Siguin les piràmides d´igual altura i base triangular
ABC i DEF i vèrtexs G i H.
Jo dic que la base ABC és a la base DEF com la piràmide
ABCG és a la piràmide DEFH.
Perque, si la piràmide ABCG no és a la piràmide
DEFG com la base ABC és a la base DEF, aleshores la base
ABC és a la base DEF com la piràmide ABCG és
a un sòlid menor que la piràmide DEFH o a un de major.
Sigui doncs, primer, a una raó menor que el sòlid
W.
Dividir la piràmide DEFH en dues piràmides iguals
una a l´altra i semblants a la piràmide sencera i a
dos prismes iguals.
Aleshores els dos prismes són majors que la meitat de la
piràmide sencera. [XII 3].
De nou, dividim les piràmides que resulten de la divisió,
i això ho fem repetidament fins que quedi a sobre de la piràmide
DEFH alguna piràmide que sigui menor que l´excés
amb el que la piràmide DEFH excedeix al sòlid W. [X
1].
Deixem estar aquestes piràmides, perque el motiu de l´argument
és DQRS i STUH. Per tant, els restants, els prismes en la
piràmide DEFH, són majors que el sòlido W.
Dividim la piràmide ABCG de manera semblant, i el mateix
número de vegades, la piràmide DEFH. Aleshores la
base ABC és a la base DEF com els prismes en la piràmide
ABCG són als prismes en la piràmide DEFH. [XII 4].
Però la base ABC és a la base DEF com la piràmide
ABCG és al sòlid W, aleshores la piràmide ABCG
és al sòlid W com els prismes en la piràmide
ABCG són als prismes en la piràmide DEFH. Aleshores,
per alternança la piràmide ABCG és als seus
prismes com el sòlid W és als prismes en la piràmide
DEFH. [V 11] [V 16].
Però la piràmide ABCG és major que els seus
prismes, aleshores el sòlid W és també major
que els prismes en la piràmide DEFH.
Però també és menor, la qual cosa és
impossible.
Per tant el prisme ABCG no és a cap sòlid menor que
la piràmide DEFH com la base ABC és a la base DEF.
De manera similar es pot demostrar que la piràmide DEFH no
és a cap sòlid menor que la piràmide ABCG com
la base DEF és a la base ABC.
Jo dic seguidament que tampoc la piràmide ABCG és
a cap sòlid major que la piràmide DEFH com la base
ABC és a la base DEF.
Perque, si fos possible, ho seria en una raó major que el
sòlid W.
Per tant, inversament la base DEF és a la base ABC com el
sòlid W és a la piràmide ABCG.
Però s´ha demostrat anteriorment que el sòlid
W és al sòlid ABCG com la piràmide DEFH és
a un sòlid menor que la piràmide ABCG.[XII 2 Lema].
Per tant la base DEF és a la base ABC com la piràmide
DEFH és a un sòlid menor que la piràmide ABCG,
la qual cosa s´ha demostrat absurd. [V 11].
Per tant la piràmide ABCG no és a un sòlid
major que la piràmide DEFH com la base ABC és a la
base DEF.
