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PROPOSICIONES LIBRO I
Proposición 1. Construir un triángulo equilátero sobre un segmento dado.
Proposición 2. Dibujar en un punto dado una recta igual a una recta dada.
Proposición
3. Restar del
mayor de dos segmentos dados un segmento igual al menor.
Proposición
4. Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales,
y tienen los ángulos comprendidos iguales, también tendrán
las bases iguales, y los triángulos serán iguales, y los ángulos
restantes serán iguales, concretamente los opuestos a los lados
iguales.
Proposición
5. En triángulos isósceles los ángulos en la base son
iguales y, si los lados iguales se alargan, los ángulos situados
bajo la base serán iguales entre sí.
Proposición
6. Si en un triángulo dos ángulos son iguales, entonces
los lados opuestos a los ángulos iguales también son iguales
uno al otro.
Proposición
7. No se podrán levantar sobre
la misma recta otras dos rectas iguales respectivamente a dos
rectas, de modo que se encuentren en dos puntos distintos por
el mismo lado y con los mismos extremos que las rectas dadas.
Proposición
8. Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales,
y también tienen la base igual, también tendrán iguales los
ángulos comprendidos por los segmentos iguales.
Proposición
9. Dividir en dos partes iguales un ángulo rectilíneo
dado.
Proposición
10. Dividir en dos partes iguales un segmento dado.
Proposición
11. Trazar una recta perpendicular a un segmento dado
desde un punto del mismo segmento.
Proposición
12. Trazar una recta perpendicular a una recta por un
punto exterior a ella.
Proposición
13. Si una recta levantada sobre otra recta forma ángulos,
o bien formará dos ángulos rectos o bien dos ángulos iguales
a dos ángulos rectos.
Proposición
14. Si dos rectas forman con una recta cualquiera y
en un punto de ella ángulos adyacentes iguales a dos rectos
y no están en el mismo lado de ella, ambas rectas estarán en
línea recta.
Proposición
15. Dos segmentos que se cortan el uno al otro producen
ángulos opuestos iguales.
Corolario. Si dos segmentos se cortan el uno a oltro, producecen en la intersección ángulos que suman cuatro ángulos rectos.
Proposición
16. En cualquier triángulo, si se alarga uno de los
lados, el ángulo exterior es mayor o igual que el ángulo interior
y los ángulos opuestos.
Proposición
17. En cualquier triángulo, la suma de cualquiera de
los dos ángulos es menor que dos ángulos rectos.
Proposición
18. En cualquier triángulo, el ángulo más grande es
el opuesto al lado mayor.
Proposición
19. En cualquier triángulo, el lado más grande es el opuesto
al ángulo mayor.
Proposición
20. En cualquier triángulo la suma de cualquiera de
los dos lados es mayor que el tercero.
Proposición
21. Si de los extremos de uno de los lados de un triángulo
se construyen dos segmentos que se encuentren dentro del triángulo,
entonces la suma de los lados construidos es menor que la suma
de los otros dos lados del triángulo, pero los segmentos construidos
comprenden un ángulo mayor que el comprendido por los dos lados.
Proposición
22. Construir un triángulo con tres rectas que son iguales
a tres rectas dadas. Pero es necesario que dos de las rectas
tomadas juntas de cualquier manera sean mayores que la restante.
Proposición
23. Construir sobre un segmento dado y en un punto sobre
él, un ángulo rectilíneo igual a un ángulo rectilíneo
dado.
Proposición
24. Si dos triángulos tienen iguales dos lados, pero
el ángulo comprendido en uno de ellos es mayor que el del otro,
la base también será mayor.
Proposición
25. Si dos triángulos tienen dos lados respectivos
iguales, pero la base es mayor en uno que en otro, entonces
el ángulo comprendido es también mayor en un que en el otro.
Proposición
26. Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivos iguales,
y uno de los lados, el que une los dos ángulos iguales o el opuesto
a uno de los ángulos iguales, entonces los lados que quedan son
iguales y el ángulo restante es igual.
Proposición
27. Si un segmento al incidir sobre dos rectas hace los
ángulos alternos iguales entre sí, las dos rectas serán paralelas
entre sí.
Proposición
28. Si un segmento al incidir sobre dos rectas hace
el ángulo externo igual al interno y opuesto del mismo lado,
o los dos internos del mismo lado iguales a dos ángulos rectos,
las rectas serán paralelas entre sí.
Proposición
29. Una recta que corta a otras dos rectas paralelas
hace que los ángulos alternos iguales, los ángulos externos
iguales a los interiores y opuestos, y la suma de los ángulos
internos por el mismo lado iguales a dos rectos.
Proposición
30. Las rectas paralelas a una recta dada también
son paralelas entre sí.
Proposición
31. Construcción de una recta paralela a una
dada por un punto dado.
Proposición
32. En cualquier triángulo, si un de los lados
se prolonga, el ángulo exterior es igual a la suma
de los ángulos interiores y opuestos, y la suma de
los tres ángulos del triángulo es de dos ángulos rectos.
Proposición
33. Los segmentos que unen los extremos
de segmentos iguales y paralelos en la misma dirección
son también iguales y paralelos.
Proposición
34. Los lados y ángulos opuestos de un paralelogramo
son iguales uno al otro y la diagonal divide el área en dos
partes iguales.
Proposición
35. Los paralelogramos que están sobre
la misma base y están contenidos entre las mismas
paralelas, son iguales.
Proposición
36. Los paralelogramos que tienen las
bases iguales y están contenidoss entre las mismas
paralelas, son iguales entre sí.
Proposición
37. Los triángulos que están sobre
bases iguales y contenidos entre las mismas
paralelas, son iguales entre sí.
Proposición
38. Triángulos que están en bases
iguales y contenidos entre paralelas, son
iguales entre sí.
Proposición
39. Triángulos iguales que están sobre
la misma base i en el mismo lado, están también
entre las mismas paralelas.
Proposición
40. Triángulos iguales que están
sobre bases iguales y en el mismo lado,
están contenidos también entre las mismas
paralelas.
Proposición
41. Si un paralelogramo tiene
la misma base que un triángulo y está
contenido entre las mismas paralelas,
el paralelogramo es el doble del triángulo.
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