PROBLEMA
D´APOLONI
(Apoloni de Perga, 262-190 a.C.)
Donats tres
objectes que poden ser, cadascún d´ells, punts,
rectes o circumferčncies, dibuixar una
circumferčncia tangent a les tres.
En total hi ha 10 casos
1 - Tres punts
Dibuixar una
circumferčncia que passi per tres punts donats.
| En altres paraules, consisteix
en trobar la circumferčncia circunscrita a un
triangle. El centre d´aquesta circumferčncia
s´obté fŕcilment, com a intersecció de les
mediatrius de dos dels costats del triangle. |
índex
2 - Tres rectes
Dibuixar una
circumferčncia que sigui tangent a tres rectes donades.
| Suposem en primer lloc que les
tres rectes donades es tallen dos a dos formant
un triangle. Aleshores hi ha quatre
circumferčncies tangents a les tres rectes: són
les tangents al triangle, tres de les quals
són exteriors i una és interior. Per a
obtenir-les, només cal trobar les bisectrius
exteriors i interiors dels angles del triangle,
produint-se les circumferčncies buscades
en les interseccions d´aquestes rectes. |
índex
3 - Dos punts i una recta
Donats dos punts i
una recta, trobar una circumferčncia que passi pels dos
punts i sigui tangent a la recta.
Si els dos punts donats A
i B estan en una recta paral·lela a la
recta donada, el punt de tangčncia amb la recta
s´obtindrŕ al tallar amb la mediatriu del
segment AB. Ara només es tracta de trobar
la circumferčncia que passa per tres punts:
Una altra
possibilitat és que, sient els punts
exteriors a la recta donada, estiguin
ambdos en el mateix costat i no estiguin
en una paral·lela a la recta donanda:
Unim
els punts A i B
donats i allarguem fins a tallar
a la recta donada en M.
Dibuixem la circumferčncia amb
diŕmetre AB, i
seguidament una tangent a aquesta
desde M. Sient T
el punt de tangčncia, amb centre
M i radi MT
dibuixem una semicircumferčncia
que talla a la recta donada en
dos punts P i Q.
Per aquests punts passen las
circumferčncies buscades, i per
tant en aquest cas hi ha dues
solucions.
|
|
Per últim,
considerem el cas en el que un dels dos punts,
per exemple B, estŕ contingut en la recta
donada.
Per a
obtenir el centre de l´única
circumferčncia possible, trobem la
intersecció de la mediatriu del segmento
AB amb la perpendicular a la recta
donada dibuixa per B.
|
|
índex
4 - Dues rectes i un punt
Donades dues rectes
i un punt, trobar una circumferčncia que passi pel punt
i sigui tangent a las recta.
| Si les rectes es tallen i el
punt queda comprčs entre elles, trobarem la
bisectriu de l´angle format per les rectes i el
simčtric A' del punt A
donat. Aleshores, el problema es redueix al cas
de dos punts i una recta (A, A',
qualsevol de les rectes donades): Si el punt donat
pertany a una de les rectes donades, dibuixarem
les bisectrius dels angles determinats per les
dues rectes, i pel punt donat A dibuixarem
una perpendicular a la recta que el contingui.
Aquesta perpendicular tallarŕ a les bisectrius
en els centres de les circumferčncias buscades.
La figura
següent mostra la construcció dels casos
sencills en que les dues rectes donades siguin
paral·leles. El punt A estŕ comprčs
entre ambdues rectes, amb la qual cosa dibuixarem
una circumferčncia amb centre A i
diŕmetre igual a la distŕncia entre les rectes.
D´aquesta manera obtindrem els centres de les
dues solucions en la intersecció amb la
paral·lela mitja. El punt B estŕ en una
de les dues rectes donades, per la qual
cosa trobarem el centre de la
circumferčncia solució com a intersecció de la
paral·lela mitja i la perpendicular a qualsevol
de les dues rectes paral·leles que passin pel
punt B.
|
índex
5 - Dos punts i una circumferčncia
Donats dos punts i
una circumferčncia, trobar una circumferčncia que passi
pels dos punts i sigui tangent a la circumferčncia
donada.
| Si cap dels punts donats
A i B estan en la circumferčncia
donada, perque hi hagi solució és necessari que
ambdos siguin exteriors o interiors. En ambdos
casos, la construcció és similar i es mostra en
les figures següents: Trobarem la
mediatriu del segment AB i una
circumferčncia qualsevol que passi per aquests
dos punts i talli a la circumferčncia donada. A
continuació, trobarem el punt d´intersecció M
de l´eix radical de les dues circumferčncies
amb la recta AB. Des del punt M
dibuixarem les rectes tangents a la
circumferčncia donada, sient els punts de
tangčncia P i Q també punts de
tangčncia de les circumferčncias buscades. Per
a trobar els seus centres obtenim la intersecció
de la mediatriu del segment AB amb les
rectes que uneixen P i Q amb el
centre de la circumferčncia donada.
