TEOREMA DE THALES

Aquests són dos resultats que es coneixen com a Teorema de Thales
(Thales de Mileto, 624-547 a.C.):

  1. Quan dues rectes paral·leles tallen a dues rectes secants, determinen sobre aquestes segments proporcionals
  2. L´angle inscrit en una semicircumferència és recta.

1. En la figura següent les paral·leles BC i DE tallen a les secants AB i AC. A més a més, s´han dibuixat les altures DK i EH del triangle ADE. Es representa amb (XYZ) l´àrea del triangle XYZ.



(BDE) = (CED) perque tots dos triangles tenen la mateixa base DE i la mateixa altura (distància entre paral·leles).
(ADE) = (1/2) AD HE = (1/2) AE DK
(BDE) = (1/2) BD HE;    (CED) = (1/2) CE DK
(ADE) : (BDE) = (ADE) : (CED)
AD : BD = AE : CE

2. L´angle inscrit en una semicircumferència és recta.


El teorema de Thales diu que l´angle A és recta, perque està inscrit en una semicircumferència.

Thales hauria pogut utilitzar aquesta figura per demostrar el seu teorema.

Sir Thomas L. Heath, en el seu llibre Greek Mathematics aventura que Thales podria haber demostrat el teorema raonant de la següent manera sobre la figura del rectangle ABCD:

Igual que en els triangles ADC, BCD, els costats AD, DC són iguals a BC, CD respectivament, i els angles compresos (ambdos rectes) són iguals, els triangles són iguals en tots els aspectes. Per tant, l´angle ACD (o sigui,  OCD) és igual a l´angle BDC (o sigui, ODC). D´ aquí es dedueix, pel recíproc de la proposició 5 del Libro I dels Elements
d ´Euclides, conegut per Thales, que OC = OD. De manera semblant es podria demostrar que OD=OA. Per tant, OA, OD, OC (i OB) són tots iguals, i una circumferència amb centre O i centre OA passaria per B, C i D. Ara, AOC, per ser una línia recta, és un diàmetre de la circumferència i ADC és una semicircumferència. L´angle ADC és un angle inscrit en una circumferència i és recta per hipòtesis.

A continuació es mostra la demostració que apareix a la Proposició 32 del Libre III dels Elements d´Euclides:

java applet or image

java applet or image

Com que OA i OB són iguals, els angles ABO i BOA també són iguals i com que OA i OC són iguals, els angles OAC i OCA són iguals. Per tant, BAC és la suma d´ ABC i ACB.
Tenint en compte que la suma dels tres angles d´un triangle BAC ha de ser recte.
 

 

Jaume Domenech Larraz
Professor de Dibuix
info@dibuixtecnic.com

© Copyfreedom 2012 Online since 2002