PROPOSICIÓ 14 LLIBRE XIII

Proposició 14. Construir un octaedre contingut en una esfera com en la proposició anterior, i demostrar que el quadrat del diàmetre de l´esfera és el doble del quadrat del costat de l´octaedre.

java applet or image

Sigui el diàmetre AB de l´esfera donada, sigui biseccionat pel punt C, descriure el semicercle ADB sobre AB, dibuixar CD des del punt C formant angles rectes amb AB, i traçar DB. [I 11]. Sigui el quadrat EFGH, que tengui cadascun dels seus costats iguals a DB, traçar HF i EG, s´aixequi la línia recta KL des del punt K formant angles rectes amb el pla del quadrat EFGH, i es prolongui cap a l´altre costat del pla KM. [I 46, XI 12]. Es tregui KL i KM de les rectes KL i KM respectivament iguals a una de les línies rectes EK, FK, GK, o HK, i es traci LE, LF, LG, LH, ME, MF, MG, i MH. [I 3]. Aleshores, donat que KE és igual a KH, i l´angle EKH és recta, aleshores el quadrat d´HE és doble del quadrat de EK. Així mateix, donat que LK és igual a KE, i l´angle LKE és recta, aleshores el quadrat d´EL és doble del quadrat d´EK. [I 47]. Però el quadrat d´HE s´ha demostrat que és doble del quadrat d´EK, aleshores el quadrat de LE és igual al quadrat d´EH. Aleshores LE és igual a EH. Per la mateixa raó LH és també igual a HE. Aleshores el triangle LEH és equilàter. De manera semblant podem demostrar que cadascun dels triangles restants les bases dels quals són els costats del quadrat EFGH i els punts L i M són els seus vèrtexs són equilàters, aleshores ha estat construït l´octaedre contingut per vuit triangles equilàters. [ XI Def. 26]. El següent objectiu és incloure´l dins l´esfera donada, i demostrar que el quadrat del diàmetre de l´esfera és doble del quadrat del costat de l´octaedre. Donat que les tres línies rectes LK, KM i KE són iguals entre sí, aleshores el semicercle descrit sobre LM pasa a través d´E. I per la mateixa raó, si, LM roman fix, el semicercle es fa girar i es torna a la mateixa posició des d´on va començar a desplaçar-se, aleshores passa també a través dels punts F, G i H, i l´octaedre estarà contingut dins l´esfera. Jo dic a més que també estarà contingut dins l´esfera donada. Perque, donat que LK és igual a KM, mentre KE és comú, i contenen angles rectes, aleshores la base LE és igual a la base EM. [ I 4]. I, donat que l´angle LEM és recta, perque està en un semicercle, aleshores el quadrat de LM és doble al quadrat de LE. [ III 31, I 47]. De nou, donat que AC és igual a CB, aleshores AB és doble de BC. Però AB és a BC com el quadrat d´AB és al quadrat de BD, aleshores el quadrat d´AB és doble del quadrat de BD. Però s´ha demostrat que el quadrat de LM és doble del quadrat de LE. I el quadrat de DB és igual al quadrat de LE, perque EH s´ha fet igual a DB. Aleshores el quadrat de AB és igual al quadrat de LM. Aleshores AB és igual a LM. I AB és el diàmetre de l´esfera donada, aleshores LM és igual al diàmetre de l´esfera donada. Aleshores s´ha contingut l´octaedre dins l´esfera donada, i s´ha demostrat al mateix temps que el quadrat del diàmetre de l´esfera és doble del quadrat del costat de l´octaedre. Q.E.D.

java applet or image

 

Copyright © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets de Traducció al catalą cedits 2002/2003
Jaume Domenech Larraz
info@euclides.org


© Copyfreedom 2012 JDL Euclides.org