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PROPOSICIONES LIBRO VII 1 - 2
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19 - 20
Proposición 1. Dados dos números desiguales y restando sucesivamente el menor del mayor, si el que queda no mide nunca al anterior hasta que quede una unidad, los números iniciales serán primos entre sí.
Proposición 2. Dados dos números no primos entre sí, hallar su medida común máxima.
Proposición 3. Dados tres números no primos entre sí, hallar su medida común máxima.
Proposición 4. Todo número es parte de todo número, el menor del mayor.
Proposición 5. Si un número es parte de un número, y otro es la misma parte de otro, la suma será también la misma parte de la suma que el uno del otro.
Proposición 6. Si un número es partes de un número y otro número es las mismas partes de otro número, la suma será también las mismas partes de la suma que el uno del otro.
Proposición 7. Si un número es la misma parte de un número que un número restado de un número restado, el resto será la misma parte del resto que el total del total.
Proposición 8. Si un número es las mismas partes de un número que un número restado de un número restado, el resto será las mismas partes del resto que el total del total.
Proposición 9. Si un número es parte de un número y otro número es la misma parte de otro, también, por alternancia, la parte o partes que el primero es del tercero, la misma parte o partes será el segundo del cuarto.
Proposición 10. Si un número es partes de un número y otro número es las mismas partes de otro, también, por alternancia, las partes o parte que el primer es del tercero, las mismas partes o la misma parte será el segundo del cuarto.
Proposición 11. Si de la misma forma que un todo es a un todo, también un número restado es a un número restado, también el resto será al resto de la misma forma que el todo es al todo.
Proposición 12. Si unos números, tantos como se quiera, fueran proporcionales, como uno de los antecedentes es a uno de los consecuentes, de la misma forma todos los antecedentes serán a todos los consecuentes.
Proposición 13. Si cuatro números son proporcionales, también por alternancia serán proporcionales.
Proposición 14. Si hay unos números, tantos como se quiera, y otros iguales a ellos en cantidad que, tomados de dos en dos guardan la misma razón, también por igualdad guardarán la misma razón.
Proposición 15. Si una unidad mide a un número cualquiera, y un segundo número mide el mismo número de veces a otro numero cualquiera, por alternancia, la unidad medirá también al tercer número el mismo número de veces que el segundo al cuarto.
Proposición 16. Si dos números, al multiplicarse entre sí, hacen ciertos números, los números resultantes serán iguales entre sí.
Proposición 17. Si un número, al multiplicar a dos números, hace ciertos números, los números resultantes guardarán la misma razón que los multiplicados.
Proposición 18. Si dos números, al multiplicar a un número cualquiera, hacen ciertos números, los resultantes guardarán la misma razón que los multiplicados.
Proposición 19. Si cuatro números son proporcionales, el producto del primero y el cuarto será igual al del segundo y el tercero; y si el producto del primero y el cuarto es igual al producto del segundo y el tercero, los cuatro números serán proporcionales.
Proposición 20. Los números menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos, miden a los que guardan la misma razón el mismo número de veces, el mayor al mayor y el menor al menor.
Proposición 21. Los números primos entre sí son los menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos.
Proposición 22. Los números menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos son números primos entre sí.
Proposición 23. Si dos números son primos entre sí, el número que mide a uno de ellos será número primo respecto del que queda.
Proposición 24. Si dos números son primos respecto a otro número, también el producto será número primo respecto al mismo número.
Proposición 25. Si dos números son números primos entre sí, el producto de uno de ellos multiplicado por sí mismo será número primo respecto del que queda.
Proposición 26. Si dos números son primos respecto a dos números, uno y otro con cada uno de ellos, sus productos también serán números primos entre sí.
Proposición 27. Si dos números son primos entre sí y al multiplicarse cada uno a sí mismo hacen algún otro número, sus productos serán números primos entre sí, y si los números iniciales, al multiplicar a los productos, hacen ciertos números, también ellos serán números primos entre sí. Y siempre sucede esto con los extremos.
Proposición 28. Si dos números son primos entre sí, su suma también será un número primo respecto a cada uno de ellos; y si la suma de ambos es un número primo respecto a uno cualquiera de ellos, también los números iniciales serán números primos entre sí.
Proposición 29. Todo número primo es primo respecto a todo número al que no mide.
Proposición 30. Si dos números, al multiplicarse entre sí, hacen algún número y algún número primo mide a su producto, también medirá a uno de los números iniciales.
Proposición 31. Todo número compuesto es medido por algún número primo.
Proposición 32. Todo número o bien es número primo o es medido por algún número primo.
Proposición 33. Dados tantos números como se quiera, hallar los menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos.
Proposición 34. Dados dos números, hallar el menor número al que miden.
Proposición 35. Si dos números miden a algún número, el número menor medido por ellos también medirá al mismo número.
Proposición 36. Dados tres números, hallar el número menor al que miden.
Proposición 37. Si un número es medido por algún número, el número medido tendrá una parte homónima del número que lo mide.
Proposición 38. Si un número tiene una parte cualquiera, será medido por un número homónimo de la parte.
Proposición 39. Hallar un número que sea el menor que tenga unas partes dadas.
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