PROPOSICIÓ 8 LLIBRE XII

Proposiciˇ 8. Les pirÓmides semblants que tenen com a base triangles guarden una raˇ triplicada de la raˇ dels seus costats corresponents.

java applet or image

Siguin les piràmides semblants i situades d´igual manera amb bases triangulars ABC i DEF i vèrtexs G i H.
Jo dic que la piràmide ABCG guarda amb la piràmide DEFH una raó triplicada de la que BC guarda amb EF.
Completem els paral·lelepípedes sòlids BGML i EHQP.
Ara, donat que la piràmide ABCG és semblant a la piràmide DEFH, aleshores l´angle ABC és igual a l´angle DEF, l´angle GBC és igual a l´angle HEF, l´angle ABG és igual a l´angle DEH, i AB és a DE com BC és a EF, i com BG és a EH.
I donat que AB és a DE com BC és a EF, i els costats que comprenen angles iguals són proporcionals, aleshores el paral·lelogram BM és semblant al paral·lelogram EQ. Per la mateixa raó BN és també semblant a ER, i BR semblant a EO.
Per tant els tres paral·lelograms MB, BK i BN són semblants als tres paral·lelograms EQ, EO i ER. Però els tres paral·lelograms MB, BK i BN són iguals i semblants als seus tres oposats, i els tres paral·lelograms EQ, EO i ER són iguals i semblants als seus tres oposats. [XI 24].
Aleshores els sòlids BGML i EHQP estan compresos per plans semblants i iguals en número. Per tant el sòlid BGML és semblant al sòlid EHQP.
Però els sòlids paral·lelepípedes guarden una raó triplicada amb els seus costats corresponents. Per tant el sòlid BGML guarda amb el sòlid EHQP la raó triplicada de la que el costat corresponent BC guarda amb el costat corresponent EF. [XI 33].
Però el sòlid BGML és a la piràmide EHQP com la piràmide ABCG és a la piràmide DEFH, perque la piràmide és una sisena part del sòlid ja que el prisma que és la meitat del sòlid paral·lelepípede és també el triple de la piràmide. [XI.28]. Aleshores la piràmide ABCG guarda amb la piràmide DEFH la raó triple del que BC guarda amb EF. [XII.7].
Q.E.D.

COROLARI
A partir d´això queda clar que las piràmides semblants amb bases poligonals guarden unes amb les altres la raó triplicada de la dels seus costats corresponents.
Perque, si es divideixen en les piràmides contingudes en elles que tenen bases triangulars, en virtut del fet que els polígons semblants que formen les seves bases són també dividits en triangles semblants iguales en quantitat i homòlegs als polígons sencers, aleshores tal com una de les piràmides amb la base triangular de la primera piràmide completa és a una de les piràmides amb base triangular en l´altra piràmide completa així, totes les piràmides de base triangular de la primera piràmide seran a les piràmides amb base triangular de la segona piràmide, això és, la propia piràmide amb la base poligonal és a la piràmide amb la base poligonal. [VI 20] [V 12].
Però la piràmide de base triangular guarda amb la piràmide de base triangular una raó triplicada de la dels seus costats corresponents, per tant també la piràmide de base poligonal guarda amb la piràmide que té una base semblant una raó triplicada de la que el costat guarda amb el costat.

 

Copyright Applet ę 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

ę Drets d´ús cedits 2002/2003
JDL
Primera Edición Castellano-Catalán ®2006


© Copyright 2006 JDL euclides.org