Siguin les piràmides semblants i situades d´igual
manera amb bases triangulars ABC i DEF i vèrtexs G i H.
Jo dic que la piràmide ABCG guarda amb la piràmide
DEFH una raó triplicada de la que BC guarda amb EF.
Completem els paral·lelepípedes sòlids BGML
i EHQP.
Ara, donat que la piràmide ABCG és semblant a la piràmide
DEFH, aleshores l´angle ABC és igual a l´angle
DEF, l´angle GBC és igual a l´angle HEF, l´angle
ABG és igual a l´angle DEH, i AB és a DE com
BC és a EF, i com BG és a EH.
I donat que AB és a DE com BC és a EF, i els costats
que comprenen angles iguals són proporcionals, aleshores
el paral·lelogram BM és semblant al paral·lelogram
EQ. Per la mateixa raó BN és també semblant
a ER, i BR semblant a EO.
Per tant els tres paral·lelograms MB, BK i BN són
semblants als tres paral·lelograms EQ, EO i ER. Però
els tres paral·lelograms MB, BK i BN són iguals i
semblants als seus tres oposats, i els tres paral·lelograms
EQ, EO i ER són iguals i semblants als seus tres oposats.
[XI 24].
Aleshores els sòlids BGML i EHQP estan compresos per plans
semblants i iguals en número. Per tant el sòlid BGML
és semblant al sòlid EHQP.
Però els sòlids paral·lelepípedes guarden
una raó triplicada amb els seus costats corresponents. Per
tant el sòlid BGML guarda amb el sòlid EHQP la raó
triplicada de la que el costat corresponent BC guarda amb el costat
corresponent EF. [XI 33].
Però el sòlid BGML és a la piràmide
EHQP com la piràmide ABCG és a la piràmide
DEFH, perque la piràmide és una sisena part del sòlid
ja que el prisma que és la meitat del sòlid paral·lelepípede
és també el triple de la piràmide. [XI.28].
Aleshores la piràmide ABCG guarda amb la piràmide
DEFH la raó triple del que BC guarda amb EF. [XII.7].
Q.E.D.
COROLARI
A partir d´això queda clar que las piràmides
semblants amb bases poligonals guarden unes amb les altres la raó
triplicada de la dels seus costats corresponents.
Perque, si es divideixen en les piràmides contingudes en
elles que tenen bases triangulars, en virtut del fet que els polígons
semblants que formen les seves bases són també dividits
en triangles semblants iguales en quantitat i homòlegs als
polígons sencers, aleshores tal com una de les piràmides
amb la base triangular de la primera piràmide completa és
a una de les piràmides amb base triangular en l´altra
piràmide completa així, totes les piràmides
de base triangular de la primera piràmide seran a les piràmides
amb base triangular de la segona piràmide, això és,
la propia piràmide amb la base poligonal és a la piràmide
amb la base poligonal. [VI 20] [V 12].
Però la piràmide de base triangular guarda amb la
piràmide de base triangular una raó triplicada de
la dels seus costats corresponents, per tant també la piràmide
de base poligonal guarda amb la piràmide que té una
base semblant una raó triplicada de la que el costat guarda
amb el costat.
