PROBLEMA DE MALFATTI

El problema de Malfatti consisteix en inscriure tres circumferències en un triangle, de tal manera que les circumferències siguin totes tangents entre sí i també siguin tangents cadascuna d´elles a dos costats del triangle:

Aquest problema fou proposat per Gian Francesco Malfatti (1731-1807) i fou resolt en el X volum de Memorie di Matematica e di Fisica della Società italiana delle Scienze..

A continuació es mostra una manera, una mica complicada, de resoldre el problema de Malfatti:

  • Las rectes blaves són les bisectrius interiors del triangle donat, que es tallen en l´incentre del triangle.
  • Anomenem I a aquest incentre, que en la figura apareix com un punt blau gruixut, hem anomenat U, V i W als incentres dels triangles ABI, BCI i CAI, respectivament.
  • Amb línies grises, estàn units els punts U, V i W.
  • La bisectriu (blava) que passa per A talla a la recta VW en P.
  • La recta vermella que passa per P s´obté de la següent manera: Es dibuixa la perpendicular a WV que passa per P i es fa la simetria de la bisectriu que per A respecte d´aquesta perpendicular. De manera semblant s´obtenen les rectes vermelles per Q i R. Les tres rectes vermelles són concurrents en un punt M, que en la figura apareix com un punt vermell gruixut.
  • La recta vermella que és simètrica de la bisectriu que passa per A talla al costat oposat en D. De manera anàloga, les altres rectes vermelles tallen als costats corresponents en E i F.
  • Els quadrilàters AFME, FBDM i MDCE són circumscribibles: tenen la propietat de poder inscriure un circumferència en cadascun d´ells i aquests són les circumferències que busquem.

Les circumferències obtingudes s´anomenen circumferències de Malfatti.

Punts de Malfatti
Los circumferències de Malfatti cumpleixen la següent propietat: les rectes que uneixen els vèrtexs amb els punts de tangència de les circumferències es tallen en un punt, que s´anomena primer punt de Malfatti.

Una altra propietat d´aquestes circumferències es pot veure en la següent figura:

A l´unir els punts d´intersecció de les tres circumferències de Malfatti amb els corresponents excentres del triangle original, s´obtenen rectes que són concurrents, i el punt comú s´anomena segon punt de Malfatti.
 


JAUME DOMENECH LARRAZ
PROFESSOR DE DIBUIX/VISUAL I PLÀSTICA/TIC
info@dibuixtecnic.com

© Copyright 2002/2003