PROPOSICIÓ 9 LLIBRE XIII

Proposició 9. Si s´uneixen el costat d´un hexàgon i el d´un decàgon inscrits en el mateix cercle, la recta sencera queda tallada en extrema i mitjana raó, i el seu segment major és el costat de l´hexàgon.

java applet or image

Sigui el cercle ABC, i de les figures inscrites en ell sigui BC el costat del decàgon, i CD el costat de l´hexàgon, i estiguin en línia recta. Jo dic que la recta sencera BD queda tallada en extrema i mitjana raó, i CD és el segment major. S´agafi el centre E del cercle i es dibuixin EB, EC, ED i es prolongui BE fins a A [III 1]. Donat que BC és el costat d´un decàgon equilàter, aleshores la circumferència ACB és cinc vegades la circumferència BC. Aleshores la circumferència AC és cuàdruple de CB. Però la circumferència AC és a CB com l´angle AEC és a l´angle CEB. Aleshores l´angle AEC és cuàdruple de l´angle CEB. [VI 33]. I, donat que l´angle EBC és igual a l´angle ECB, aleshores l´angle AEC és doble de l´angle ECB. [ I 5, I 32]. I, donat que la recta EC és igual a CD, perque cadascuna d´elles és igual al costat de l´hexàgon inscrit en el cercle ABC. Aleshores l´angle CED és també igual a l´angle CDE. Aleshores l´angle ECB és doble de l´angle EDC. [IV 15, Cor. I 5, I 32]. Però s´ha demostrat que l´angle AEC és doble de l´angle ECB, aleshores l´angle AEC és cuàdruple de l´angle EDC. I s´ha demostrat que l´angle AEC és cuàdruple de l´angle BEC, aleshores l´angle EDC és igual a l´angle BEC. Però l´angle EBD és comú als dos triangles BEC i BED, aleshores l´angle restant BED és igual a l´angle restant ECB. Aleshores el triangle EBD és equiangular amb el triangle EBC. [I 32]. Aleshores, proporcionalment DB és a BE com EB és a BC. [VI 4]. Però EB és igual a CD. Aleshores BD és a DC com DC és a CB. I BD és major que DC, aleshores DC és també major que CB. Per tant, la línia recta BD ha estat tallada en extrema i mitjana raó, i DC és el segment major. Aleshores, si el costat de l´hexàgon i el costat del decàgon inscrit en el mateix cercle s´uneixen, la recta sencera queda tallada en extrema i mitjana raó i el seu segment major és el costat de l´hexàgon.


Copyright © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets de Traducció al catalą cedits 2002/2003
Jaume Domenech Larraz
info@euclides.org


© Copyfreedom 2012 JDL Euclides.org