Sigui el quadrat de la línia recta AB cinc vegades el del seu segment AC, i sigui CD el doble d´AC. Jo dic que, quan CD es talli en extrema i mitjana raó, aleshores el segment major és CB.
Siguin construïts els quadrats AF i CG d´AB i CD respectivament, sigui inscrita la figura dins AF, i es dibuixi BE.
Ara, donat que el quadrat de BA és cinc vegades el quadrat d´AC, aleshores AF és cinc vegades AH. Per tant el gnomon MNO és quàdruple d´AH. I, donat que DC és doble de CA, aleshores el quadrat de DC és quàdruple del quadrat de CA, és a dir, CG és quàdruple d´AH. Però el gnomon MNO és també quàdruple d´AH, aleshores el gnomon MNO és igual a CG.
I, com que DC és doble de CA, mentre DC és igual a CK, i AC és igual a CH, aleshores KB és també el doble de BH. [VI.1]
Però la suma de LH i HB és a més el doble de HB, aleshores KB és igual a la suma de LH i HB. Però el gnomon sencer MNO s´ha demostrat que és igual al quadrat sencer CG, aleshores la resta HF és igual a BG. I BG és el rectangle comprès per CD, DB, perque CD és igual a DG, i HF és el quadrat de CB, aleshores el rectangle comprès per CD, DB és igual al quadrat de CB. Per tant, DC és a CB como CB és a BD. Però DC és major que CB, aleshores CB és també major que BD. Per tant, quan la línia recta CD es talla en extrema i mitjana raó, CB és el segment major.

Lema
Que el doble d´AC és major que BC es demostra així:
Sino, sigui BC, si és possible, el doble de CA.

Aleshores el quadrat de BC és quàdruple del quadrat de CA. Aleshores la suma dels quadrats de BC i CA és cinc vegades el quadrat de CA. Però, per hipòtesi, el quadrat de BA és també cinc vegades el quadrat de CA.
Per tant el quadrat de BA és igual a la suma dels quadrats de BC i CA, la qual cosa és impossible. [II.4]
Per tant CB no és el doble d´AC. De manera semblant podem demostrar que cap d´ells és una línea recta menor que CB i doble de CA, perque és un absurd major. Per tant el doble d´AC és major que CB.
Aleshores, si el quadrat en una línia recta és cinc vegades el quadrat d´un segment en ell, aleshores, quan el doble del mateix segment es talla en extrema i mitjana raó, el segment major és la part que queda de la línia recta original.