Siguin les piràmides d´igual altura i base poligonal
ABCDE i FGHKL i vèrtexs M i N.
Jo dic que la base ABCDE és a la base FGHKL com la piràmide
ABCDEM és a la piràmide FGHKLN.
Traçar AC, AD, FH i FK.
Donat que ABCM i ACDM són dues piràmides amb la base
triangular i la mateixa altura, aleshores són una a l´altra
com les seves bases. Per tant la base ABC és a la base ACD
com la piràmide ABCM és a la piràmide ACDM.
[XII.5]. I, per composició, la base ABCD és a la base
ACD com la piràmide ABCDM és a la piràmide
ACDM. [V 18].
Però la base ACD és a la base ADE com la piràmide
ACDM és a la piràmide ADEM. [XII 5].
Per tant, ex aequali, la base ABCD és a la base ADE
com la piràmide ABCDM és a la piràmide ADEM.
[V 22].
I de nou, per composició, la base ABCDE és a la base
ADE com la piràmide ABCDEM és a la piràmide
ADEM. De manera similar també es pot demostrar que la base
FGHKL és a la base FGH com la piràmide FGHKLN és
a la piràmide FGHN. [V 18].
I, donat que ADEM i FGHN són dues piràmides de base
triangular i la mateixa altura, aleshores la base ADE és
a la base FGH com la piràmide ADEM és a la piràmide
FGHN. [XII 5].
Però la base ADE és a la base ABCDE com la piràmide
ADEM és a la piràmide ABCDEM. Per tant, ex aequali,
la base ABCDE és a la base FGH com la piràmide ABCDEM
és a la piràmide FGHN. [V 22].
Però a més la base FGH és a la base FGHKL com
la piràmide FGHN és a la piràmide FGHKLN. Per
tant, també ex aequali, la base ABCDE és a
la base FGHKL com la piràmide ABCDEM és a la piràmide
FGHKLN. [V 22].
Per tant, les piràmides de la mateixa altura i bases poligonals
són una a l´altra com les seves bases.
Q.E.D.
