PROPOSICIÓ 4 LLIBRE XIII

Proposició 4. Si es talla una línia recta en extrema i mitjana raó, el quadrat de la recta sencera i el del segment menor junts, són el triple del quadrat del segment major.

java applet or image

Sigui AB una línia recta tallada en extrema i mitjana raó pel punt C, i sigui AC el segment major. Jo dic que la suma dels quadrats d´AB i BC és el triple del quadrat de CA. Sigui construït el quadrat ADEB d´AB i s´inscrigui la figura. Doncs bé, donat que AB ha estat tallada en extrema i mitjana raó per C, i AC és el segment major, aleshores el rectangle comprès per AB i BC és igual al quadrat d´AC.[VI. Def. 3 VI.17]. I AK és el rectangle AB de BC, i HG és el quadrat d´AC, aleshores AK és igual a HG. I, donat que AF és igual a FE, s´afegeixi CK a cadascun, aleshores el total AK és igual al total CE. Aleshores la suma d´AK i CE és doble d´AK. Però la suma d´AK i CE és la suma del gnomon LMN i del quadrat CK, aleshores la suma del gnomon LMN i el quadrat CK és doble d´AK. Però, a més, s´ha demostrat que AK és igual a HG, per tant, la suma del gnomon LMN i els quadrats CK i HG és triple del quadrat HG. I la suma del gnomon LMN i els quadrats CK i HG és la suma dels quadrats sencers AE i CK, que són els quadrats AB i BC, mentre que HG és el quadrat d´AC. Aleshores la suma dels quadrats d´AB i BC és el triple del quadrat AC. Per tant, si una línia recta es talla en extrema i mitjana raó, aleshores, la suma dels quadrats del total i del segment menor és triple del quadrat del segment major.

 

Copyright © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets de Traducció al catalą cedits 2002/2003
Jaume Domenech Larraz
info@euclides.org


© Copyfreedom 2012 JDL Euclides.org