PROPOSICIÓ 1 LLIBRE XIII

Proposició 1. Si es talla una línia recta en extrema i mitjana raó, el quadrat del segment major juntament amb el de la meitat de la recta sencera és cinc vegades el quadrat de la meitat.

java applet or image

Sigui la recta AB tallada en extrema i mitjana raó pel punt C i sigui AC el segment major. Es prolongui la recta AD en línia recta amb CA i es faci AD igual a la meitat d´AB.
Jo dic que el quadrat en CD és cinc vegades el quadrat AD.
Es construeixin els quadrats AE i DF en AB i DC i s´incrigui la figura en DF i es prolongui FC fins a G.
Ara, donat que AB ha estat tallada en extrema i mitjana raó en el punt C, aleshores el rectangle comprès per AB i BC és igual al quadrat AC. I el rectangle CE està comprès per AB i BC, i FH és el quadrat d´AC, aleshores CE és igual a FH.
I com que BA és doble d´AD, mentre BA és igual a KA, i AD és igual a AH, aleshores KA és també doble d´AH.
Però KA és a AH com CK és a CH, aleshores CK és doble de CH. Però també de LH i HC és també doble de CH. Aleshores KC és igual a LH i HC. Però s´ha demostrat que CE també és igual a HF; per tant el quadrat enter AE és igual al gnomon MNO. I, com que BA és doble d´AD, aleshores el quadrat de BA és quàdruple del quadrat d´AD, és a dir, AE és quàdruple de DH.
Però AE és igual al gnomon MNO, aleshores el gnomon MNO és també quàdruple de AP. Aleshores el quadrat sencer DF és cinc vegades AP.
I DF és el quadrat de DC, i AP el quadrat de DP, per tant el quadrat de CD és cinc vegades el quadrat de DA.
Per tant, si una línia recta es talla en extrema i mitjana raó, aleshores el quadrat del segment major afegit al de la meitat de la recta és cinc vegades el quadrat de la meitat.


Copyright © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets de Traducció al catalą cedits 2002/2003
Jaume Domenech Larraz
info@euclides.org


© Copyfreedom 2012 JDL Euclides.org