PROPOSICIÓ 18 LLIBRE XIII

Proposició 18. Colocar els costats de les cinc figures i comparar-los entre sí.

java applet or image

Sigui AB el diàmetre de l´esfera donada, i sigui tallat per C de manera que AC sigui igual a CB, i pel punt D de manera que sigui doble de DB. Descriure el semicercle AEB sobre AB, dibuixar CE i DF desde C i D formant angles rectes amb AB, i traçar AF, FB i EB. [I 11]. Després, donat que AD és doble de DB, resulta que AB és triple de BD. En conversió, aleshores, BA és una vegada i mitja AD. Però BA és a AD com el quadrat de BA és al quadrat d´AF, perque el triangle AFB és equiangular amb el triangle AFD. Per tant el quadrat de BA és una vegada i mitja el quadrat d´AF. [V Def. 9, VI 8]. Però el quadrat del diàmetre de l´esfera és també una vegada i mitja el quadrat del costat de la piràmide. I AB és el diàmetre de l´esfera, aleshores AF és igual al costat de la piràmide. [XIII 13]. De nou, donat que AD és doble de DB, aleshores AB és triple de BD. Però AB és a BD como el quadrat d´AB és al quadrat de BF, aleshores el quadrat d´AB és triple del quadrat de BF. [V Def 9, VI 8]. Però el quadrat del diàmetre de l´esfera és també el triple del quadrat del costat del cub. I AB és el diàmetre de l´esfera, aleshores BF és el costat del cub. [XIII 15]. I, donat que AC és igual a CB, aleshores AB és doble de BC. Però AB és a BC com el quadrat d´AB és al quadrat de BE, aleshores el quadrat d´AB és doble del quadrat de BE. Però el quadrat del diàmetre de l´esfera és també doble del quadrat del costat de l´octaedre. I AB és el diàmetre de l´esfera donada, aleshores BE és el costat de l´octaedre. [XIII 14]. Seguidament, dibuixar AG des del punt A formant angles rectes amb la línia recta AB, construir AG igual a AB, traçar GC, i dibuixar HK des d´H perpendicular a AB. [I 11, I 3, I 12]. Aleshores, donat que GA és doble d´AC, perque GA és igual a AB, i GA és a AC com HK és a KC, aleshores HK és també doble de KC. Per tant el quadrat d´HK és quàdruple del quadrat de KC, per tant la suma dels quadrats d´HK i KC, això és, el quadrat d´HC, és cinc vegades el quadrat de KC. Però HC és igual a CB, aleshores el quadrat de BC és cinc vegades el quadrat de CK. I, donat que AB és doble de CB, i, en elles, AD és doble de DB, aleshores la recta restant BD és doble de la recta restant DC. Per tant BC és triple de CD, aleshores el quadrat de BC és nou vegades el quadrat de CD. Però el quadrat de BC és cinc vegades el quadrat de CK, aleshores el quadrat de CK és major que el quadrat de CD. Per tant CK és major que CD. Construir CL igual a CK, dibuixar LM desde L formant angles rectes amb AB, i traçar MB. [I 3, I 11]. Ara, donat que el quadrat de BC és cinc vegades el quadrat de CK, i AB és doble de BC, i KL és doble de CK, aleshores el quadrat d´AB és cinc vegades el quadrat de KL. Però el quadrat del diàmetre de l´esfera és també cinc vegades el quadrat de KL. Però el quadrat del diàmetre de l´esfera és cinc vegades el quadrado del radi del cercle a partir del qual s´ha construït l´icosaedre. I AB és el diàmetre de l´esfera, aleshores KL és el radi del cercle a partir del qual s´ha construït l´icosaedre. Aleshores KL és el costat de l´hexàgon en el cercle mencionat anteriorment. [XIII 16, Cor., IV 15, Cor.]. I, donat que el diàmetre de l´esfera s´ha fet amb el costat de l´hexàgon i dos dels costats del decàgon inscrit en el mateix cercle, i AB és el diàmetre de l´esfera, essent KL el costat de l´hexàgon, i AK és igual a LB, aleshores cadascuna de les rectes AK i LB és un costat del decàgon inscrit en el cercle a partir del qual s´ha descrit l´icosaedre. [XIII 16, Cor.]. I, donat que LB pertany al decàgon, i ML a l´hexàgon, perque ML és igual a KL, i perque també és igual a HK, estant a igual distància del centre de cadascuna de les rectes HK i KL és doble de KC, aleshores MB pertany a un pentàgon. [XIII 10]. Però el costat del pentàgon és el costat de l´icosaedre, aleshores MB pertany a l´icosaedre. [XIII 16]. Ara bé, donat que FB és un costat del cub, tallat en extrema i mitjana raó per N, i essent NB el segment major. Aleshores NB és un costat del dodecaedre. [XIII 17, Cor.]. I, donat que el quadrat del diàmetre de l´esfera s´ha demostrat que és una vegada i mitja el quadrat del costat AF de la piràmide, mentre que és el doble del quadrat del costat BE de l´octaedre i triple del quadrat del costat FB del cub, aleshores, el quadrat del diàmetre de l´esfera té sis parts, de les quals el quadrat del costat de la piràmide en té quatre, el quadrat del costat de l´octaedre tres, i el quadrat del costat del cub dos. Aleshores el quadrat del costat de la piràmide és quatre terços del quadrat del costat de l´octaedre, i el doble del quadrat del costat del cub, i el quadrat del costat de l´octaedre és una vegada i mitja el quadrat del costat del cub. Els costats anomenats, aleshores, de les tres figures, em refereixo a la piràmide, a l´octaedre i al cub, ho són en proporcions racionals. Però els dos restants, em refereixo al costat de l´icosaedre i al costat del dodecaedre, no guarden proporcions racionals entre sí ni entre els anteriormente anomenats, perque són irracionals, l´un és el menor i l´altre una apótoma. [XIII 16, XIII 17]. Que el costat MB de l´icosaedre és major que el costat NB del dodecaedre ho demostrarem tal com segueix. Donat que el triangle FDB és equiangular amb el triangle FAB, proporcionalment DB és a BF com BF és a BA. [VI 8, VI 4]. I, donat que les tres rectes són proporcionals, la primera és a la tercera com el quadrat de la primera és al quadrat de la segona, aleshores DB és a BA com el quadrat de DB és al quadrat de BF. Aleshores, per inversió AB és a BD com el quadrat de FB és al quadrat de BD. [V Def. 9, VI 20, Cor.]. Però AB és triple de BD, aleshores el quadrat de FB és el triple del quadrat de BD. Però el quadrat d´AD és també quàdruple del quadrat de DB, perque AD és doble de DB, aleshores el quadrat d´AD és major que el quadrat de FB. Per tant AD és major que FB. Aleshores AL és molt major que FB. I, quan AL es talla en extrema i mitjana raó, KL és el segment major, perque LK pertany a l´hexàgon, i KA al decàgon, i, quan FB es talla en extrema i mitjana raó, NB és el segment major, aleshores KL és major que NB. [XIII 9]. Però KL és igual a LM, aleshores LM és major que NB. Aleshores MB, que és el costat de l´icosaedre, és molt major que NB que és el costat del dodecaedre. Q.E.F.

