TEOREMA DE PASCAL

Qualsevol hexàgon inscrit en una circumferència, els punts d´intersecció dels costats oposats estan en línia recta.
El teorema de Pascal, descobert per Blaise Pascal (1623-1662) a l´edat de 16 anys es refereix a punts aliniats:
Si els 6 vèrtex d´un hexàgon estan situats en una cònica i els tres parells de costats oposats es tallen,
aleshores els punts d´ intersecció estàn aliniats.
A la recta que conté els tres punts d´intersecció se la coneix com a recta de Pascal.
A continuació vegeu com es cumpleix el teorema de Pascal en una elipse i en una paràbola.

Aquest teorema pot demostrar-se mitjançant el teorema de Menelao.
El teorema dual del teorema de Pascal és el
teorema de Brianchon.
El teorema de Pascal no acaba aquí. Perque donats 6 punts,  no podem trobar només una recta de Pascal.
A partir de 6 punts és possible considerar 60 hexàgons diferents, que pel Teorema de Pascal donen lloc a 60 rectes de Pascal. Aquestes rectes passen tres a tres per 20 punts, anomenats punts de Steiner. Al mateix temps, aquests 20 punts estàn quatre a quatre en 15 rectes anomenades rectes de Plücker.
Les rectes de Pascal també es tallen tres a tres en un altre conjunt de punts, anomenats punts de Kirkman, dels quals n´hi ha 60. Associat a cada punt de Steiner hi ha tres punts de Kirkman de tal manera que els quatre estan en una recta, anomenada recta de Cayley. En total hi ha 20 rectes de Cayley, que concorren quatre a quatre en 15 punts, anomenats punts de Salmon.

Casos límit

El teorema de Pascal admet casos límit fent coincidir dos vèrtexs seguits de l´hexàgon i substituint el costat corresponent per la recta tangent pel punt corresponent.

Per exemple,

En qualsevol pentàgon inscrit en una cònica, el punt comú a la tangent per un vèrtex i el costat oposat, i els punts d´ intersecciò dels altres costats no consecutius, són tres punts aliniats.

En la figura, la recta tangent (de color vermell) a un dels punts ha substituit a un dels costats de l´hexàgon.

Per a un quadrilàter podem expressar:

En qualsevol quadrilàter inscrit en una cònica, si es dibuixen tangents en vèrtexs extrems d´un costat, el punt d´intersecció d´aquest amb el seu oposat i els punts d´intersecció de cadascuna de les tangents amb el costat que passa pel punt de contacte de l´altre, són tres punts en línia recta.

O també:

En qualsevol quadrilàter inscrit en una cònica, els punts d´intersecció dels costats oposats i els d´intersecció de tangents en vèrtexs oposats són quatre punts en línia recta.

Per últim, per a un triangle:

En qualsevol triangle inscrit en una cònica, els punts d´intersecció dels costats amb les tangents dibuixades passant pels vèrtexs oposats, són tres punts en línia recta.

 

 

JAUME DOMENECH LARRAZ
PROFESSOR DE DIBUIX/VISUAL I PLÀSTICA/TIC
info@dibuixtecnic.com

© Copyright 2002/2003