RECTA D´EULER Euler (Leonhard Euler, 1707-1783) es va donar compte de que el baricentre, el circumcentre i l´ortocentre d´un triangle estàn alineats.
En la següent figura, siguin M i N els punts mitjos dels costats AC i BC respectivament. Aleshores AM i BN són dues mitjanes del triangle ABC. Sigui G el punt on es tallen i siguin Q i R els punts mitjos dels segments AG i BG, respectivament.
MN és una línia paral·lela a AB que divideix als altres costats AC i BC per la meitat. Per això, la longitut de MN és la meitat de la longitud AB. A QR li passa el mateix en el triangle ABG. Al ser aleshores QR i MN són iguals i paralels. Per tant MNQR és un paral·lelogram. Com que les diagonals d´un paral·lelogram es tallen en els seus respectius punts mitjos, deduïm que AQ = QG = GM. Per tant G és un punt de trisecció de ambdues medianes AM i BN, i de manera semblant, de la mitjana que passa per C. A G se l´anomena baricentre, el que els físics anomenen centre de gravetat del triangle considerat com una làmina prima de densitat uniforme. El circumcentre O és el centre de la circumferència circumscrita al triangle. Hi ha només una circumferència circumscrita a un triangle, ja que una circumferència queda determinada per tres punts. El circumcentre és l´únic punt que està a la mateixa distància dels tres vèrtexs, amb la qual cosa coincideix amb l´intersecció de les tres mediatrius del triangle. Recordem que s´anomena mediatriu d´un segment a la recta perpendicular al segment que passa pel punt mig. En la següent figura s´han dibuixat el triangle ABC, la mitjana CM que conté el baricentre G i la circumferència circumscrita amb centre O.
Sobre la mateixa figura hem dibuixat un punt H cumplint l´igualtat HG = 2·GO. Com que també es cumpleix que CG = 2·GM, per ser G el baricentre, els triangles GCH i GMO són semblants, amb la qual cosa els angles GCH i GMO són iguals. Que aquests angles siguin iguals, ens porta a que CH és paral·lela a OM i perpendicular a AB (recordem que OM és una part de la mediatriu del segment AB). Aleshores, CH és també part de l´altura que passa per C. Com que H està determinat únicament per P i G, podem repetir el procés amb AH i BH i obtenir :
Observeu el següent applet i les diferents relacions que s´estableixen en el triangle. |
