PROPOSICIÓ 2 LLIBRE XIII

Proposició 2. Si el quadrat d´una línia recta és cinc vegades el d´un segment d´ella mateixa, quan es talla el doble d´aquest segment en extrema i mitjana raó, el segment major és la part que queda de la recta inicial.

java applet or image

Sigui el quadrat de la línia recta AB cinc vegades el del seu segment AC, i sigui CD el doble d´AC. Jo dic que, quan CD es talli en extrema i mitjana raó, aleshores el segment major és CB.
Siguin construïts els quadrats AF i CG d´AB i CD respectivament, sigui inscrita la figura dins AF, i es dibuixi BE.
Ara, donat que el quadrat de BA és cinc vegades el quadrat d´AC, aleshores AF és cinc vegades AH. Per tant el gnomon MNO és quàdruple d´AH. I, donat que DC és doble de CA, aleshores el quadrat de DC és quàdruple del quadrat de CA, és a dir, CG és quàdruple d´AH. Però el gnomon MNO és també quàdruple d´AH, aleshores el gnomon MNO és igual a CG.
I, com que DC és doble de CA, mentre DC és igual a CK, i AC és igual a CH, aleshores KB és també el doble de BH. [VI.1]
Però la suma de LH i HB és a més el doble de HB, aleshores KB és igual a la suma de LH i HB. Però el gnomon sencer MNO s´ha demostrat que és igual al quadrat sencer CG, aleshores la resta HF és igual a BG. I BG és el rectangle comprès per CD, DB, perque CD és igual a DG, i HF és el quadrat de CB, aleshores el rectangle comprès per CD, DB és igual al quadrat de CB. Per tant, DC és a CB como CB és a BD. Però DC és major que CB, aleshores CB és també major que BD. Per tant, quan la línia recta CD es talla en extrema i mitjana raó, CB és el segment major.

Lema
Que el doble d´AC és major que BC es demostra així:
Sino, sigui BC, si és possible, el doble de CA.

Aleshores el quadrat de BC és quàdruple del quadrat de CA. Aleshores la suma dels quadrats de BC i CA és cinc vegades el quadrat de CA. Però, per hipòtesi, el quadrat de BA és també cinc vegades el quadrat de CA.
Per tant el quadrat de BA és igual a la suma dels quadrats de BC i CA, la qual cosa és impossible. [II.4]
Per tant CB no és el doble d´AC. De manera semblant podem demostrar que cap d´ells és una línea recta menor que CB i doble de CA, perque és un absurd major. Per tant el doble d´AC és major que CB.
Aleshores, si el quadrat en una línia recta és cinc vegades el quadrat d´un segment en ell, aleshores, quan el doble del mateix segment es talla en extrema i mitjana raó, el segment major és la part que queda de la línia recta original.

 

Copyright © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets de Traducció al catalą cedits 2002/2003
Jaume Domenech Larraz
info@euclides.org


© Copyfreedom 2012 JDL Euclides.org