PROPOSICIÓ 7 LLIBRE XII

Proposició 7. Qualsevol prisma que tingui com a base un triangle es divideix en tres prismes iguals una a l´altre que tenen triangles com a base.

java applet or image

Siguin el prisma de base triangular ABD i l´oposat DEF.
Jo dic que el prisma ABCDEF es divideix en tres piràmides iguals una a l´altre que tenen bases triangulars.
Traçar BD, EC i CD.
Donat que ABED és un paral·lelogram, i BD és el diàmetre, aleshores el triangle ABD és igual al triangle EBD. [I 34]. Per tant la piràmide amb base triangular ABD i vèrtex C és igual a la piràmide amb base triangular DEB i vèrtex C. [XII 5].
Però la piràmide amb base triangular DEB i vèrtex C és idèntica a la piràmide amb base triangular EBD amb vèrtex D, perque estan contingudes pels mateixos plans.
Aleshores la piràmide amb base triangular ABD i vèrtex C és també igual a la piràmide amb base triangular EBC i vèrtex D.
De nou, donat que FCBE és un paral·lelogram, i CE és el diàmetre, aleshores el tringle CEF és igual al triangle CBE. [I 34].
Per tant la piràmide amb base triangular BCE i vèrtex D és igual a la piràmide amb base triangular ECF i vèrtex D. [XII 5].
Però la piràmide amb base triangular BCE i vèrtex D s´ha demostrat que és igual a la piràmide amb base triangular ABD i vèrtex C, aleshores la piràmide amb base triangular CEF i vèrtex D és igual a la piràmide amb base triangular ABD i vèrtex C. Aleshores el prisma ABCDEF s´ha dividit en tres piràmides iguals una a l´altra que tenen bases triangulars.
I, donat que la piràmide amb base triangular ABD i vèrtex C és idèntica a la piràmide amb base triangular CAB i vèrtex D, perque estan contingudes pels mateixos plans, mentre la piràmide amb base triangular ABD i vèrtex C s´ha demostrat que és un terç del prisma amb base triangular ABC i l´oposat DEF, aleshores la piràmide de base triangular ABC i vèrtex D és un terç del prisma de la mateixa base ABC, i l´oposat DEF.
Per tant, qualsevol prisma de base triangular es divideix en tres piràmides iguals una a l´altra amb bases triangulars.

COROLARI
Des d´aquest punt està clar que qualsevol piràmide és una tercera part del prisma amb la misma base i la misma altura.
Q.E.D.

 

Copyright Applet © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets d´ús cedits 2002/2003
JDL
Primera Edición Castellano-Catalán ®2006


© Copyright 2006 JDL euclides.org