Proposición 5. En triángulos isósceles los ángulos en la base son
iguales y, si los lados iguales se alargan, los ángulos situados
bajo la base serán iguales entre sí.
Sea ABC un triángulo isósceles con el
lado AB igual al lado AC, y sean las líneas rectas BD y CE
alargadas en línea recta con AB y AC. [I Def.20].
Yo digo que el ángulo ABC es igual al ángulo ACB,
y el ángulo CBD es igual al ángulo BCE.
Tomar un punto F arbitrariamente sobre BD. Quitar del segmento mayor
AE un segmento AG igual al menor AF, y trazar las líneas
rectas FC y GB. [I 3].
Dado que AF es igual a AG, y AB es igual a AC, entonces los dos
lados FA y AC son iguales a los dos lados GA y AB, respectivamente,
y contienen un ángulo común, el ángulo FAG.
Entonces la base FC es igual a la base GB, el triángulo AFC
es igual al triángulo AGB, y los ángulos restantes
son iguales a los ángulos restantes respectivamente, a saber
los opuestos a los lados iguales, es decir, el ángulo ACF
es igual al ángulo ABG, y el ángulo AFC es igual al
ángulo AGB. [I 4].
Dado que el entero AF es igual al entero AG, y en ellos AB es igual
a AC, entonces el restante BF es igual al restante CG. [Nociones
comunes 3].
Pero se ha demostrado que FC es también igual a GB, entonces
los dos lados BF y FC son iguales a los dos lados CG y GB respectivamente,
y el ángulo BFC es igual al ángulo CGB, mientras la
base BC es común a ambos. Entonces el triángulo BFC
es también igual al triángulo CGB, y los ángulos
restantes son iguales a los ángulos restantes respectivamente,
a saber, los opuestos a los lados iguales. Entonces el ángulo
FBC es igual al ángulo GCB, y el ángulo BCF es igual
al ángulo CBG. [I 4].
Por consiguiente, dado que se ha demostrado que el ángulo
entero ABG es igual al ángulo ACF, y en ellos el ángulo
CBG es igual al ángulo BCF, el ángulo restante ABC
es igual al ángulo restante ACB, y están en la base
del triángulo ABC. Pero se ha demostrado que el ángulo
FBC es igual al ángulo GCB, y están debajo la base.
[Nociones comunes 3].
Entonces en un triángulo isósceles los ángulos
en la base son iguales entre sí, y, si se alargan las líneas
rectas iguales, entonces los ángulos debajo de la base son
iguales uno al otro.
Q.E.D.
