PROPOSICIÓ 16 LLIBRE XIII

Proposició 16. Construir un icosaedre contingut en una esfera, com en les figures anteriors, i demostrar que el costat de l´icosaedre és la recta sense raó expressable anomenada menor.

java applet or image

Sigui AB el diàmetre de l´esfera donada, i es talli pel punt C de manera que AC sigui cuàdruple de CB, es descrigui el semicercle ADB d´AB, dibuixar la línia recta CD desde C formant angles rectes amb AB, i traçar DB. [VI 9, I 11]. Sigui el cercle EFGHK, i sigui el radi igual a DB. S´inscrigui el pentàgon equilàter i equiangular EFGHK en el cercle EFGHK, biseccionar les circumferències EF, FG, GH, HK, i KE pels puntos L, M, N, O, i P, i traçar LM, MN, NO, OP, PL, i EP. [IV 11, I 9]. Per tant el pentàgon LMNOP és també equilàter, i la línia recta EP pertany a un decàgon. Ara des dels punts E, F, G, H, i K aixecar les línies rectes EQ, FR, GS, HT, i KU formant angles rectes amb el pla del cercle, i siguin iguals al radi del cercle EFGHK. Traçar QR, RS, ST, TU, UQ, QL, LR, RM, MS, SN, NT, TO, OU, UP, i PQ. [XI 12, I 3]. Ara, donat que cadascuna de les línies rectes EQ i KU formen angles rectes amb el mateix pla, aleshores EQ és paral·lela a KU. Però també és igual a ella, i les línies rectes traçades pels extrems en la mateixa direcció a rectes iguals i paral·leles són iguals i paral·leles. Aleshores QU és igual i paral·lela a EK. [I 33]. Però EK pertany a un pentàgon equilàter, aleshores QU pertany també a un pentàgon equilàter inscrit en el cercle EFGHK. Per la mateixa raó cadascuna de les línies rectes QR, RS, ST, i TU també pertanyen al pentàgon equilàter inscrit en el cercle EFGHK. Aleshores el pentàgon QRSTU és equilàter. I, donat que QE pertany a un hexàgon, i EP pertany a un decàgon, i l´angle QEO és recta, aleshores QP pertany a un pentàgon, perque el quadrat del costat del pentàgon és igual a la suma dels quadrats del costat de l´hexàgon i del quadrat del costat del decàgon inscrit en el mateix cercle. [XIII 10]. Per la mateixa raó PU és també un costat del pentàgon. Però QU pertany també a un pentàgon, aleshores el triangle QPU és equilàter. Per la mateixa raó cadascun dels triangles QLR, RMS, SNT, i TOU és també equilàter. I, donat que cadascuna de les línies rectes QL i QP s´ha demostrat que pertanyen a un pentàgon, i LP pertany també a un pentàgon, aleshores el triangle QLP és equilàter. Per la mateixa raó cadascun dels triangles LRM, MSN, NTO, i OUP són també equilàters. Agafar el centre V del cercle EFGHK, aixecar VZ desde V formant angles rectes amb el pla del cercle, i prolongar-lo en l´altra direcció VX. Treure VW, el costat d´un hexàgon, i cadascuna de les línies rectes VX i WZ, costats d´un decàgon. Traçar QZ, QW, UZ, EV, LV, LX, i XM. [III 1, XI 12]. Ara, donat que cadascuna de les línies rectes VW i QE formen angles rectes amb el pla del cercle, aleshores VW es paral·lela a QE. Però són també iguals, aleshores EV i QW són també iguals i paral·leles. [XI 6, I 3]. Però EV pertany a un hexàgon, aleshores QW pertany també a un hexàgon. I, donat que QW pertany a un hexàgon, i WZ a un decàgon, i l´angle QWZ és recta, aleshores QZ pertany a un pentàgon. [XIII 10]. Per la mateixa raó UZ pertany també a un pentàgon, perque si tracem VK i WU, aleshores són iguals i oposades, i VK, essent un radi, pertany a un hexàgon, aleshores WU pertany també a un hexàgon. Però WZ pertany a un decàgon, y l´angle UWZ és recta, aleshores UZ pertany a un pentàgon. [IV 15, Cor., XIII 10]. Perque QU pertany també a un pentàgon, aleshores el triangle QUZ és equilàter. Per la mateixa raó cadascun dels triangles restants les bases dels quals són les línies rectes QR, RS, ST i TU, i el punt Z és el vèrtex, són també equilàters. Pel mateix, donat que VL pertany a un hexàgon, i VX a un decàgon, i l´angle LVX és recta, aleshores LX pertany a un pentàgon. [XIII 10]. Per la mateixa raó, si tracem MV, que pertany a un hexàgon, MX està també determinat a pertanyer a un pentàgon. Però LM pertany també a un pentàgon, aleshores el triangle LMX és equilàter. De manera semblant es pot demostrar que cadascun dels triangles restants