TEOREMA DE
THALES
Aquests són dos
resultats que es coneixen com a Teorema de Thales
(Thales de Mileto, 624-547 a.C.):
- Quan dues
rectes paral·leles tallen a dues rectes
secants, determinen sobre aquestes segments
proporcionals
- L´angle
inscrit en una semicircumferència és recta.
1. En la figura següent
les paral·leles BC i DE tallen a les
secants AB i AC. A més a més, s´han
dibuixat les altures DK i EH del triangle ADE.
Es representa amb (XYZ) l´àrea del triangle XYZ.
(BDE) = (CED)
perque tots dos triangles tenen la mateixa base DE
i la mateixa altura (distància entre paral·leles).
(ADE) = (1/2) AD HE =
(1/2) AE DK
(BDE) = (1/2) BD HE;
(CED) = (1/2) CE DK
(ADE) : (BDE) = (ADE) : (CED)
AD
: BD = AE : CE
2.
L´angle inscrit en una semicircumferència és recta.
El teorema de Thales diu que
l´angle A és recta, perque està inscrit en una
semicircumferència.
|
Thales hauria
pogut utilitzar aquesta figura per demostrar el
seu teorema.
|
Sir Thomas L. Heath, en
el seu llibre Greek Mathematics aventura que
Thales podria haber demostrat el teorema raonant de la
següent manera sobre la figura del rectangle ABCD:
Igual que en els triangles ADC,
BCD, els costats AD, DC són
iguals a BC, CD respectivament, i els
angles compresos (ambdos rectes) són iguals, els
triangles són iguals en tots els aspectes. Per tant,
l´angle ACD (o sigui, OCD) és
igual a l´angle BDC (o sigui, ODC).
D´ aquí es dedueix, pel recíproc de la proposició
5 del Libro I dels Elements
d ´Euclides, conegut per Thales, que OC = OD.
De manera semblant es podria demostrar que OD=OA.
Per tant, OA, OD, OC (i OB)
són tots iguals, i una circumferència amb centre O
i centre OA passaria per B, C i D. Ara, AOC,
per ser una línia recta, és un diàmetre de la
circumferència i ADC és una semicircumferència.
L´angle ADC és un angle inscrit en una circumferència
i és recta per hipòtesis.
A continuació es
mostra la demostració que apareix a la Proposició
32 del Libre III dels Elements d´Euclides:
Com que OA i OB
són iguals, els angles ABO i BOA també
són iguals i com que OA i OC són iguals,
els angles OAC i OCA són iguals. Per tant,
BAC és la suma d´ ABC i ACB.
Tenint en compte que la suma dels tres angles d´un
triangle BAC ha de ser recte.
|