TEOREMA DE CEVA

Les rectes que uneixen els vèrtex d´un triangle amb un punt dels seu pla, determinen sobre els costats sis segments de tal manera que la raó del producte de tres d´ells sense extrems comuns, al producte dels altres tres, és igual a -1.
Siguin X, Y, Z punts dels costats BC, CA i AB respectivament d´un triangle ABC. Els segments AX, BY y CZ es denominen "cevianes", terme que procedeix del matemàtic italià Giovanni Ceva (1647-1734).
Aquí, podem veure tres "cevianes" d´un triangle cumplint el teorema de Ceva.

El teorema de Ceva afirma:

Si les tres "cevianes" AX, BY y CZ són concurrents, aleshores

Demostració del teorema

La següent demostració es basa en que les àrees dels triangles amb altures iguals són proporcionals a les bases dels triangles. Suposem que las tres "cevianes" AX, BY i CX es tallen en un punt P.

Aleshores

De la mateixa manera, s´obté que

Multiplicant

El recíproc del teorema de Ceva també és cert. És a dir, es cumpleix que
Suposem que les tres "cevianes" AX, BY y CZ cumpleixen

Aleshores les tres "cevianes" són concurrents.



JAUME DOMENECH LARRAZ
PROFESSOR DE DIBUIX/VISUAL I PLÀSTICA/TIC
info@dibuixtecnic.com

© Copyright 2002/2003