PROPOSICIÓ 9 LLIBRE XII

Proposiciˇ 9. Les bases de les pirÓmides iguals que tenen com a base triangles estan inversament relacionades amb les seves altures; i les pirÓmides que tenen com a base triangles, les bases dels quals estan inversament relacionades amb les seves altures, sˇn iguals.

java applet or image

Siguin les piràmides ABC i DEF amb bases triangulars i vèrtexs G i H.
Jo dic que en les piràmides ABCG i DEFH les bases són inversament proporcionals a les altures, que és la base ABC és a la base DEF com l´altura de la piràmide DEFH és a l´altura de la piràmide ABCG.
Completem els sòlids paral·lelepípedes BGML i EHQP.
Ara, donat que la piràmide ABCG és igual a la piràmide DEFH, i el sòlid BGML és sis vegades la piràmide ABCG, i el sòlid EHQP és sis vegades la piràmide DEFH, aleshores el sòlid BGML és igual al sòlid EHQP. [XII 7. Cor].
Però en els sòlids paral·lelepípedes les bases són inversament proporcionals a les altures, aleshores la base BM és a la base EQ com l´altura del sòlid EHQP és a l´altura del sòlid BGML. [XI 34].
Però la base BM és a EQ com el triangle ABC és al triangle DEF.[I 34]. Per tant el triangle ABC és al triangle DEF com l´altura del sòlid EHQP és a l´altura del sòlid BGML.[V 11].
Però l´altura del sòlid EHQP és idèntica a l´altura de la piràmide DEFH, i l´altura del sòlid BGML és idèntica a l´altura de la piràmide ABCG, aleshores la base ABC és a la base DEF com l´altura de la piràmide DEFH és a l´altura de la piràmide ABCG.
Per tant en les piràmides ABCG i DEFH les bases són inversament proporcionals a les altures.
Seguidament, en la piràmide ABCG i DEFH siguin les bases inversament proporcionals a les altures, és a dir, donat que la base ABC és a la base DEF, aleshores l´altura de la piràmide DEFH és a l´altura de la piràmide ABCG.
Jo dic que la piràmide ABCG és igual a la piràmide DEFH.
Amb la mateixa construcció, donat que la base ABC és a la base DEF com l´altura de la piràmide DEFH és a l´altura de la piràmide ABCG, i també la base ABC és a la base DEF com el paral·lelogram BM és al paral·lelogram EQ, aleshores el paral·lelogram BM és al paral·lelogram EQ com l´altura de la piràmide DEFH és a l´altura de la piràmide ABCG. [V 11].
Però l´altura de la piràmide DEFH és idèntica a l´altura del paral·lelepípede EHQP, i l´altura de la piràmide ABCG és idèntica a l´altura del paral·lelepípede BGML, aleshores la base BM és a la base EQ com l´altura del paral·lelepípede EHQP és a l´altura del paral·lelepípede BGML.
Però aquells sòlids paral·lelepípedes en els quals les bases són inversament proporcionals a les altures són iguals, aleshores el sòlid paral·lelepípede BGML és igual al sòlid paral·lelepípede EHQP. [XI 34].
I la piràmide ABCG és una sisena part de BGML, i la piràmide DEFH és una sisena part del paral·lelepípede EHQP, aleshores la piràmide ABCG és igual a la piràmide DEFH.
Per tant, en piràmides iguals amb base triangular les bases són inversament proporcionals a les altures, i aquelles piràmides les bases de les quals són inversament proporcionals a les altures són iguals.
Q.E.D.

 

Copyright Applet ę 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

ę Drets d´ús cedits 2002/2003
JDL
Primera Edición Castellano-Catalán ®2006


© Copyright 2006 JDL euclides.org