PROPOSICIÓN 5 LIBRO XII

Proposició 5. Les pirŕmides que tenen la mateixa altura i tenen triangles com a base són una a l´altre com les seves bases.

java applet or image

Siguin les piràmides d´igual altura i base triangular ABC i DEF i vèrtexs G i H.
Jo dic que la base ABC és a la base DEF com la piràmide ABCG és a la piràmide DEFH.
Perque, si la piràmide ABCG no és a la piràmide DEFG com la base ABC és a la base DEF, aleshores la base ABC és a la base DEF com la piràmide ABCG és a un sòlid menor que la piràmide DEFH o a un de major.
Sigui doncs, primer, a una raó menor que el sòlid W.
Dividir la piràmide DEFH en dues piràmides iguals una a l´altra i semblants a la piràmide sencera i a dos prismes iguals.
Aleshores els dos prismes són majors que la meitat de la piràmide sencera. [XII 3].
De nou, dividim les piràmides que resulten de la divisió, i això ho fem repetidament fins que quedi a sobre de la piràmide DEFH alguna piràmide que sigui menor que l´excés amb el que la piràmide DEFH excedeix al sòlid W. [X 1].
Deixem estar aquestes piràmides, perque el motiu de l´argument és DQRS i STUH. Per tant, els restants, els prismes en la piràmide DEFH, són majors que el sòlido W.

Dividim la piràmide ABCG de manera semblant, i el mateix número de vegades, la piràmide DEFH. Aleshores la base ABC és a la base DEF com els prismes en la piràmide ABCG són als prismes en la piràmide DEFH. [XII 4].
Però la base ABC és a la base DEF com la piràmide ABCG és al sòlid W, aleshores la piràmide ABCG és al sòlid W com els prismes en la piràmide ABCG són als prismes en la piràmide DEFH. Aleshores, per alternança la piràmide ABCG és als seus prismes com el sòlid W és als prismes en la piràmide DEFH. [V 11] [V 16].
Però la piràmide ABCG és major que els seus prismes, aleshores el sòlid W és també major que els prismes en la piràmide DEFH.
Però també és menor, la qual cosa és impossible.
Per tant el prisme ABCG no és a cap sòlid menor que la piràmide DEFH com la base ABC és a la base DEF.
De manera similar es pot demostrar que la piràmide DEFH no és a cap sòlid menor que la piràmide ABCG com la base DEF és a la base ABC.
Jo dic seguidament que tampoc la piràmide ABCG és a cap sòlid major que la piràmide DEFH com la base ABC és a la base DEF.
Perque, si fos possible, ho seria en una raó major que el sòlid W.
Per tant, inversament la base DEF és a la base ABC com el sòlid W és a la piràmide ABCG.
Però s´ha demostrat anteriorment que el sòlid W és al sòlid ABCG com la piràmide DEFH és a un sòlid menor que la piràmide ABCG.[XII 2 Lema]. Per tant la base DEF és a la base ABC com la piràmide DEFH és a un sòlid menor que la piràmide ABCG, la qual cosa s´ha demostrat absurd. [V 11].
Per tant la piràmide ABCG no és a un sòlid major que la piràmide DEFH com la base ABC és a la base DEF.


Copyright Applet © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets d´ús cedits 2002/2003
JDL
Primera Edición Castellano-Catalán ®2006


© Copyright 2006 JDL euclides.org