PROPOSICIÓ 8 LLIBRE XIII

Proposició 8. Si en un pentàgon equilàter i equiangular, unes rectes oposades a dos angles successius es tallen entre sí en extrema i mitjana raó i els seus segments majors són iguals al costat del pentàgon.

java applet or image

En el pentàgon ABCDE equilàter i equiangular siguin les rectes AC i BE que es tallen en el punt H i subtendeixen dos angles successius, els angles A i B respectivament. Jo dic que cadascun d´ells tallats en extrema i mitjana raó pel punt H i que els seus segments majors són iguals al costat del pentàgon. Sigui circunscrit el cercle ABCDE al pentàgon ABCDE. [IV 14]. Aleshores, donat que les dues línies rectes EA i AB són iguals a les dues rectes AB i BC, i comprenen angles iguales, aleshores la base BE és igual a la base AC, el triangle ABE és igual al triangle ABC, i els angles restants són iguals als angles restants respectivament, que subtendeixen costats iguals també. [I 4]. Aleshores l´angle BAC és igual a l´angle ABE. Aleshores l´angle AHE és doble de l´angle BAH. [I 32]. Però l´angle EAC és també doble de l´angle BAC perque la circumferència EDC és també doble de la circumferència CB [III.28 VI.33]. Aleshores l´angle HAE és igual a l´angle AHE. Per tant la línia recta HE és també igual a EA, és a dir, AB. [I 6]. I, donat que la línia recta BA és igual a AE, aleshores l´angle ABE és també igual a l´angle AEB [I 5]. Però s´ha demostrat que l´angle ABE és igual a l´angle BAH, aleshores l´angle BEA és també igual a l´angle BAH. I l´angle ABE és comú als dos triangles ABE i ABH, aleshores l´angle restant BAE és igual a l´angle restant AHB. Aleshores el triangle ABE és equiangular amb el triangle ABH. [I 32]. Aleshores, proporcionalment EB és a BA com AB és a BH. [VI 4]. Però BA és igual a EH, aleshores BE és a EH com EH és a HB. I BE és major que EH, aleshores EH és també major que HB. [VI 14]. Aleshores BE ha estat tallat en extrema i mitjana raó en el punt H, i el segment major HE és igual al costat del pentàgon. De manera semblant podem demostrar que AC queda tallat en extrema i mitjana raó pel punt H i CH és el segment major igual al costat del pentàgon. Aleshores, si en un pentàgon equilàter i equiangular les línies rectes oposades a dos angles successius es tallen entre sí en extrema i mitjana raó, els seus segments majors són iguals al costat del pentàgon.

 

Copyright © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets de Traducció al catalą cedits 2002/2003
Jaume Domenech Larraz
info@euclides.org


© Copyfreedom 2012 JDL Euclides.org