PROPOSICIÓ 7 LLIBRE XIII

Proposició 7. Si tres angles d´un pentàgon equilàter, successius o no, són iguals, el pentàgon serà equiangular.

java applet or image

Primer, siguin tres angles A, B i C agafats en ordre del pentàgon equilàter ABCDE. Jo dic que el pentàgon ABCDE és equiangular. Sigui traçat doncs AC, BE, i FD. Ara, donat que els costats CB i BA són iguals respectivament a BA i AE, i l´angle CBA és igual a l´angle BAE, aleshores, la base AC és igual a la base BE i el triangle ABC és igual al triangle ABE i els angles que queden, aquells als quals subtendeixen els costats iguals, seràn també iguals respectivament [I 4], és a dir: l´angle BCA a l´angle BEA, i l´angle ABE a l´angle CAB; de manera que el costat AZ és també igual al costat BZ [I 6]. Però s´ha demostrat que la recta sencera AC és també igual a la recta sencera BE; per tant la parte restant ZC és igual a la part restant ZE. Però CA també és igual a DE. Aleshores els dos costats ZC i CD són iguals als dos costats ZE i ED; i la seva base ZD és comú; aleshores l´angle ZCD és igual a l´angle ZED [I 8]. Però s´ha demostrat també que l´angle BCA és igual a l´angle AEB; aleshores l´angle sencer BCD és igual a l´angle sencer AED. Ara bé, s´ha suposat que l´angle BCD és igual als angles corresponents a A i B; per tant l´angle AED és igual als angles corresponents a A i B. De manera semblant demostrem que l´angle CDE és també igual als angles corresponents a A, B i C. Per tant, el pentàgon ABCDE és equiangular. Però ara que no siguin iguals els angles successius i siguin iguals els corresponents als punts A, C i D. Jo dic que també en aquest cas el pentàgon ABCDE és equiangular. Es dibuixi, així, BD. I com que els dos costats BA i AE són iguals als dos costats BC i CD i comprenen angles iguals, aleshores la base BE és igual a la base BD, i el triangle ABE és igual al triangle BCD, i els angles restants, aquells als quals subtendeixen angles iguales, seràn també iguals respectivament [I 4]. Per tant l´angle AEB és igual a l´angle CDB. Però l´angle BED és també igual a l´angle BDE, perque el costat BE és també igual al costat BD [I 5]. Aleshores, l´angle sencer AED és igual a l´angle sencer CDE. Però s´ha suposat que l´angle CDE és igual als angles A i C; per tant, l´angle AED és igual als corresponents a A i C. Pel mateix l´angle ABC és també igual als angles corresponents a A, C i D. En consequència, el pentàgon ABCDE és equiangular.

Copyright © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets de Traducció al catalą cedits 2002/2003
Jaume Domenech Larraz
info@euclides.org


© Copyfreedom 2012 JDL Euclides.org