English - Catalŕ - Spanish


PROBLEMA D´APOLONI
(Apoloni de Perga, 262-190 a.C.)

Donats tres objectes que poden ser, cadascún d´ells, punts, rectes o circumferčncies, dibuixar una circumferčncia tangent a les tres.

En total hi ha 10 casos






1 - Tres punts
Dibuixar una circumferčncia que passi per tres punts donats.

En altres paraules, consisteix en trobar la circumferčncia circunscrita a un triangle. El centre d´aquesta circumferčncia s´obté fŕcilment, com a intersecció de les mediatrius de dos dels costats del triangle.

índex



2 - Tres rectes
Dibuixar una circumferčncia que sigui tangent a tres rectes donades.

Suposem en primer lloc que les tres rectes donades es tallen dos a dos formant un triangle. Aleshores hi ha quatre circumferčncies tangents a les tres rectes: són les tangents al triangle, tres de les quals  són exteriors i una és interior. Per a obtenir-les, només cal trobar les bisectrius exteriors i interiors dels angles del triangle, produint-se les circumferčncies buscades  en les interseccions d´aquestes rectes.

índex



3 - Dos punts i una recta
Donats dos punts i una recta, trobar una circumferčncia que passi pels dos punts i sigui tangent a la recta.

Si els dos punts donats  A i B estan en una recta paral·lela a la recta donada, el punt de tangčncia amb la recta s´obtindrŕ al tallar amb la mediatriu del segment AB. Ara només es tracta de trobar la circumferčncia que passa per tres punts:

Una altra possibilitat és que, sient els punts exteriors a la recta donada, estiguin ambdos en el mateix costat i no estiguin en una paral·lela a la recta donanda:

Unim els punts A i B donats i allarguem fins a tallar a la recta donada en M. Dibuixem la circumferčncia amb diŕmetre AB, i seguidament una tangent a aquesta desde M. Sient T  el punt de tangčncia, amb centre M i radi MT dibuixem una semicircumferčncia que talla a la recta donada en dos punts P i Q. Per aquests punts passen las circumferčncies buscades, i per tant en aquest cas hi ha dues solucions.

Per últim, considerem el cas en el que un dels dos punts, per exemple B, estŕ contingut en la recta donada.

Per a obtenir el centre de l´única circumferčncia possible, trobem la intersecció de la mediatriu del segmento AB amb la perpendicular a la recta donada dibuixa per B.

índex



4 - Dues rectes i un punt
Donades dues rectes i un punt, trobar una circumferčncia que passi pel punt i sigui tangent a las recta.

Si les rectes es tallen i el punt queda comprčs entre elles, trobarem la bisectriu de l´angle format per les rectes i el simčtric A'  del punt A donat. Aleshores, el problema es redueix al cas de dos punts i una recta (A, A', qualsevol de les rectes donades):

Si el punt donat pertany a una de les rectes donades, dibuixarem les bisectrius dels angles determinats per les dues rectes, i pel punt donat A dibuixarem una perpendicular a la recta que el contingui. Aquesta perpendicular tallarŕ a les bisectrius en els centres de les circumferčncias buscades.

La figura següent mostra la construcció dels casos sencills en que les dues rectes donades siguin paral·leles. El punt A estŕ comprčs entre ambdues rectes, amb la qual cosa dibuixarem una circumferčncia amb centre A i diŕmetre igual a la distŕncia entre les rectes. D´aquesta manera obtindrem els centres de les dues solucions en la intersecció amb la paral·lela mitja. El punt B estŕ en una de les dues rectes donades, per la qual cosa  trobarem el centre de la circumferčncia solució com a intersecció de la paral·lela mitja i la perpendicular a qualsevol de les dues rectes paral·leles que passin pel punt B.

índex



5 - Dos punts i una circumferčncia
Donats dos punts i una circumferčncia, trobar una circumferčncia que passi
pels dos punts i sigui tangent a la circumferčncia donada.

