PROPOSICIÓN 5 LIBRO I

Proposición 5. En triángulos isósceles los ángulos en la base son iguales y, si los lados iguales se alargan, los ángulos situados bajo la base serán iguales entre sí.

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Sea ABC un triángulo isósceles con el lado AB igual al lado AC, y sean las líneas rectas BD y CE alargadas en línea recta con AB y AC. [I Def.20].
Yo digo que el ángulo ABC es igual al ángulo ACB, y el ángulo CBD es igual al ángulo BCE.
Tomar un punto F arbitrariamente sobre BD. Quitar del segmento mayor AE un segmento AG igual al menor AF, y trazar las líneas rectas FC y GB. [I 3].
Dado que AF es igual a AG, y AB es igual a AC, entonces los dos lados FA y AC son iguales a los dos lados GA y AB, respectivamente, y contienen un ángulo común, el ángulo FAG.
Entonces la base FC es igual a la base GB, el triángulo AFC es igual al triángulo AGB, y los ángulos restantes son iguales a los ángulos restantes respectivamente, a saber los opuestos a los lados iguales, es decir, el ángulo ACF es igual al ángulo ABG, y el ángulo AFC es igual al ángulo AGB. [I 4].
Dado que el entero AF es igual al entero AG, y en ellos AB es igual a AC, entonces el restante BF es igual al restante CG. [Nociones comunes 3].
Pero se ha demostrado que FC es también igual a GB, entonces los dos lados BF y FC son iguales a los dos lados CG y GB respectivamente, y el ángulo BFC es igual al ángulo CGB, mientras la base BC es común a ambos. Entonces el triángulo BFC es también igual al triángulo CGB, y los ángulos restantes son iguales a los ángulos restantes respectivamente, a saber, los opuestos a los lados iguales. Entonces el ángulo FBC es igual al ángulo GCB, y el ángulo BCF es igual al ángulo CBG. [I 4].
Por consiguiente, dado que se ha demostrado que el ángulo entero ABG es igual al ángulo ACF, y en ellos el ángulo CBG es igual al ángulo BCF, el ángulo restante ABC es igual al ángulo restante ACB, y están en la base del triángulo ABC. Pero se ha demostrado que el ángulo FBC es igual al ángulo GCB, y están debajo la base. [Nociones comunes 3].
Entonces en un triángulo isósceles los ángulos en la base son iguales entre sí, y, si se alargan las líneas rectas iguales, entonces los ángulos debajo de la base son iguales uno al otro.
Q.E.D.

 


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