PROPOSICIÓ 12 LLIBRE XIII

Proposició 12. Si s´inscriu un triangle equilàter en un cercle, el quadrat del costat del triangle és el triple del quadrat del radi del cercle.

java applet or image

Sigui ABC el cercle, i sigui el triangle equilàter ABC inscrit en ell. Jo dic que el quadrat d´un costat del triangle ABC és triple del quadrat del radi del cercle. S´agafi el centre D del cercle ABC, es traci AD i es prolongui fins a E, i es traci BE. [III 1]. Així doncs, donat que el triangle ABC és equilàter, aleshores la circumferència BEC és la tercera part de la circumferència del cercle ABC. Aleshores la circumferència BE és la sisena part de la circumferència del cercle. Per tant la línia recta BE pertany a l´hexàgon. Així doncs, és igual al radi DE. [IV 15, Cor.]. I, donat que AE és doble de DE, aleshores el quadrat d´AE és quàdruple del quadrat de ED, és a dir, del quadrat de BE. Però el quadrat d´AE és igual a la suma dels quadrats d´AB i BE. Aleshores la suma dels quadrats de AB i BE és quàdruple del quadrat de BE. [III 31, I 47]. Així doncs, agafats separadament, el quadrat d´AB és triple del quadrat de BE. Però BE és igual a DE, aleshores el quadrat d´AB és triple del quadrat de DE. Per tant, el quadrat del costat del triangle és triple del quadrat del radi. Aleshores, si un triangle equilàter s´inscriu en un cercle, aleshores el quadrat del costat del triangle és triple del quadrat del radi del cercle. Q.E.D.

Copyright © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets de Traducció al catalą cedits 2002/2003
Jaume Domenech Larraz
info@euclides.org


© Copyfreedom 2012 JDL Euclides.org