PROPOSICIÓ 17 LLIBRE XIII

Proposició 17. Construir un dodecaedre contingut en una esfera com en les figures anteriors, i demostrar que el costat del dodecaedre és la recta sense raó expressable anomenada apótoma.

java applet or image

Siguin ABCD i CBEF dos plans del cub mencionat anteriorment formant angles rectes entre sí. Biseccionar els costats AB, BC, CD, DA, EF, EB, i FC pels punts G, H, K, L, M, N i O respectivament, i traçar GK, HL, MH, i NO. Tallar les línies rectes NP, PO i HQ en extrema i mitjana raó pels punts R, S i T respectivament, i siguin RP, PS i TQ els seus segments majors. Aixecar RU, SV i TW des dels punts R,S i T formant angles rectes amb els plans del cub cap a la part exterior del cub, i es facin iguals a RP, PS i TQ. Traçar UB, BW, WC, CV i VU. [XIII 15, I 10, II 11, VI 30, XI 11, I 3]. Jo dic que el pentàgon UBWCV és equilàter, està en un pla, i és equiangular. Traçar RB, SB i VB. Aleshores, donat que la línia recta NP es talla en extrema i mitjana raó per R, i RP és el segment major, aleshores la suma dels quadrats de PN i NR és triple del quadrat de RP. [XIII 4]. Però PN és igual a NB, i PR és igual a RU, aleshores la suma dels quadrats de BN i NR és triple del quadrat de RU. Però el quadrat de BR és igual a la suma dels quadrats de BN i NR, aleshores el quadrat de BR és triple del quadrat de RU. D´aquí que la suma dels quadrats de BR i RU és cuàdruple del quadrat de RU. [I 47]. Però el quadrat de BU és igual a la suma dels quadrats de BR i RU, aleshores el quadrat de BU és cuàdruple del quadrat de RU. Per tant BU és doble de RU. Però VU és també doble d´UR, perque SR és també doble de PR, això és, de RU, aleshores BU és igual a UV. De manera semblant es pot demostrar que cadascuna de les línies rectes BW, WC i CV són també iguals a cadascuna de les línies rectes BU i UV. Per tant el pentàgon BUVCW és equilàter. Jo dic a més que està en un pla. Dibuixar PX desde P paral·lela a cadascuna de les línies rectes RU i SV i cap a la part exterior del cub, i traçar XH i HW. [I 31]. Jo dic que XHW és una línia recta. Donat que HQ es talla en extrema i mitjana raó per T, i QT és el segment major, aleshores HQ és a QT com QT és a TH. Però HQ és igual a HP, i QT és igual a cadascuna de les línies rectes TW i PX, aleshores HP és a PX com WT és a TH. I HP és paral·lela a TW, perque cadascuna d´elles forma angles rectes amb el pla BD, i TH és paral·lela a PX, perque cadascuna d´elles forma angles rectes amb el pla BF. [XI 6]. Però si els dos triangles XPH i HTW, els quals tenen dos costats proporcionals l´un de l´altre, es construeixen per un angle de manera que els seus costats corresponents siguin paral·lels, aleshores les línies rectes restants estàn en línia recta, per tant XH està en línia recta amb HW. [VI 32]. Però totes les línies rectes estàn en un pla, per tant el pentàgon UBWCV és un pla. [XI 1]. Jo dic a més que també és equiangular. Donat que la línia recta NP es talla en extrema i mitjana raó per R, i PR és el segment major, mentre PR és igual a PS, aleshores NS també es talla en extrema i mitjana raó per P, i NP és el segment major. Per tant la suma dels quadrats de NS i SP és el triple del qualdrat de NP. [XIII 5, XIII 4]. Però NP és igual a NB, i PS és igual a SV, aleshores el quadrat de NS i SV és triple del quadrat de NB. D´aquí que la suma dels quadrats de VS, SN i NB sigui cuàdruple del quadrat de NB. Però el quadrat de SB és igual a la suma dels quadrats de SN i NB, aleshores la suma dels quadrats de BS i SV, això és, el quadrat de BV, en l´angle VSB és recta, és quàdruple del quadrat de NB. Per tant VB és doble de BN. Però BC és també doble de BN, aleshores BV és igual a BC. I, donat que els dos costats BU i UV són iguals als dos costats BW i WC, i la base BV és igual a la base BC, aleshores l´angle BUV és igual a l´angle BWC. [I 8]. De igual manera podem demostrar que