Si cap dels punts donats  A i B estan en la circumferčncia donada, perque hi hagi solució és necessari que ambdos siguin exteriors o interiors. En ambdos casos, la construcció és similar i es mostra en les figures següents:

Trobarem la mediatriu del segment AB i una circumferčncia qualsevol que passi per aquests dos punts i talli a la circumferčncia donada. A continuació, trobarem el punt d´intersecció M de l´eix radical de les dues circumferčncies amb la recta AB.  Des del punt M dibuixarem les rectes tangents a la circumferčncia donada, sient els punts de tangčncia P i Q també punts de tangčncia de les circumferčncias buscades. Per a trobar els seus centres obtenim la intersecció de la mediatriu del segment AB amb les rectes que uneixen P i Q amb el centre de la circumferčncia donada.

Si un dels punts, per exemple el punt B, estŕ en la circumferčncia donada, la construcció també és la mateixa tant si el punt A és exterior com interior a la circumferčncia donada:

En aquest cas unim B amb el centre de la circumferčncia donada i trobem la intersecció de la recta obtinguda amb la mediatriu del segment AB. D´aquesta manera obtenim el centre de la circumferčncia buscada.

índex



6 - Dues circumferčncies i un punt
Donats un punt i dues circumferčncies, trobar una circumferčncia que sigui tangent
a les dues circumferčncies i que passi pel punt.

Considerem en primer lloc el cas en que el punt donat P sigui exterior a ambdues circumferčncies. En aquest cas trobarem els centres d´homotčcia directa H i invers K.  Anomenem A i B als punts de tall de les circumferčncies amb el segment que uneix els centres de les circumferčncies. A continuació, trobarem la circumferčncia que pasa pels punts A, B i P. El segment que uneix el centre d´homotčcia H amb el punt P determina un altre punt M sobre la circumferčncia ABP. Dues de les circumferčncies buscades (de color lila a l´imatge), s´obté trobant les que són tangents a qualsevol de les donades i que passen pels punts P i M (vegeu el cas de dos punts i una circumferčncia).

Les altres dues circumferčncies (de color vermell) s´obtenen repetint el mateix pel centre d´homotčcia K.

En el cas de que el punt donat P pertanyi a una de les circumferčncies es resolt també a partir dels centres d´homotčcia H i K. Des d´H dibuixem una recta que passi per P, tallant a l´altra circumferčncia en M, que resulta ser el punt de tangčncia d´una de les circumferčncies buscades.  Per a trobar el centre de l´altra circumferčncia, trobem la intersecció de les rectes que uneixen els centres de les circumferčncies amb els seus respectius punts de tangčncia M i P. Per a obtenir l´altra circumferčncia, fem el mateix amb K, l´altre centre d´homotčcia.

índex



7 - Dues rectes i una circumferčncia
Donades dues rectes i una circumferčncia, trobar una circumferčncia que sigui tangent
a les dues rectes i a la circumferčncia.

Suposem en primer lloc que la circumferčncia estŕ compresa entre dues rectes. Aleshores, a ambdos costats d´una de les rectes construim rectes paral·leles a una distŕncia igual a la del radi de la circumferčncia donada. Trobem el simčtric O' del centre O de la circumferčncia donada respecte de la bisectriu de l´angle format per les dues rectes. La recta OO' talla en M a una de les paral·leles auxiliars anteriorment dibuixades. Calculem els punts de tangčncia de les rectes tangents a la circumferčncia OO' dibuixades des del punt M. Dibuixem un arc amb centre M  que passi pels punts de tangčncia i talli a la paral·lela utilitzada en els punts A i B. Pels punts A i B aixequem perpendiculars que tallin a la bisectriu en els punts P i Q, centres de dues de les circumferčncies buscades. Les altres dues circumferčncies solució del problema s´obtenen repetint el procediment anterior amb l´altra paral·lela.

En el cas de que la circumferčncia donada sigui tangent a una de les rectes, també hi ha quatre solucions, dos de les quals, les que corresponen a la paral·lela auxiliar exterior s´obtenen com abans. Les altres dues es redueixen al cas de dues rectes que es tallen, conegut el punto de tangčncia d´una d´elles (dues rectes i un punt).

índex



8 - Dues circumferčncies i una recta
Donades dues circumferčncies i una recta, trobar una circumferčncia
que sigui tangent a les dues circumferčncias i a la recta.

