PROPOSICIÓ 5 LLIBRE XIII

Proposició 5. Si es talla una línia recta en extrema i mitjana raó, i s´afegeix una altra igual al segment major, la recta sencera queda tallada en extrema i mitjana raó, i la recta inicial és el segment major.

java applet or image

Sigui AB una línia recta tallada en extrema i mitjana raó pel punt C, i sigui AC el segment major, i sigui AD igual a AC. Jo dic que la línia recta DB ha estat tallada en extrema i mitjana raó pel punt A, i la recta inicial AB és el segment major. Es construeixi el quadrat AE d´AB i s´inscrigui la figura. Donat que AB s´ha tallat en extrema i mitjana raó per C, aleshores el rectangle AB a BC és igual al quadrat d´AC. [VI.Def. 3 VI.17]. I CE és el rectangle AB de BC, i CH és el quadrat a AC, aleshores CE és igual a HC. Però HE és igual a CE, i DH igual a HC, aleshores DH és també igual a HE. Per tant l´àrea sencera DK és igual a l´àrea sencera AE. I DK és el rectangle BD a DA, perque AD és igual a DL, i AE és el quadrat d´AB, aleshores el rectangle BD de DA és igual al quadrat d´AB. Per tant, DB és a BA com BA és a AD. I DB és major que BA, aleshores és també major que AD. [VI.17 V.14]. Per tant DB ha estat tallada en extrema i mitjana raó en el punt A, i AB és el segment major. Per tant, si una línia recta és tallada en extrema i mitjana raó, i se li afegeix una línia recta igual al segment major, aleshores la línia recta en el seu conjunt ha estat tallada en extrema i mitjana raó, i la línia recta original és el segment major.

 

Copyright © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets de Traducció al catalą cedits 2002/2003
Jaume Domenech Larraz
info@euclides.org


© Copyfreedom 2012 JDL Euclides.org