l´angle UVC és també igual a l´angle BWC. Per tant els tres angles BWC, BUV i UVC són iguales entre sí. Però si en un pentàgon equilàter tres angles són iguals entre sí, aleshores el pentàgon és equiangular, per tant el pentàgon BUVCW és equiangular. [XIII 7]. I s´ha demostrat que també és equilàter, per tant el pentàgon BUVCW és equilàter i equiangular, i està a sobre del costat BC del cub. Per tant, si fem la mateixa construcció sobre cadascun dels dotze costats del cub, quedarà construida una figura sòlida continguda per dotze pentàgons equilàters i equiangulars, que s´anomena dodecaedre. [XI Def. 28]. Es tracta ara de contenir-lo dins l´esfera donada, i demostrar que el costat del dodecaedre és la línia recta irracional anomenada apòtoma. Es produeix XP, i sigui la línia recta produida XZ. Aleshores PZ troba el diàmetre del cub, i es biseccionen un a l´altre, perque això s´ha demostra en l´últim teorema de l´undècim Llibre. [XI 38]. Es tallin pel punt Z. Aleshores Z és el centre de l´esfera que conté el cub, i ZP és la meitat del costat del cub. Traçar UZ. Ara, donat que la línia recta NS es talla en extrema i mitjana raó per P, i NP és el segment major, aleshores la suma dels quadrats de NS i SP és el triple del quadrat de NP. [XIII 4]. Però NS és igual a XZ, perque NP és també igual a PZ, i XP és igual a PS. Però PS és també igual a XU, perque també és igual a RP. Aleshores la suma dels quadrats de ZX i XU és triple del quadrat de NP. Però el quadrat d´UZ és igual a la suma dels quadrats de ZX i XU, aleshores el quadrat d´UZ és triple del quadrat de NP. Però el quadrat del radi de l´esfera que conté el cub és també el triple del quadrat de la meitat del costat del cub, perque prèviament s´ha mostrat com construir un cub contingut en una esfera, i s´ha demostrat que el quadrat del diàmetre de l´esfera és el triple del quadrat del costat del cub. [XIII 15]. Però, si el tot està tan relacionat amb el tot com la meitat amb la meitat, i NP és la meitat del costat del cub, aleshores UZ és igual al radi de l´esfera que conté el cub. I Z és el centre de l´esfera que conté el cub, per tant el punt U està en la superfície de l´esfera. De igual manera podem demostrar que cadascun dels angles restants del dodecaedre està en la superfície de l´esfera, per tant el dodecaedre ha estat contingut en l´esfera. Jo dic a més que el costat del dodecaedre és la línia recta irracional anomenada apòtoma. Donat que, quan NP es talla en extrema i mitjana raó, RP és el segment major, i, quan PO es talla en extrema i mitjana raó, PS és el segment major, aleshores, quan la recta sencera NO es talla en extrema i mitjana raó, RS és el segment major. Així, donat que NP és a PR com PR és a RN, amb els dobles també és verdader, perque les parts tenen el mateix radi que els equimúltiples, aleshores NO és a RS com RS és a la suma de NR i SO. Però NO és major que RS, aleshores RS és major també que la suma de NR i SO, per tant NO s´ha tallat en extrema i mitjana raó, i RS és el segment major. [V 15]. Però RS és igual a UV, aleshores, quan NO es talla en extrema i mitjana raó, UV és el segment major. I, donat que el diàmetre de l´esfera és racional, i el quadrat és el triple del quadrat del costat del cub, aleshores NO, que és el costat del cub, és racional. Però si una línia racional es talla en extrema i mitjana raó, cadascun dels segments és una recta irracional anomenada apòtoma. Per tant UV, que és un costat del dodecaedre, és una recta irracional anomenada apòtoma. [XIII 6]. Q.E.F.

COROLARI
A partir d´això queda clar que quan el costat d´un cub es talla en extrema i mitjana raó, el segment major és el costat del dodecaedre. Q.E.D.

java applet or image



Copyright © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets de Traducció al catalą cedits 2002/2003
Jaume Domenech Larraz
info@euclides.org


© Copyfreedom 2012 JDL Euclides.org