PROPOSICIÓ 6 LLIBRE XIII

Proposició 6. Si una recta commensurable es talla en extrema i mitjana raó, cadascun dels segments és la recta sense raó expressable anomenada apótoma.

java applet or image

Sigui AB una recta expressable tallada en extrema i mitjana raó pel punt C, i sigui AC el segment major. Jo dic que cadascuna de les rectes AC, CB és la recta sense raó expressable anomenada apòtoma. Es prolongui, així BA i es faci AD igual a la meitat de BA. Doncs bé, com que la recta AB ha estat tallada en extrema i mitjana raó pel punt C i s´ha afegit al segment major AC la recta AD que és la meitat d´AB, aleshores el quadrat de CD és cinc vegades el d´AD [XIII 1]. Per tant el quadrat de CD guarda amb el quadrat de DA la raó que un nombre guarda amb un nombre; per tant, el quadrat de CD és commensurable amb el quadrat de DA [X 6]. Però el quadrat de DA és expressable, perque DA és expressable, essent la meitat d´AB que és expressable; aleshores el quadrat de CD és expressable [X Def. 4]. Per tant CD també és expressable. Ara bé, com que el quadrat de CD no guarda amb el quadrat de DA la raó que un nombre quadrat guarda amb un nombre quadrat, aleshores CD és incommensurable en longitut amb DA [X 9]; per tant CD i DA són rectes expressables commensurables només en quadrat; per tant, AC és una apòtoma [X 73]. Al mateix temps, com que AB ha estat tallada en extrema i mitjana raó i el seu segment major és AC, aleshores el rectangle comprès per AB i BC és igual al quadrat d´AC [VI Def. 3, VI 17]. Aleshores el quadrat de l´apòtoma AC, aplicat a la recta expressable AB, produeix l´amplada BC; però el quadrat d´una apòtoma, aplicat a una recta expressable, produeix com amplada una primera apòtoma [X 97]; per tant CB és una primera apòtoma. Però s´ha demostrat que CA és també una apòtoma. Aleshores, si una recta expressable es talla en extrema i mitjana raó, cadascun dels segments és la recta sense raó expressable anomenada apòtoma.

Copyright © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets de Traducció al catalą cedits 2002/2003
Jaume Domenech Larraz
info@euclides.org


© Copyfreedom 2012 JDL Euclides.org