PROPOSICIÓ 10 LLIBRE XIII

Proposició 10. Si s´inscriu un pentàgon equilàter en un cercle, el quadrat del costat del pentàgon és igual als quadrats dels costats de l´hexàgon i el decàgon inscrits en el mateix cercle.

java applet or image

Sigui ABCDE un cercle, i sigui el pentàgon equilàter ABCDE inscrit en ell. Jo dic que el quadrat del costat del pentàgon ABCDE és igual a la suma dels quadrats en els costats de l´hexàgon i el decàgon inscrits en el cercle ABCDE. S´agafi el centre F del cercle, traçar AF i prolongar-lo fins a G i traçar FB. Dibuixar FH desde F perpendicular a AB i prolongar-lo fins a K, traçar AK i KB, dibuixar FL desde F perpendicular a AK, prolongar-lo fins a M, i traçar KN. [III 1, I 12]. Donat que la circumferència ABCG és igual a la circumferència AEDG, i en elles ABC és igual a AED, aleshores la resta, la circumferència CG, és igual a la resta GD. Però CD pertany al pentàgon, aleshores CG pertany al decàgon. I, donat que FA és igual a FB, i FH és perpendicular, aleshores l´angle AFK és igual a l´angle KFB. [I.5 I.26]. De manera que la circumferència AK és igual a KB. Aleshores la circumferència AB és doble de la circumferència BK. Aleshores la línia recta AK és el costat del decàgon. Per la mateixa raó AK és doble de KM. [III 26]. Ara, donat que la circumferència AB és doble de la circumferència BK, mentre que la circumferència CD és igual a la circumferència AB, aleshores la circumferència CD és també doble de la circumferència BK. Però la circumferència CD és també doble de CG, aleshores la circumferència CG és igual a la circumferència BK. Però BK és doble de KM, perque KA també ho és, aleshores CG és també doble de KM. Però a més, la circumferència CB és també doble de la circumferència BK, perque la circumferència CB és igual a BA. Aleshores la circumferència sencera GB és també doble de BM. Per tant l´angle GFB és doble de l´angle BFM. [VI 33]. Però l´angle GFB és doble de l´angle FAB, perque l´angle FAB és igual a l´angle ABF. Aleshores l´angle BFN és igual a l´angle FAB. Però l´angle ABF és comú als dos triangles ABF i BFN, aleshores l l´angle restant AFB és igual a l´angle restant BNF. Aleshores el triangle ABF és equiangular amb el triangle BFN. [I 32]. Per tant, proporcionalment la línia recta AB és a BF com FB és a BN. Aleshores el rectangle AB de BN és igual al quadrat de BF. [VI 4, VI 17]. Una vegada més, donat que AL és igual a LK, mentre LN és comú als angles rectes, aleshores la base KN és igual a la base AN. Per tant l´angle LKN és també igual a l´angle LAN. [I 4]. Però l´angle LAN és igual a l´angle KBN, aleshores l´angle LKN és també igual a l´angle KBN. I l´angle corresponent a A és comú als dos triangles AKB i AKN. Aleshores l´angle restant AKB és igual a l´angle restant KNA. [I 32]. Per tant el triangle KBA és equiangular amb el triangle KNA. Aleshores, proporcionalment la línia recta BA és a AK com KA és a AN. [VI 1]. Per tant, el rectangle BA de AN és igual al quadrat d´AK [VI 17]. Però el rectangle AB de BN s´ha demostrat que és igual al quadrat de BF, aleshores la suma dels rectangles AB de BN i el rectangle BA de AN, això és, el quadrat de BA , és igual a la suma dels quadrats de BF i AK. [II 2]. I BA és el costat del pentàgon, BF de l´hexàgon, i AK del decàgon. [IV 15, Cor.]. En conseqüència, si un pentàgono inscrit en un cercle, el quadrat del costat del pentàgon és igual a la suma dels quadrats dels costats de l´hexàgon i del decàgon inscrits en el mateix cercle.

 

Copyright © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets de Traducció al catalą cedits 2002/2003
Jaume Domenech Larraz
info@euclides.org


© Copyfreedom 2012 JDL Euclides.org