PROPOSICIÓ 11 LLIBRE XIII

Proposició 11. Si s´inscriu un pentàgon equilàter en un cercle que tingui diàmetre expressable, el costat del pentàgon és la recta sense raó expressable anomenada menor.

java applet or image

En el cercle ABCDE de diàmetre racional sigui inscrit el pentàgon equilàter ABCDE. Jo dic que el costat del pentàgon és la línia recta irracional anomenada menor. S´agafi el centre F del cercle i es traci AF i FB i es prolongui fins als punts G i H i es traci AC i es faci FK com la quarta part d´AF. [III 1, VI 9]. Ara AF és racional, aleshores FK és també racional. Però BF és també racional, aleshores el total de BK és expressable. I donat que la circumferència ACG és igual a la circumferència ADG i en ella ABC és igual a AED, aleshores la resta CG és igual a la resta GD. I, si tracem AD, aleshores es conclou que els angles corresponents a L són rectes, i CD és doble de CL. Per la mateixa raó els angles corresponents a M són també rectes, i AC és doble de CM. Per tant l´angle ALC és igual a l´angle AMF i l´angle LAC és comú als dos triangles ACL i AMF, aleshores l´angle restant ACL és igual a l´angle restant MFA. [I 32]. Aleshores el triangle ACL és equiangular amb el triangle AMF. Aleshores, proporcionalment LC és a CA com MF és a FA. Prenent els dobles dels antecedents, aleshores el doble de LC és a CA com el doble de MF és a FA. Però el doble de MF és a FA com MF és a la meitat de FA, aleshores també el doble de LC és a CA com MF és a la meitat de FA. Prenent la meitat dels conseqüents, aleshores el doble de LC és a la meitat de CA com MF és la quarta part de FA. I DC és doble de LC, CM és la meitat de CA, i FK és la quarta part de FA, aleshores DC és a CM com MF és a FK. Prenent conjuntament, la suma de DC i CM és a CM com MK és a KF. Aleshores el quadrat de la suma de DC i CM és al quadrat de CM com el quadrat de MK és al quadrat de KF. [V 18]. I donat que, quan la recta que subtendeix dos costats del pentàgon AC es talla en extrema i mitjana raó, el segment major és igual al costat del pentàgono, això és, DC, mentre el quadrat del segment major afegit a la meitat del total és cinc vegades el quadrat de la meitat del total, i CM és la meitat del total d´AC, aleshores el quadrat de DC i CM posats en línia recta és cinc vegades el quadrat de CM. [XIII 8, XIII 1]. Però s´ha demostrat que el quadrat de DC i CM agafat com una recta és al quadrat de CM com el quadrat de MK és al quadrat de KF, aleshores el quadrat de MK és cinc vegades el quadrat de KF. Però el quadrat de KF és expressable, perque el diàmetre és racional, aleshores el quadrat de MK és també expressable. Aleshores MK és racional. I, com que BF és cuàdruple de FK, aleshores BK és cinc vegades KF. Aleshores el quadrat de BK és vint-i-cinc vegades el quadrat de KF. Però el quadrado de MK és cinc vegades el quadrat de KF, aleshores el quadrat de BK és cinc vegades el quadrat de KM. Aleshores el quadrat de BK no guarda amb el quadrat de KM la raó que un nombre quadrat guarda amb un nombre quadrat. Per tant BK és incommensurable en longitut amb KM. [X 9]. I cadascuna d´elles és expressable. Aleshores BK i KM són línies rectes racionals commensurables només en quadrado. Però si es treu d´una recta expressable una altra recta expressable commensurable només en quadrat amb la recta sencera, la recta restant, sense raó expressable, és una apòtoma, per tant MB és una apòtoma i MK l´adjunta a ella. [X 73].
Jo dic a més que MB és la quarta apòtoma. Sigui el quadrat de N igual a allò en lo que el quadrat de BK és major que el quadrat de KM. Aleshores el quadrat de BK és major que el quadrat de KM en el quadrat de N. I donat que KF és commensurable amb FB, per composició, KB és commensurable amb FB. Però BF és commensurable amb BH, aleshores BK és també commensurable amb BH. [X 15, X 12]. I com que el quadrat de BK és cinc vegades el quadrat de KM, aleshores el quadrat de BK guarda amb el quadrat de KM la raó que 5 guarda amb 1. Aleshores, en conversió, el quadra de BK guarda amb el quadrat de N la raó que 5 guarda amb 4, i no la que un nombre quadrat guarda amb un nombre quadrat. Aleshores BK és commensurable amb N. Aleshores el quadrat de BK és major que el quadrat de KM en el quadrat d´una recta incommensurable amb BK. [V 19, Cor., X 9]. Donat que el quadrat de la recta sencera BK és major que el quadrat de l´adjunta KM en el quadrat d´una línia recta incommensurable amb BK, i la recta sencera BK és commensurable amb la recta racional, BH, aleshores MB és una quarta apòtoma. [X Def.III 4]. Però el rectangle comprès per una recta expressable i una quarta apòtoma no té raó expressable i el costat del quadrat no té raó expressable i s´anomena menor. [X 94]. Però el quadrat d´AB és igual al rectangle HB de BM, perque, traçat AH, el triangle ABH és equiangular amb el triangle ABM, i HB és a BA com AB és a BM. Aleshores el costat AB del pentàgon és la recta irracional anomenada menor. Aleshores, si en un pentàgon equilàter inscrit en un cercle de diàmetre racional, aleshores el costat del pentàgon és la recta irracional anomenada menor.


Copyright © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets de Traducció al catalą cedits 2002/2003
Jaume Domenech Larraz
info@euclides.org


© Copyfreedom 2012 JDL Euclides.org