PROPOSICIÓ 3 LLIBRE XIII

Proposició 3. Si es talla una línia recta en extrema i mitjana raó, el quadrat del segment menor juntament amb el de la meitat del segment major és cinc vegades el quadrat de la meitat del segment major.

java applet or image

Sigui tallada una línia recta AB qualsevol en extrema i mitjana raó pel punt C, i sigui CA el segment major. Biseccioni CA pel punt D. Jo dic que el quadrat de BD és cinc vegades el quadrat de DC. Sigui construït el quadrat AE d´AB, i s´inscrigui la figura. Donat que CA és doble de DC, aleshores el quadrat de AC és quàdruple del quadrat de DC, és a dir, RS és quàdruple de FG. I, com que el rectangle AB per BC és igual al quadrat de CA, i CE és el rectangle AB per BC aleshores CE és igual a RS. Però RS és quàdruple de FG, per tant CE és també quàdruple de FG. I donat que AD és igual a DC, aleshores HK és també igual a KF. Per tant el quadrat GF és igual al quadrat HL. Donat que GK és igual a KL, aleshores MN és igual a NE. Però MF és igual a CG aleshores CG és igual a FE. Afegim aleshores CN a cadascun, i el gnomon OPQ serà igual a CE. Però s´ha demostrat que CE és quàdruple de GF, per tant el gnomon OPQ és també quàdruple del quadrat FG. Per tant la suma del gnomon OPQ i el quadrat FG és cinc vegades FG. Però la suma del gnomon OPQ i el quadrat FG és el quadrat DN. I DN és el quadrat de DB, i GF és el quadrat de DC. Per tant el quadrat de DB és cinc vegades el quadrat de DC. Per tant, si una línia recta es talla en extrema i mitjana raó, aleshores el quadrat de la suma del segment menor i la meitat del segment major és cinc vegades el quadrat de la meitat del segment major.

 

Copyright © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets de Traducció al català cedits 2002/2003
Jaume Domenech Larraz
info@euclides.org


© Copyfreedom 2012 JDL Euclides.org