les bases dels quals són MN, NO, OP, i PL i el punt X el vèrtex, són també equilàters. Per tant s´ha construït un icosaedre contingut per vint triangles equilàters. [XI Def. 27]. L´objectiu següent és contenir-lo dins una esfera donada i demostrar que el costat de l´icosaedre és la recta irracional anomenada menor. Donat que VW pertany a un hexàgon, i WZ a un decàgon, aleshores VZ queda tallada en extrema i mitjana raó per W, i VW és el segment major. Aleshores com que ZV és a VW així VW és a WZ. [XIII 9]. Però VW és igual a VE, i WZ és igual a VX, aleshores ZV és a VE com EV és a VX. I els angles ZVE i EVX són rectes, aleshores, si tracem la línia recta EZ, l l´angle XEZ serà recta donat que els triangles XEZ i VEZ són semblants. Per la mateixa raó, donat que ZV és a VW com VW és a WZ, i ZV és igual a XW, i XW és igual a WQ, aleshores XW és a WQ com QW és a WZ. I de nou per la mateixa raó, si tracem QX, aleshores l´angle de Q serà recta, aleshores el semicercle descrit sobre XZ passarà a través de Q. [VI 8, III 31]. I si, XZ es deixa fix, i es fa girar el semicercle al voltant i es torna a la mateixa possició desde la qual es va començar a moure, aleshores passarà a través de Q i dels vèrtexs restants de l´icosaedre, i l´icosaedre estarà contingut dins la esfera. Jo dic a més que estarà contingut dins l´esfera donada. Biseccionar VW per A. [I 9]. Aleshores, donat que la línia recta VZ es talla en extrema i mitjana raó per W, i ZW és el segment menor, aleshores el quadrat de ZW afegit a la meitat del segment major, que és WA, és cinc vegades el quadrat de la meitat del segment major. Aleshores el quadrat de ZA és cinc vegades el quadrat d´AW. [XIII 3]. I ZX és doble de ZA, i VW és doble d´AW, aleshores el quadrat de ZX és cinc vegades el quadrat de WV. I, donat que AC és cuàdruple de CB, aleshores AB és cinc vegades BC. Però AB és a BC com el quadrat d´AB és al quadrat de BD, aleshores el quadrat d´AB és cinc vegades el quadrat de BD. [VI 8, V Def. 9]. Però el quadrat de ZX s´ha demostrat que és cinc vegades el quadrat de VW. I DB és igual a VW, perque cadascuna d´elles és igual al radi del cercle EFGHK, aleshores AB és també igual a XZ. I AB és el diàmetre de l´esfera donada, aleshores XZ és també igual al diàmetre de l´esfera donada. Així doncs, l´icosaedre ha estat contingut dins l´esfera donada. Jo dic que el costat de l´icosaedre és la recta irracional anomenada menor. Donat que el diàmetre de l´esfera és racional, i el quadrat d´ella és cinc vegades el quadrat del radi del cercle EFGHK, aleshores el radi del cercle EFGHK és també racional, d´aquí que el diàmetre sigui també racional. Però, si un pentàgon equilàter s´inscriu en un cercle que té un diàmetre racional, aleshores el costat del pentàgon és la recta irracional anomenada menor. [XIII 11]. I el costat del pentàgon EFGHK és el costat de l´icosaedre. Aleshores el costat de l´icosaedre és la línia recta irracional anomenada menor.

COROLARI
Amb això queda clar que el quadrat del diàmetre de l´esfera és cinc vegades el quadrat del radi del cercle a partir del qual l´icosaedre ha estat descrit, i que el diàmetre de l´esfera està compost pel costat de l´hexàgon i dos dels costats del decàgon inscrit en el mateix cercle. Q.E.F.

 

L´ICOSAEDRE
L´icosaedre regular està compost per 20 cares, cadascuna de les quals és un triangle equilàtere, amb cinc triangles que es troben a cada vèrtex. Hi ha 12 vèrtexs, i són 30 arestes.
A diferència de la major part de les il·lustracions d´Euclides, el dibuix utilitzat en aquesta proposició és molt esquemàtic i no ajuda a comprendre la projecció de l´icosaedre. Evidentement, podria ser que el dibuix hagi canviat al llarg dels segles i de les copies però l´original mostra els vèrtexs abatuts per poder interpretar el conjunt. La figura mostra una projecció ortogonal estandar de l´icosaedre. Mostrem ara un icosaedre sense les línies auxiliars.

java applet or image


Copyright © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets de Traducció al catalą cedits 2002/2003
Jaume Domenech Larraz
info@euclides.org


© Copyfreedom 2012 JDL Euclides.org