PROBLEMA DE MALFATTI
El problema de Malfatti
consisteix en inscriure tres circumferències en un
triangle, de tal manera que les circumferències siguin
totes tangents entre sí i també siguin tangents
cadascuna d´elles a dos costats del triangle:
Aquest problema fou
proposat per Gian Francesco Malfatti (1731-1807) i
fou resolt en el X volum de Memorie di Matematica e di
Fisica della Società italiana delle Scienze..
A continuació es mostra una manera,
una mica complicada, de resoldre el problema de Malfatti:
- Las rectes blaves
són les bisectrius interiors del triangle donat,
que es tallen en l´incentre del triangle.
- Anomenem I a aquest
incentre, que en la figura apareix com un punt
blau gruixut, hem anomenat U, V i W
als incentres dels triangles ABI, BCI
i CAI, respectivament.
- Amb línies grises, estàn units
els punts U, V i W.
- La bisectriu (blava) que passa per
A talla a la recta VW en P.
- La recta vermella que passa per P
s´obté de la següent manera: Es dibuixa la
perpendicular a WV que passa per P
i es fa la simetria de la bisectriu que per A
respecte d´aquesta perpendicular. De manera
semblant s´obtenen les rectes vermelles per Q
i R. Les tres rectes vermelles són
concurrents en un punt M, que en la figura
apareix com un punt vermell gruixut.
- La recta vermella que és
simètrica de la bisectriu que passa per A
talla al costat oposat en D. De manera
anàloga, les altres rectes vermelles tallen als
costats corresponents en E i F.
- Els quadrilàters AFME, FBDM i
MDCE són circumscribibles: tenen la
propietat de poder inscriure un circumferència
en cadascun d´ells i aquests són les
circumferències que busquem.
Les circumferències obtingudes
s´anomenen circumferències de Malfatti.
Punts de Malfatti
Los circumferències de Malfatti cumpleixen la següent
propietat: les rectes que uneixen els vèrtexs amb els
punts de tangència de les circumferències es tallen en
un punt, que s´anomena primer punt de Malfatti.
Una altra propietat
d´aquestes circumferències es pot veure en la següent
figura:
A l´unir
els punts d´intersecció de les tres circumferències de
Malfatti amb els corresponents excentres del triangle
original, s´obtenen rectes que són concurrents, i el
punt comú s´anomena segon punt de Malfatti.
|
