Sigui la recta AB tallada en extrema i mitjana raó pel
punt C i sigui AC el segment major. Es prolongui la recta AD en
línia recta amb CA i es faci AD igual a la meitat d´AB.
Jo dic que el quadrat en CD és cinc vegades el quadrat AD.
Es construeixin els quadrats AE i DF en AB i DC i s´incrigui
la figura en DF i es prolongui FC fins a G.
Ara, donat que AB ha estat tallada en extrema i mitjana raó
en el punt C, aleshores el rectangle comprès per AB i BC
és igual al quadrat AC. I el rectangle CE està comprès
per AB i BC, i FH és el quadrat d´AC, aleshores CE
és igual a FH.
I com que BA és doble d´AD, mentre BA és igual
a KA, i AD és igual a AH, aleshores KA és també
doble d´AH.
Però KA és a AH com CK és a CH, aleshores CK
és doble de CH. Però també de LH i HC és
també doble de CH. Aleshores KC és igual a LH i HC.
Però s´ha demostrat que CE també és igual
a HF; per tant el quadrat enter AE és igual al gnomon MNO.
I, com que BA és doble d´AD, aleshores el quadrat de
BA és quàdruple del quadrat d´AD, és
a dir, AE és quàdruple de DH.
Però AE és igual al gnomon MNO, aleshores el gnomon
MNO és també quàdruple de AP. Aleshores el
quadrat sencer DF és cinc vegades AP.
I DF és el quadrat de DC, i AP el quadrat de DP, per tant
el quadrat de CD és cinc vegades el quadrat de DA.
Per tant, si una línia recta es talla en extrema i mitjana
raó, aleshores el quadrat del segment major afegit al de
la meitat de la recta és cinc vegades el quadrat de la meitat.