Aquest complicat cas, amb vuit solucions, es resol per reducció al cas d´un punt (el centre d´una de les circumferčncies), una recta (una paral·lela a les donades) i una circumferčncia (una circumferčncia concčntrica a la donada). Les circumferčncies concčntriques a una de les circumferčncies donades  tenen de radi R + r i R - r sient R i r els radis de les circumferčncies donades i les paral·leles a la recta es dibuixen a distŕncia r de la recta donada.
Així, aquestes quatre circumferčncies s´han obtingut considerant una circumferčncia concčntrica de radi R + r; de les quatre circumferčncies, dues s´obtenen amb una de les paral·leles i les altres dues amb l´altra.

Aquestes quatre circumferčncies solució s´obtenen considerant ara una circumferčncia concčntrica de radi R - r i de nou, dues amb una de les paral·leles i les altres dues amb l´altra.

Aquí podem veure les vuit solucions en una mateixa figura.

índex



9 - Un punt, una recta i una circumferčncia
Donats un punt, una recta i una circumferčncia, trobar una circumferčncia
que passi pel punt i sigui tangent tant a la recta com a la circumferčncia.

En el cas de que el punt no estigui ni a la recta ni a la circumferčncia, el problema pot tenir  quatre solucions. En la figura següent hem dibuixat una perpendicular a la recta donada que passa pel centre de la circumferčncia donada. Aquesta recta determina el diŕmetre AB en la circumferčncia donada i talla en M a la recta donada.

Comencem trobant una circumferčncia (blau, petita) que passa per B, M i el punt donat P.
Unim A amb el punt P i obtenim el punt Q sobre la circumferčncia. Ara tornem al cas del problema d´Apoloni per a la recta donada i els punts P i Q (dos punts i una recta), i obtenim dues de les circumferčncies buscades (de color magenta). Les altres dues circumferčncies buscades (de color vermell a la figura), s´obtenen intercanviant els papers dels extrems A i B del diŕmetre obtingut en la circumferčncia donada.
A continuació es mostra la construcció en el cas en que el punt donat P estŕ a la recta donada:

Els centres H i K de les circumferčncies buscades estarŕn en la perpendicular pel punt P a la recta donada. Per a obtenir-los, dibuixem un diŕmetre AB perpendicular a la circumferčncia donada. A l´unir A i B amb P obtenim els punts de tangčncia M i N, respectivament. Unint M i N amb el centre de la circumferčncia donada, resulten els punts H i K.
Per últim, vegem el cas en que el punt donat P estŕ en la circumferčncia donada.

En aquest cas, els centres H i K de les dues circumferčncies solució estarŕn en la recta que uneix el centre de la circumferčncia donada i el punt de tangčncia P. De nou, dibuixem un diŕmetre AB i unim els seus extrems amb el punt P. D´aquesta manera obtenim els punts M i N sobre la recta donada. Sobre aquests punts aixequem perpendiculars a la recta donada que determinarŕn els punts H i K sobre la recta que uneix el punt P i el centre de la circumferčncia donada.

índex



10 - Tres circumferčncies


Considerem l´interesant cas de les tres circumferčncies. En general, depenent de la posició relativa de les tres circumferčncies, hi pot haber fins a vuit solucions. La següent figura, mostra aquesta situació en la que s´han obtingut vuit solucions. En la figura, les vuit solucions apareixen colorejades dues a dues, fet que a més
d´afavorir la visualització, té a veure amb el mčtode per a obtenir les solucions.

Com s´han obtingut aquestes solucions? En primer lloc,  calculem els sis centres de homotčcia (tres interns i tres externs) dels tres cercles. Aquests sis punts resulten estar situats en quatre rectes. Agafem una d´aquestes rectes i trobem el pol respecte de cadascuna de les tres circumferčncies. Unim el centre radical de les circumferčncies amb els tres pols i obtenim els punts de tangčncia de les circumferčncies buscades amb les circumferčncias donades.  Ara només cal triar convenientment entre els sis punts de tangčncia trobats per a dibuixar dues circumferčncies tangents. Aquest mateix procés es repeteix amb les altres tres rectes determinades pels centres d´homotčcia i obtenim les vuit solucions al problema d´ Apoloni.
A continuació podem veure una animació mostrant la construcció anterior.

Si les circumferčncies de partida són tangentes, aleshores les vuit solucions es confonen en dues,
anomenades circumferčncies de Soddy.

índex



Copyright Applet © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets d´ús cedits 2002/2003
JDL
Primera Edició Catalá-Castellà ®2006

© Copyright 2006 JDL euclides.org