Siguin el prisma de base triangular ABD i l´oposat DEF.
Jo dic que el prisma ABCDEF es divideix en tres piràmides
iguals una a l´altre que tenen bases triangulars.
Traçar BD, EC i CD.
Donat que ABED és un paral·lelogram, i BD és
el diàmetre, aleshores el triangle ABD és igual al
triangle EBD. [I 34]. Per tant la piràmide amb base triangular
ABD i vèrtex C és igual a la piràmide amb base
triangular DEB i vèrtex C. [XII 5].
Però la piràmide amb base triangular DEB i vèrtex
C és idèntica a la piràmide amb base triangular
EBD amb vèrtex D, perque estan contingudes pels mateixos
plans.
Aleshores la piràmide amb base triangular ABD i vèrtex
C és també igual a la piràmide amb base triangular
EBC i vèrtex D.
De nou, donat que FCBE és un paral·lelogram, i CE
és el diàmetre, aleshores el tringle CEF és
igual al triangle CBE. [I 34].
Per tant la piràmide amb base triangular BCE i vèrtex
D és igual a la piràmide amb base triangular ECF i
vèrtex D. [XII 5].
Però la piràmide amb base triangular BCE i vèrtex
D s´ha demostrat que és igual a la piràmide
amb base triangular ABD i vèrtex C, aleshores la piràmide
amb base triangular CEF i vèrtex D és igual a la piràmide
amb base triangular ABD i vèrtex C. Aleshores el prisma ABCDEF
s´ha dividit en tres piràmides iguals una a l´altra
que tenen bases triangulars.
I, donat que la piràmide amb base triangular ABD i vèrtex
C és idèntica a la piràmide amb base triangular
CAB i vèrtex D, perque estan contingudes pels mateixos plans,
mentre la piràmide amb base triangular ABD i vèrtex
C s´ha demostrat que és un terç del prisma amb
base triangular ABC i l´oposat DEF, aleshores la piràmide
de base triangular ABC i vèrtex D és un terç
del prisma de la mateixa base ABC, i l´oposat DEF.
Per tant, qualsevol prisma de base triangular es divideix en tres
piràmides iguals una a l´altra amb bases triangulars.
COROLARI
Des d´aquest punt està clar que qualsevol piràmide
és una tercera part del prisma amb la misma base i la misma
altura.
Q.E.D.
