PROPOSICIÓ 15 LLIBRE XIII

Proposició 15. Construir un cub contingut en una esfera com en la piràmide, i demostrar que el quadrat del diàmetre de l´esfera és el triple del quadrat del costat del cub.

java applet or image

Sigui AB el diàmetre de l´esfera donada, i es talli pel punt C de tal manera que AC sigui doble de CB. Descriure el semicercle ADB a sobre d´AB, i es dibuixi CD des del punt C formant angles rectes amb AB, i traçar DB. Sigui el quadrat EFGH que té el costat igual a DB, dibuixar EK, FL, GM, i HN desde E, F, G, i H formant angles rectes amb el pla del quadrat EFGH, i es talli EK, FL, GM i HN desde EK, FL, GM, i HN respectivament iguals a una de les línies rectes EF, FG, GH, o HE. Traçar KL, LM, MN, i NK. [VI 9, I 11, I 46, XI, 12, I 3]. Aleshores el cub FN ha estat construït contingut per sis quadrats iguals. [XI Def. 25]. Ara s´ha de contenir dins l´esfera donada, i demostrar que el quadrat del diàmetre de l´esfera és triple del quadrat del costat del cub. Traçar KG i EG. Aleshores, donat que l´angle KEG és recta, perque KE és també l´angle recta del pla EG i per descomptat amb la línie recta EG també, aleshores el semicercle descrit per KG passa a través del punt E. [XI Def. 3]. Donat que, al mateix temps GF forma angles rectes amb cadascuna de les línies rectas FL i FE, aleshores GF forma també angles rectes amb el pla FK. Per tant també, si tracem FK, aleshores GF formarà angles rectes amb FK. Per la mateixa raó el semicercle descrit sobre GK també passa a través de F. De manera semblant també passa per la resta de punts angulars del cub. Aleshores, si quedant-se KG fix, el semicercle gira al voltant i es torna a la mateixa possició desde la que es va començar a moure, aleshores el cub està contingut a l´esfera. Jo dic a més que està contingut a l´esfera donada. Perque, donat que GF és igual a FE, i l´angle F és recta, aleshores el quadrat de EG és doble del quadrat de EF. Però EF és igual a EK, aleshores el quadrat de EG és doble del quadrat d´EK. Per tant la suma dels quadrats de GE i EK, que és el quadrat de GK, és triple del quadrat d´EK. [I 47]. I, donat que AB és triple de BC, mentre AB és a BC com el quadrat d´AB és al quadrat de BD, aleshores el quadrat d´AB és triple del quadrat de BD. Però s´ha demostrat que el quadrat de GK és triple del quadrado de KE. I KE s´ha fet igual a DB, aleshores KG és també igual a AB. I AB és el diàmetre de l´esfera donada, aleshores KG és també igual al diàmetre de l´esfera donada. Aleshores el cub ha estat contingut dins l´esfera donada i ha estat demostrat al mateix temps que el quadrat del diàmetre de l´esfera és triple del quadrado del costat del cub. Q.E.F.

java applet or image

 

Copyright © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets de Traducció al catalą cedits 2002/2003
Jaume Domenech Larraz
info@euclides.org


© Copyfreedom 2012 JDL Euclides.org