PROPOSICIÓ 13 LLIBRE XIII

Proposició 13. Construir una piràmide inscrita en una esfera donada i demostrar que el quadrat del diàmetre de l´esfera és una vegada i mitja el del costat de la piràmide.

java applet or image

Sigui el diàmetre AB de l´esfera donada i sigui tallat per C de tal manera que AC és el doble de CB, sigui descrit el semicercle ADB de AB, sigui dibuixat CD formant angles rectes amb AB, i es dibuixi DA. [VI 9, I 11]. Sigui el cercle EFG amb radi igual a DC, sigui inscrit el triangle equilàter EFG en el cercle EFG, s´agafi el centro H del cercle, i es dibuixin EH, HF, i HG. [I 1, IV 2]. S´aixequi HK des del punt H formant angles rectes amb el pla del cercle EFG, es tregui HK igual a la línia recta AC desde HK, es tracin KE, KF, i KG. [XI 12, I 3]. Ara, com que KH forma angles rectes amb el pla del cercle EFG, aleshores forma angles rectes amb totes les línies rectes i estan en el pla del cercle EFG. Però cadascuna de les rectes HE, HF i HG la toca, aleshores HK forma angles rectes amb cadascuna de les rectes HE, HF, i HG. [XI Def. 3]. I, com que AC és igual a HK, i CD és igual a HE, i comprenen angles rectes, aleshores la base DA és igual a la base KE. Per la mateixa raó cadascuna de les rectes KF i KG són iguals a DA. Aleshores les tres línies rectes KE, KF i KG són iguals entre sí. [I 4]. I, donat que AC és doble de CB, aleshores AB és triple de BC. Però donat que AB és a BC com el quadrat d´AD és al quadrat de DC com es demostrarà seguidament. Aleshores el quadrat d´AD és el triple del quadrat de DC. Però el quadrat de FE és també el triple del quadrat d´EH, i DC és igual a EH, aleshores DA és també igual a EF. [XIII 12]. Però s´ha demostrat que DA és igual a cadascuna de les rectes KE, KF i KG, aleshores cadascuna de les línies rectes EF, FG i GE són també iguals a cadascuna de les línies rectes KE, KF i KG. Aleshores els quatre triangles EFG, KEF, KFG i KEG són equilàters. Per tant ha estat construida una piràmide amb quatre triangles equilàters, el triangle EFG començant com a base i el punt K com a vèrtex. El propòsit següent és incloure-la a l´esfera donada i demostrar que el quadrat del diàmetre de l´esfera és una vegada i mitja el quadrat del costat de la piràmide. Sigui prolongada la recta HL en línia recta amb KH, i es faci HL igual a CB. [I 3]. Ara, donat que AC és a CD com CD és a CB, mentre AC és igual a KH, CD igual a HE i CB igual a HL, aleshores KH és a HE com EH és a HL. Aleshores el rectangle KH de HL és igual al quadrat d´EH. [VI 8, Cor., VI 17]. I cadascun dels angles KHE, EHL és recta, aleshores el semicercle descrit per KL passa a través d´E també. [VI 8, III 31]. Aleshores si KL roman fix, EHL és recta, el semicercle es fa girar i es torna a la mateixa posició des d´on va començar a moure´s, aleshores passarà a través dels punts F i G, ja que, si FL i LG són traçades, aleshores els angles en F i G resulten angles rectes, i la piràmide queda compresa en la esfera donada. Per a KL, el diàmetre de l´esfera, igual al diàmetre AB de l´esfera donada, ja que KH s´ha fet igual a AC, i HL a CB. Jo dic a més que el quadrat del diàmetre de l´esfera és una vegada i mitja el quadrat en el costat de la piràmide. Donat que AC és doble de CB, aleshores AB és triple de BC i, en la conversió, BA és una vegada i mitja AC. Però BA és a AC com el quadrat de BA és al quadrat d´AD. Aleshores el quadrat de BA és també una vegada i mitja el quadrat d´AD. I BA és el diàmetre de l´esfera donada, i AD és igual al costat de la piràmide. Aleshores el quadrat del diàmetre de l´esfera és una vegada i mitja el quadrat del costat de la piràmide. Q.E.F.

java applet or image

LEMA
S´ha de demostrar que AB és a BC com el quadrat d´AD és al quadrat de DC. Sigui la figura del semicercle, es traci DB, sigui construït el quadrat EC a AC, i es completi el paral·lelogram FB. [I 46]. Donat que el triangle DAB és equiangular amb el triangle DAC, aleshores BA és a AD com DA és a AC. Aleshores el rectangle BA de AC és igual al quadrat d´AD. [VI.8, VI.4, VI.17]. I donat que AB és a BC com EB és a BF, i EB és el rectangle BA de AC, perque EA és igual a AC, i BF és el rectangle AC de CB, aleshores AB és a BC com el rectangle BA d´AC és al rectangle AC de CB. [VI 1]. I el rectangle BA d´AC igual al quadrat d´AD, i el rectangle AC per CB igual al quadrat de DC, perque la perpendicular DC és la mitjana proporcional entre els segments AC i CB de la base, perque l´angle ADB és recta. Aleshores AB és a BC com el quadrat d´AD és al quadrat de DC. [VI 8, Cor.]. Q.E.D.


Copyright © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets de Traducció al catalą cedits 2002/2003
Jaume Domenech Larraz
info@euclides.org


© Copyfreedom 2012 JDL Euclides.org