre prismes. I de manera semblant, si dividim les piràmides restants en dues piràmides i en dos prismes, aleshores la base ABC és a la base DEF com tots els prismes de la piràmide ABCG són a tots els prismes, iguals en número, de la piràmide DEFH.

LEMA
Però ja que el triangle LOC és al triangle RVF com el prisma de base el triangle LOC i oposat PMN és al prisma amb base el triangle RVF i l´oposat STU, ho demostrarem seguidament.
En la mateixa figura dibuixem perpendiculars desde G i H als plans ABC i DEF. Aquestes són, evidentement, iguals donat que les piràmides són d´igual altura segons la hipòtesi. [XI 11].
Ara, donat que les dues rectes GC i la perpendicular desde G han estat tallades per plans paral·lels ABC i PMN, aleshores han estat tallades en les mateixes raons. [XI 17].
I GC es bisecciona pel pla PMN en N, aleshores la perpendicular desde G al pla ABC s´ha biseccionado també pel pla PMN. Per la mateixa raó la perpendicular desde H al pla DEF és també biseccionat pel pla STU.
I la perpendicular desde G i H als plans ABC i DEF són iguals, aleshores la perpendicular des dels triangles PMN i STU als plans ABC i DEF són iguals també.
Per tant els prismes amb les bases els triangles LOC i RVF, i els oposats PMN i STU, tenen la mateixa altura.
De manera que els paral·lelepípedes sòlids descrits en els prismes anteriors són d´igual altura i són un a l´altre com les seves bases. Aleshores les meitats, dels citats prismes, són un a l´altre com la base LOC és a la base RVF. [XI.32] [XI.28].

Q.E.D.