|
PROPOSICIÓ 13 LLIBRE XIII Proposició 13. Construir una piràmide inscrita en una esfera donada i demostrar que el quadrat del diàmetre de l´esfera és una vegada i mitja el del costat de la piràmide. Sigui el diàmetre AB de l´esfera donada i sigui tallat
per C de tal manera que AC és el doble de CB, sigui descrit
el semicercle ADB de AB, sigui dibuixat CD formant angles rectes
amb AB, i es dibuixi DA. [VI 9, I 11]. Sigui el cercle EFG amb radi
igual a DC, sigui inscrit el triangle equilàter EFG en el
cercle EFG, s´agafi el centro H del cercle, i es dibuixin
EH, HF, i HG. [I 1, IV 2]. S´aixequi HK des del punt H formant
angles rectes amb el pla del cercle EFG, es tregui HK igual a la
línia recta AC desde HK, es tracin KE, KF, i KG. [XI 12,
I 3]. Ara, com que KH forma angles rectes amb el pla del cercle
EFG, aleshores forma angles rectes amb totes les línies rectes
i estan en el pla del cercle EFG. Però cadascuna de les rectes
HE, HF i HG la toca, aleshores HK forma angles rectes amb cadascuna
de les rectes HE, HF, i HG. [XI Def. 3]. I, com que AC és
igual a HK, i CD és igual a HE, i comprenen angles rectes,
aleshores la base DA és igual a la base KE. Per la mateixa
raó cadascuna de les rectes KF i KG són iguals a DA.
Aleshores les tres línies rectes KE, KF i KG són iguals
entre sí. [I 4]. I, donat que AC és doble de CB, aleshores
AB és triple de BC. Però donat que AB és a
BC com el quadrat d´AD és al quadrat de DC com es demostrarà
seguidament. Aleshores el quadrat d´AD és el triple
del quadrat de DC. Però el quadrat de FE és també
el triple del quadrat d´EH, i DC és igual a EH, aleshores
DA és també igual a EF. [XIII 12]. Però s´ha
demostrat que DA és igual a cadascuna de les rectes KE, KF
i KG, aleshores cadascuna de les línies rectes EF, FG i GE
són també iguals a cadascuna de les línies
rectes KE, KF i KG. Aleshores els quatre triangles EFG, KEF, KFG
i KEG són equilàters. Per tant ha estat construida
una piràmide amb quatre triangles equilàters, el triangle
EFG començant com a base i el punt K com a vèrtex.
El propòsit següent és incloure-la a l´esfera
donada i demostrar que el quadrat del diàmetre de l´esfera
és una vegada i mitja el quadrat del costat de la piràmide.
Sigui prolongada la recta HL en línia recta amb KH, i es
faci HL igual a CB. [I 3]. Ara, donat que AC és a CD com
CD és a CB, mentre AC és igual a KH, CD igual a HE
i CB igual a HL, aleshores KH és a HE com EH és a
HL. Aleshores el rectangle KH de HL és igual al quadrat d´EH.
[VI 8, Cor., VI 17]. I cadascun dels angles KHE, EHL és recta,
aleshores el semicercle descrit per KL passa a través d´E
també. [VI 8, III 31]. Aleshores si KL roman fix, EHL és
recta, el semicercle es fa girar i es torna a la mateixa posició
des d´on va començar a moure´s, aleshores passarà
a través dels punts F i G, ja que, si FL i LG són
traçades, aleshores els angles en F i G resulten angles rectes,
i la piràmide queda compresa en la esfera donada. Per a KL,
el diàmetre de l´esfera, igual al diàmetre AB
de l´esfera donada, ja que KH s´ha fet igual a AC, i
HL a CB. Jo dic a més que el quadrat del diàmetre
de l´esfera és una vegada i mitja el quadrat en el
costat de la piràmide. Donat que AC és doble de CB,
aleshores AB és triple de BC i, en la conversió, BA
és una vegada i mitja AC. Però BA és a AC com
el quadrat de BA és al quadrat d´AD. Aleshores el quadrat
de BA és també una vegada i mitja el quadrat d´AD.
I BA és el diàmetre de l´esfera donada, i AD
és igual al costat de la piràmide. Aleshores el quadrat
del diàmetre de l´esfera és una vegada i mitja
el quadrat del costat de la piràmide. Q.E.F.
LEMA |
