TEOREMA DE
PASCAL
Qualsevol hexàgon inscrit en una
circumferència, els punts d´intersecció dels costats
oposats estan en línia recta.
El teorema de Pascal, descobert per Blaise Pascal
(1623-1662) a l´edat de 16 anys es refereix a punts aliniats:
Si els 6 vèrtex
d´un hexàgon estan situats en una cònica i els tres
parells de costats oposats es tallen,
aleshores els punts d´ intersecció estàn aliniats.
A la recta que conté els tres
punts d´intersecció se la coneix com a recta de
Pascal.
A continuació vegeu com es cumpleix el teorema de Pascal
en una elipse i en una paràbola.
Aquest teorema pot
demostrar-se mitjançant el teorema de Menelao.
El teorema dual del teorema de Pascal és el teorema de Brianchon.
El teorema de Pascal no acaba aquí. Perque donats 6
punts, no podem trobar només una recta de Pascal.
A partir de 6 punts és possible considerar 60 hexàgons
diferents, que pel Teorema de Pascal donen lloc a 60
rectes de Pascal. Aquestes rectes passen tres a tres per
20 punts, anomenats punts de Steiner. Al mateix
temps, aquests 20 punts estàn quatre a quatre en 15
rectes anomenades rectes de Plücker.
Les rectes de Pascal també es tallen tres a tres en un
altre conjunt de punts, anomenats punts de Kirkman,
dels quals n´hi ha 60. Associat a cada punt de Steiner
hi ha tres punts de Kirkman de tal manera que els quatre
estan en una recta, anomenada recta de Cayley. En
total hi ha 20 rectes de Cayley, que concorren quatre a
quatre en 15 punts, anomenats punts de Salmon.
Casos límit
El teorema de Pascal admet casos límit
fent coincidir dos vèrtexs seguits de l´hexàgon i
substituint el costat corresponent per la recta tangent
pel punt corresponent.
Per exemple,
En qualsevol
pentàgon inscrit en una cònica, el punt comú a la
tangent per un vèrtex i el costat oposat, i els
punts d´ intersecciò dels altres costats no
consecutius, són tres punts aliniats.
En la figura, la recta
tangent (de color vermell) a un dels punts ha substituit
a un dels costats de l´hexàgon.
Per a un quadrilàter
podem expressar:
En qualsevol
quadrilàter inscrit en una cònica, si es dibuixen
tangents en vèrtexs extrems d´un costat, el punt
d´intersecció d´aquest amb el seu oposat i els
punts d´intersecció de cadascuna de les tangents
amb el costat que passa pel punt de contacte de
l´altre, són tres punts en línia recta.
O també:
En qualsevol
quadrilàter inscrit en una cònica, els punts
d´intersecció dels costats oposats i els
d´intersecció de tangents en vèrtexs oposats són
quatre punts en línia recta.
Per últim, per a un
triangle:
En qualsevol
triangle inscrit en una cònica, els punts
d´intersecció dels costats amb les tangents
dibuixades passant pels vèrtexs oposats, són tres
punts en línia recta.
|