Si un dels punts, per exemple
el punt B, estŕ en la circumferčncia
donada, la construcció també és la mateixa
tant si el punt A és exterior com
interior a la circumferčncia donada:
En aquest cas
unim B amb el centre de la circumferčncia
donada i trobem la intersecció de la recta
obtinguda amb la mediatriu del segment AB.
D´aquesta manera obtenim el centre de la
circumferčncia buscada.
|
índex
6 - Dues circumferčncies i
un punt
Donats un punt i dues circumferčncies, trobar una
circumferčncia que sigui tangent
a les dues circumferčncies i que passi pel punt.
Considerem en primer lloc el
cas en que el punt donat P sigui exterior a
ambdues circumferčncies. En aquest cas trobarem
els centres d´homotčcia directa H i
invers K. Anomenem A i B
als punts de tall de les circumferčncies amb el
segment que uneix els centres de les
circumferčncies. A continuació, trobarem la
circumferčncia que pasa pels punts A, B
i P. El segment que uneix el centre
d´homotčcia H amb el punt P
determina un altre punt M sobre la
circumferčncia ABP. Dues de les
circumferčncies buscades (de color lila a
l´imatge), s´obté trobant les que són
tangents a qualsevol de les donades i que passen
pels punts P i M (vegeu el cas de
dos punts i una circumferčncia).
Les altres dues
circumferčncies (de color vermell) s´obtenen
repetint el mateix pel centre d´homotčcia K.
En el cas de que el punt donat P
pertanyi a una de les circumferčncies es resolt
també a partir dels centres d´homotčcia H
i K. Des d´H dibuixem una recta que passi
per P, tallant a l´altra circumferčncia
en M, que resulta ser el punt de
tangčncia d´una de les circumferčncies
buscades. Per a trobar el centre de
l´altra circumferčncia, trobem la intersecció
de les rectes que uneixen els centres de les
circumferčncies amb els seus respectius punts de
tangčncia M i P. Per a obtenir
l´altra circumferčncia, fem el mateix amb K,
l´altre centre d´homotčcia.
|
índex
7 - Dues rectes i una
circumferčncia
Donades dues rectes
i una circumferčncia, trobar una circumferčncia que
sigui tangent
a les dues rectes i a la circumferčncia.
| Suposem en primer lloc que la
circumferčncia estŕ compresa entre dues rectes.
Aleshores, a ambdos costats d´una de les rectes
construim rectes paral·leles a una distŕncia
igual a la del radi de la circumferčncia donada.
Trobem el simčtric O' del centre O
de la circumferčncia donada respecte de la
bisectriu de l´angle format per les dues rectes.
La recta OO' talla en M a una de les paral·leles
auxiliars anteriorment dibuixades. Calculem els
punts de tangčncia de les rectes tangents a la
circumferčncia OO' dibuixades des del
punt M. Dibuixem un arc amb centre M
que passi pels punts de tangčncia i talli a la
paral·lela utilitzada en els punts A i B.
Pels punts A i B aixequem
perpendiculars que tallin a la bisectriu en els
punts P i Q, centres de dues de les
circumferčncies buscades. Les altres dues
circumferčncies solució del problema s´obtenen
repetint el procediment anterior amb l´altra
paral·lela. En el cas de que
la circumferčncia donada sigui tangent a una de
les rectes, també hi ha quatre solucions, dos de
les quals, les que corresponen a la paral·lela
auxiliar exterior s´obtenen com abans. Les
altres dues es redueixen al cas de dues rectes
que es tallen, conegut el punto de tangčncia
d´una d´elles (dues rectes i un punt).
|
índex
8 - Dues circumferčncies i
una recta
Donades dues
circumferčncies i una recta, trobar una circumferčncia
que sigui tangent a les dues circumferčncias i a la
recta.
