PROPOSICIÓ 6 LLIBRE XII

Proposició 6. Les pirŕmides que tenen la mateixa altura i tenen polígons com a base són una a l´altra com les seves bases.

java applet or image

Siguin les piràmides d´igual altura i base poligonal ABCDE i FGHKL i vèrtexs M i N.
Jo dic que la base ABCDE és a la base FGHKL com la piràmide ABCDEM és a la piràmide FGHKLN.
Traçar AC, AD, FH i FK.
Donat que ABCM i ACDM són dues piràmides amb la base triangular i la mateixa altura, aleshores són una a l´altra com les seves bases. Per tant la base ABC és a la base ACD com la piràmide ABCM és a la piràmide ACDM. [XII.5]. I, per composició, la base ABCD és a la base ACD com la piràmide ABCDM és a la piràmide ACDM. [V 18].
Però la base ACD és a la base ADE com la piràmide ACDM és a la piràmide ADEM. [XII 5].
Per tant, ex aequali, la base ABCD és a la base ADE com la piràmide ABCDM és a la piràmide ADEM. [V 22].
I de nou, per composició, la base ABCDE és a la base ADE com la piràmide ABCDEM és a la piràmide ADEM. De manera similar també es pot demostrar que la base FGHKL és a la base FGH com la piràmide FGHKLN és a la piràmide FGHN. [V 18].
I, donat que ADEM i FGHN són dues piràmides de base triangular i la mateixa altura, aleshores la base ADE és a la base FGH com la piràmide ADEM és a la piràmide FGHN. [XII 5].
Però la base ADE és a la base ABCDE com la piràmide ADEM és a la piràmide ABCDEM. Per tant, ex aequali, la base ABCDE és a la base FGH com la piràmide ABCDEM és a la piràmide FGHN. [V 22].
Però a més la base FGH és a la base FGHKL com la piràmide FGHN és a la piràmide FGHKLN. Per tant, també ex aequali, la base ABCDE és a la base FGHKL com la piràmide ABCDEM és a la piràmide FGHKLN. [V 22].
Per tant, les piràmides de la mateixa altura i bases poligonals són una a l´altra com les seves bases.
Q.E.D.

 

Copyright Applet © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets d´ús cedits 2002/2003
JDL
Primera Edición Castellano-Catalán ®2006


© Copyright 2006 JDL euclides.org