PROPOSICIÓN 4 LIBRO I

Proposición 4. Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, y tienen los ángulos comprendidos iguales,  entonces también tendrán las bases iguales, y los triángulos serán iguales, y los ángulos restantes serán iguales, concretamente los opuestos a los lados iguales.

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Sean ABC y DEF dos triángulos con dos lados AB y AC iguales a DE y DF respectivamente, a saber AB igual a DE y AC igual a DF, y el ángulo BAC igual al ángulo EDF.
Yo digo que la base BC es también igual a la base EF, el triángulo ABC es igual al triángulo DEF, y los ángulos restantes son iguales a los ángulos restantes respectivamente, a saber los opuestos a los lados iguales, es decir, el ángulo ABC es igual al ángulo DEF, y el ángulo ACB es igual al ángulo DFE.
Si se superpone el triángulo ABC sobre el triángulo DEF, y el punto A sobre el punto D y la línea recta AB sobre DE, entonces el punto B coincide también con E, porque AB es igual a DE.
De nuevo, AB coincidiendo con DE, la línea recta AC también coincide con DF, porque el ángulo BAC es igual al ángulo EDF. Dado que el punto C también coincide con el punto F, porque AC es de nuevo igual a DF.
Pero B tabién coincide con E, dado que la base BC coincide con la base EF y son iguales. [Nociones Comunes 4].
Así el triángulo entero ABC coincide con el triángulo entero DEF y son iguales.
Y los ángulos restantes coinciden también con los ángulos restantes y son iguales, el ángulo ABC es igual al ángulo DEF, y el ángulo ACB es igual al ángulo DFE.
Por lo tanto si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, y los ángulos comprendidos por líneas rectas iguales son iguales, entonces tiene las bases iguales, el triángulo es igual al triángulo, y los ángulos restantes son iguales a los ángulos restantes respectivamente, a saber los opuestos a los lados iguales.
Q.E.D.

 


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