Aquest complicat cas, amb vuit
solucions, es resol per reducció al cas d´un
punt (el centre d´una de les circumferčncies),
una recta (una paral·lela a les donades) i una
circumferčncia (una circumferčncia concčntrica
a la donada). Les circumferčncies concčntriques
a una de les circumferčncies donades tenen
de radi R + r i R - r
sient R i r els radis de les circumferčncies
donades i les paral·leles a la recta es dibuixen
a distŕncia r de la recta donada.
Així, aquestes quatre circumferčncies s´han
obtingut considerant una circumferčncia
concčntrica de radi R + r; de
les quatre circumferčncies, dues s´obtenen amb
una de les paral·leles i les altres dues amb
l´altra. Aquestes quatre
circumferčncies solució s´obtenen considerant
ara una circumferčncia concčntrica de radi R
- r i de nou, dues amb una de les
paral·leles i les altres dues amb l´altra.
Aquí podem
veure les vuit solucions en una mateixa figura.
|
índex
9 - Un punt, una recta i una
circumferčncia
Donats un punt, una
recta i una circumferčncia, trobar una circumferčncia
que passi pel punt i sigui tangent tant a la recta com a
la circumferčncia.
| En el cas de que el punt no
estigui ni a la recta ni a la circumferčncia, el
problema pot tenir quatre solucions.
En la figura següent hem dibuixat una
perpendicular a la recta donada que passa pel
centre de la circumferčncia donada. Aquesta
recta determina el diŕmetre AB en la
circumferčncia donada i talla en M a la
recta donada. Comencem trobant
una circumferčncia (blau, petita) que passa per B,
M i el punt donat P.
Unim A amb el punt P i obtenim el
punt Q sobre la circumferčncia. Ara tornem al
cas del problema d´Apoloni per a la recta donada
i els punts P i Q (dos punts i una
recta), i obtenim dues de les circumferčncies
buscades (de color magenta). Les altres dues
circumferčncies buscades (de color vermell a la
figura), s´obtenen intercanviant els papers dels
extrems A i B del diŕmetre
obtingut en la circumferčncia donada.
A continuació es mostra la construcció en el
cas en que el punt donat P estŕ a la
recta donada:
Els centres H
i K de les circumferčncies buscades
estarŕn en la perpendicular pel punt P a
la recta donada. Per a obtenir-los, dibuixem un
diŕmetre AB perpendicular a la
circumferčncia donada. A l´unir A i B
amb P obtenim els punts de tangčncia M
i N, respectivament. Unint M i N
amb el centre de la circumferčncia donada,
resulten els punts H i K.
Per últim, vegem el cas en que el punt donat P
estŕ en la circumferčncia donada.
En aquest cas,
els centres H i K de les dues
circumferčncies solució estarŕn en la recta
que uneix el centre de la circumferčncia donada
i el punt de tangčncia P. De nou,
dibuixem un diŕmetre AB i unim els seus
extrems amb el punt P. D´aquesta manera
obtenim els punts M i N sobre la
recta donada. Sobre aquests punts aixequem
perpendiculars a la recta donada que
determinarŕn els punts H i K sobre
la recta que uneix el punt P i el centre
de la circumferčncia donada.
|
índex
10 - Tres circumferčncies
Considerem l´interesant cas de les tres
circumferčncies. En general, depenent de la posició
relativa de les tres circumferčncies, hi pot haber fins
a vuit solucions. La següent figura, mostra aquesta
situació en la que s´han obtingut vuit solucions. En la
figura, les vuit solucions apareixen colorejades dues a
dues, fet que a més
d´afavorir la visualització, té a veure amb el mčtode
per a obtenir les solucions.
Com s´han obtingut
aquestes solucions? En primer lloc, calculem els
sis centres de homotčcia (tres interns i tres externs)
dels tres cercles. Aquests sis punts resulten estar
situats en quatre rectes. Agafem una d´aquestes rectes i
trobem el pol respecte de cadascuna de les tres
circumferčncies. Unim el centre radical de les
circumferčncies amb els tres pols i obtenim els punts de
tangčncia de les circumferčncies buscades amb les
circumferčncias donades. Ara només cal triar
convenientment entre els sis punts de tangčncia trobats
per a dibuixar dues circumferčncies tangents.
Aquest mateix procés es repeteix amb les altres tres
rectes determinades pels centres d´homotčcia i obtenim
les vuit solucions al problema d´ Apoloni.
A continuació podem veure una animació mostrant la
construcció anterior.
Si les
circumferčncies de partida són tangentes, aleshores les
vuit solucions es confonen en dues,
anomenades circumferčncies de Soddy.
índex
|