Dic a més, a part de les cinc figures anomenades, que no hi ha altra figura que es pugui construir continguda per figures equilàteres i equiangulars. Perque amb dos triangles no es pot construir un angle sòlid, i menys amb plans. Amb tres triangles es construeix l´angle de la piràmide, amb quatre l´angle de l´octaedre, i amb cinc l´angle de l´icosaedre, però un angle sòlid no es pot formar amb sis triangles equilàters i equiangulars colocats tots ells en un punt, perque si l´angle del triangle equilàter és dues terceres parts d´un angle recta, els sis seràn iguals a quatre angles rectes, la qual cosa és impossible, perque qualsevol angle sòlid està contingut per menys de quatre angles rectes. [XI 21]. Per la mateixa raó, tampoc es pot construir un angle sòlid amb més de sis angles plans. L´angle del cub està contingut per tres quadrats, perque estar contingut amb quatre és impossible perque de nou serien quatre angles rectes. L´angle del dodecaedre està contingut per tres pentàgons equilàters i equiangulars, però per quatre seria impossible perque, essent l´angle del pentàgon equilàter un angle recta més un cinquè, els quatre angles serien majors que quatre angles rectes, la qual cosa és impossible. Tampoc es podrà contenir un angle sòlid amb altres figures poligonals per raons absurdes similars. Q.E.D.

 

java applet or image

LEMA
Que l´angle del pentàgon equilàter i equiangular és un angle recta més un cinquè ho demostrem de la següent manera.
Sigui ABCDE un pentàgon equilàter i equiangular. Circumscrivim el cercle ABCDE al voltant d´ell, prenem el centre F, i tracem FA, FB, FC, FD i FE. [IV 14]. Aleshores biseccionem els angles A, B, C, D i E del pentàgon. I, donat que els angles de F són iguales a quatre angles rectes, aleshores un d´ells, com l´angle AFB, és un angle recta menys un cinquè. Aleshores els angles restants FAB i ABF són un angle recta i un cinquè. Però l´angle FAB és igual a l´angle FBC, aleshores l´angle sencer ABC del pentàgon és un angle recta i un cinquè. Q.E.D.


Copyright © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets de Traducció al catalą cedits 2002/2003
Jaume Domenech Larraz
info@euclides.org


© Copyfreedom 2012 JDL Euclides.org